■王菲菲

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學）

“自學·議論·引導”教學法是由全國著名特級教師李庾南老師提出的，該教學法倡導“三學”，即學材再建構、學法三結合、學程重生成。筆者觀摩學習南通市學科帶頭人劉東升老師所執(zhí)教“數(shù)的開方”起始課，梳理教學實錄和聽課后的體會與思考，研究“三學”理念的課題實踐。

一、“數(shù)的開方”起始課課堂實錄

1.從數(shù)與運算說起，引入課題。

師：今天上課之前我請班長在黑板上給我們畫了這一幅人物肖像（如左圖），他是畢達哥拉斯學派的數(shù)學家希帕索斯，發(fā)現(xiàn)無理數(shù)第一人。

要想理解他發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)，我們首先從已經(jīng)學過的數(shù)說起。還記得我們之前學了哪些數(shù)嗎？

生1：有理數(shù)。

師：有理數(shù)可以分為什么呢？

生2：整數(shù)和分數(shù)。

師：學習了數(shù)之后，我們還學習了它們的運算。到目前為止我們學習了哪些運算？

生3：有理數(shù)的加減法、乘除法。

師：那么加法和減法有什么關系呢？乘法和除法之間又是什么關系呢？

生4：減法是加法的逆運算。除法是乘法的逆運算。

師：還有嗎？我們上一章學習了什么運算？

生5：乘方運算。

師：剛剛我們說了加法的逆運算是減法，乘法的逆運算是除法，今天我們就要介紹乘方的逆運算。

2.師生互議，歸納定義。

師：我們先看兩個乘方的例子，22等于多少？23等于多少？

生6：22=4，23=8。

師：現(xiàn)在已知某個數(shù)的平方等于4，求這個數(shù)的值，可以設這個數(shù)為x，那么x2=4，x=±2。x在乘方里叫底數(shù)，2是指數(shù)，4是冪。已知冪、指數(shù)，求底數(shù)就是乘方的逆運算。這種運算叫什么？請一個同學來給乘方的逆運算取個名字。

生7：可以叫開方。

師：好的，我們就叫開方。那么剛剛已知x2=4，求x的值，因為4是x的平方，那么我們就叫做開平方?，F(xiàn)在如果已知x3=8，求x的值。

生8：x=2。

師：那么類比上面的開平方，我們可以把“已知x3=8，求x”的這個運算叫做什么？

生9：開立方。

師：我們知道加法的結果叫“和”，減法的結果叫“差”，乘法的結果叫“積”，除法的結果叫“商”，乘方的結果叫“冪”，那么我們把開方的結果就叫做“方根”，開平方的結果叫做“平方根”，開立方的結果叫做“立方根”。下面我們先來研究平方根，從定義、求法、符號和性質這四個方面來研究它。首先，研究平方根的定義，通過剛剛求解x2＝4的過程，能不能嘗試歸納出來？

生10：如果x2=a，則x叫做a的平方根。

師：這個時候對a有沒有什么要求？

生11：我認為a≠0。

師：當a=0時，也就是x2=0，這個時候x=0，即02=0，不違反定理，所以a可以等于0。請各位同學站起來進行小組討論，這個a有沒有什么要求？討論完的小組就可以坐下。

生12：我們小組認為a≥0，因為一個數(shù)的平方一定是非負數(shù)。

師：非常好！所以我們就得出了平方根的定義：如果x2=a，a≥0，則x叫做a的平方根。下面如何求平方根呢？剛剛我們是如何求4的平方根的？

生13：通過±2的平方等于4，得到4的平方根就是±2。

師：平方和開平方互為逆運算，根據(jù)這種運算關系，可以求一個數(shù)的平方根。所以平方根的求法就是依據(jù)開方和乘方的逆運算的關系。請同學來舉幾個數(shù)的平方根的例子，練習一下求法。

14生：25的平方根是±5。24的平方根是……

（此處學生發(fā)現(xiàn)找不到24的整數(shù)平方根。）

師：好，他舉了一個24的平方根的例子，但是發(fā)現(xiàn)找不到整數(shù)平方根，這就說明24不是平方數(shù)，而25可以找到整數(shù)平方根，說明25是平方數(shù)。至于24的平方根應該是什么，我們等下再來討論。接下來到了符號表示，我們用± a2來表示平方根，可以簡寫成± a。根據(jù)我們小學學的算術數(shù)的概念，就可以給正的平方根起個名字——算術平方根，并且規(guī)定 0=0。通過剛剛對平方根的了解，同學們能不能嘗試歸納出它的性質？

生15：一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)。

生16：0的平方根是0。

生17：負數(shù)沒有平方根。

（經(jīng)過以上師生對話、討論，形成如下的結構化板書。）

3.類比開平方，探究開立方。

師：整理完平方根的相關概念之后，應該如何研究立方根呢？

生18：也可以從這四個角度來研究（定義、求法、符號表示、性質）。

師：能不能模仿平方根的知識框架類比寫出立方根的知識框架呢？請一位同學在黑板上歸納一下。

學生在黑板上歸納。

師：我們來比較一下立方根和平方根的區(qū)別。立方根的定義中如果x3=a，則x叫做a的立方根，對a沒有要求。立方根的符號表示應該是 a3，并且不需要正負號。這就要求我們在類比歸納的時候要注意模仿和辨析?，F(xiàn)在我們回看剛剛那位同學的疑問，24的平方根應該是什么？

生19：是± 24。

師：那么± 24是什么樣的數(shù)呢？這就是我們之后要學的無理數(shù)，也就是我們在這節(jié)課開始的時候介紹的由希帕索斯發(fā)現(xiàn)的一類數(shù)。希帕索斯為 2殉難留下的教訓是：科學是沒有止境的，誰為科學劃定禁區(qū)，誰就變成科學的敵人，最終被科學所埋葬。

課堂小結時，劉老師安排學生分組討論為本課擬定一個課題，學生經(jīng)過小組討論推薦了一個學生上臺書寫出“方根的探索”，全班鼓掌通過這個標題后，下課。

二、基于“三學”理念的課例賞析

1.基于數(shù)學知識的前后一致、邏輯連貫開展“學材再建構”。

本節(jié)課是一節(jié)單元課，對應著人教版七年級下冊《數(shù)學》中的“實數(shù)”一章。這一章分為三個小節(jié)，即“平方根”“立方根”和“實數(shù)”。教材中是按照算術平方根——平方根——立方根——無理數(shù)的順序進行編排的，可以看出數(shù)和運算之間的關系密不可分。算術平方根的內容較簡單，主要與實際生活內容相關聯(lián)，這是為了遵循由易到難的認知規(guī)律。但是由此帶來的弊端就是容易讓學生形成思維定式：開方得到的數(shù)都是正數(shù)。這就導致學生在學習后續(xù)的平方根和立方根時發(fā)生知識混淆、運算錯誤。教者在本節(jié)課的執(zhí)教過程中先介紹了開平方運算，學習了平方根之后，再提出正的平方根就是算術平方根，這就避免了這一現(xiàn)象。

教者在本節(jié)課中從數(shù)與運算開始，復習了有理數(shù)和之前學習過的運算，再來介紹新運算——開方，新數(shù)——無理數(shù)。在本章中教材主要提及的是算術平方根、平方根和立方根等概念，較少提及開方運算，但平方根和立方根的根源都是開方運算，數(shù)系和運算也是緊密相連的，所以適當?shù)靥峒伴_方運算是很有必要的。

2.堅持以學生為主體，注重“學法三結合”。

通過本節(jié)課的師生對話可以發(fā)現(xiàn)，教者在課堂中多加引導學生自主思考，由已有的知識經(jīng)驗上升到未知的知識經(jīng)驗。從開方這個運算的發(fā)現(xiàn)，到平方根定義的探究討論，再到類比歸納出開立方的相關概念，以及本節(jié)課課題的確定，都是由學生自主探究討論，教者點撥、肯定得出的。在學生自主討論的過程中，穿插著生生討論和師生討論，共同得出本節(jié)課的定義。這就將自學、議論和引導這三學法相結合，貫穿課堂，有利于發(fā)展學生的自學能力，加深學生對新知識的理解。

3.開放需要放開，本課充分體現(xiàn)了“學程重生成”。

本課的情境創(chuàng)設環(huán)節(jié)是由希帕索斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)來為開方運算的結果會出現(xiàn)無理數(shù)做鋪墊，結尾再回歸到數(shù)學史上，讓學生體會“科學是沒有止境的”。介紹完希帕索斯之后順其自然由數(shù)開篇，引出新的數(shù)學運算——開方。

課程標準修訂專家組提出6個數(shù)學核心素養(yǎng)成分，其中數(shù)學運算是其中之一。數(shù)學運算離不開數(shù)，在學習新的運算之前首先要明確運算對象——數(shù)。所以本節(jié)課雖然是學習運算——開方，但是仍以“數(shù)”來開篇，從數(shù)入手，明確運算對象，再來探究運算法則是切合學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)的。

在學習開平方定義，補充對a的要求時，教者讓學生進行小組交流，在討論中迸發(fā)出思想的火花，經(jīng)歷思考的焦灼感，學生得到了錘煉思維的機會。由此得到a≥0這個附加條件，流暢自然，應運而生。再到課堂小結時學生自主擬定本課課題，都顯示了本課的“開放度”，教師敢于放開，讓學生學、讓學生自由思考、充分參與，課堂上的生成也就精彩不斷。