魏暉，魏昱，朱洪濤

正矢差閉合的曲線軌道撥距計(jì)算方法

魏暉1, 2，魏昱3，朱洪濤4

(1. 江西科技學(xué)院 汽車工程學(xué)院，江西 南昌 330098；2. 江西科技學(xué)院 協(xié)同創(chuàng)新中心，江西 南昌 330098；3. 江西省建筑設(shè)計(jì)研究總院，江西 南昌 330046；4. 南昌大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江西 南昌 330031)

針對(duì)目前的繩正法在撥距計(jì)算中存在首尾端正矢不易閉合的問題，提出一種基于追趕法的曲線撥距計(jì)算方法。該算法以中點(diǎn)弦測(cè)法表征曲線平順性狀態(tài)，通過對(duì)合理的設(shè)置邊界條件，可將撥距求解的不定方程轉(zhuǎn)化為適定方程，并保證曲線首尾端撥距為0；然后考慮到其系數(shù)矩陣是三對(duì)角對(duì)稱陣，利用追趕法構(gòu)造一種以平順性為輸入的撥距計(jì)算方法并分析其算法性能，認(rèn)為：基于追趕法的撥距計(jì)算方法，以正矢為輸入計(jì)算撥距，避免了坐標(biāo)的測(cè)量，有利于提高作業(yè)效率；相比于繩正法，其首尾端閉合，并具有良好的算法性能。仿真結(jié)果顯示，該方法對(duì)正矢偏差的控制能力較好，適合于高速鐵路曲線軌道的臨時(shí)補(bǔ)修。

鐵道工程；曲線整正；中點(diǎn)弦測(cè)模型；數(shù)值計(jì)算；追趕法

截至2017年底，我國(guó)高速鐵路運(yùn)營(yíng)總里程已逾2.5萬km，占世界高鐵總里程的66.3%。高速鐵路發(fā)展已經(jīng)由大規(guī)模建造逐步進(jìn)入長(zhǎng)期安全運(yùn)營(yíng)管理與維護(hù)階段，高速鐵路研究與技術(shù)創(chuàng)新的主題也由新線的設(shè)計(jì)與建造轉(zhuǎn)向既有線的運(yùn)營(yíng)與維護(hù)。而運(yùn)營(yíng)與維護(hù)的一個(gè)關(guān)鍵性工作就是持續(xù)保持軌道的高平順性。曲線作為軌道三大病害多發(fā)位置，其平順狀態(tài)對(duì)列車安全、舒適、快速的運(yùn)營(yíng)有著重要的影響。與直線軌道相比，曲線軌道的幾何形位關(guān)系更加復(fù)雜，輪軌相互作用更為強(qiáng)烈[1]。而軌道作為巨型工程結(jié)構(gòu)物，其具有的材料屬性、結(jié)構(gòu)層次、空間跨度和服役環(huán)境的復(fù)雜性，使得持續(xù)保持曲線軌道平順的幾何狀態(tài)殊為不易。曲線軌道幾何狀態(tài)可用軌向(正矢)、高低、軌距和水平(超高)等尺寸參數(shù)描述，其在列車重復(fù)性載荷作用下，不可避免發(fā)生劣化，因此需周期性地檢查軌道的幾何尺寸，必要時(shí)予以校正，而校正的過程即為曲線整正。曲線整正作業(yè)涉及線路測(cè)量、作業(yè)規(guī)劃、軌道施工以及作業(yè)回檢等操作，過程中通過線路測(cè)量獲得軌道幾何尺寸數(shù)據(jù)，通過作業(yè)規(guī)劃合理地確定整正作業(yè)的整正量(或撥距)。線路測(cè)量一般有絕對(duì)測(cè)量與相對(duì)測(cè)量2類，相應(yīng)撥距的計(jì)算依據(jù)輸入常規(guī)有2類方法：坐標(biāo)法[2]與漸伸線法[3?4]。坐標(biāo)法的撥距由軌道的橫、垂向偏差等外部幾何尺寸所確定，但測(cè)量橫垂偏需聯(lián)測(cè)CPⅢ網(wǎng)，外業(yè)工作量大，設(shè)備要求高，故往往用于高速鐵路的綜合維修。漸伸線方法是一類經(jīng)典的計(jì)算撥距方法，其認(rèn)為曲線上任一點(diǎn)撥動(dòng)時(shí)均沿漸伸線方向移動(dòng)且撥動(dòng)前后曲線長(zhǎng)度不變，而撥距則解釋為設(shè)計(jì)曲線漸伸線長(zhǎng)度'與實(shí)測(cè)曲線漸伸線長(zhǎng)度之差[3]。漸伸線長(zhǎng)度可由偏角法或繩正法計(jì)算，其中繩正法通過內(nèi)部幾何尺寸(正矢)計(jì)算漸伸線長(zhǎng)度，外業(yè)操作簡(jiǎn)單，設(shè)備要求低，因此常用于普速鐵路的經(jīng)常保養(yǎng)與臨時(shí)補(bǔ)修[5]。然而繩正法應(yīng)用于高速鐵路，存在作業(yè)精度不高的問題[6?7]，其中一個(gè)關(guān)鍵性問題，正矢差合計(jì)不閉合，其結(jié)果將導(dǎo)致在曲線尾端易出現(xiàn)鵝頭或反彎。此問題雖可通過修正計(jì)劃正矢予以修正，但不可避免地破壞了曲線的平順性。即便考慮到高速鐵路軌道病害是局部的，這種不閉合依然不可接受。能否通過內(nèi)部幾何尺寸計(jì)算撥距，改善曲線的平順性狀態(tài)并保證曲線首尾端閉合。這一問題對(duì)于高速鐵路的運(yùn)營(yíng)與維護(hù)具有重大的現(xiàn)實(shí)意義。本文認(rèn)為，在一定意義上，撥距計(jì)算問題等價(jià)于對(duì)表征曲線狀態(tài)的非齊次方程組求解；并且，工務(wù)維修中高速鐵路軌道不平順的發(fā)生往往是局部的?；谝陨险J(rèn)識(shí)與事實(shí)依據(jù)，本文首先通過中點(diǎn)弦測(cè)模型表征曲線平順性狀態(tài)，并討論不同邊界條件下的撥距求解問題；然后在首尾端撥距為0條件下引入追趕法，構(gòu)造一種正矢差閉合的撥距計(jì)算方法并討論其算法性能，最后對(duì)算法的整正效果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 曲線狀態(tài)表征及經(jīng)典曲線整正方法

1.1 曲線平順性狀態(tài)的表征及曲線正矢

曲線狀態(tài)與其軌道幾何參數(shù)密切相關(guān)，目前在高速鐵路常通過橫、垂向偏差控制軌道平順性狀態(tài)。橫、垂向偏差屬于軌道外部幾何參數(shù)[8]，可通過對(duì)軌道位移函數(shù)進(jìn)行最小二乘擬合[9?10]或縱向偏差等模型[2]計(jì)算。然而，由于外業(yè)的開銷，坐標(biāo)法用于高速鐵路養(yǎng)護(hù)維修存在天然的不足。

與此同時(shí)，曲線的平順性還可用正矢來表征。正矢是一類軌道內(nèi)部幾何參數(shù)[8]，為鋼軌踏面下16 mm處作用邊側(cè)的20 m弦的中點(diǎn)矢距，忽略轉(zhuǎn)向角與弧弦差的影響，正矢可表達(dá)為

其中：v為測(cè)樁處的現(xiàn)場(chǎng)正矢，mm；f為測(cè)樁處的現(xiàn)場(chǎng)橫向位移函數(shù)，mm；為測(cè)樁編號(hào)，=0,1,2…，測(cè)樁間隔10 m。如令F為曲線計(jì)劃?rùn)M向位移函數(shù)，可類似定義曲線的計(jì)劃正矢V/mm，正矢差Δv/mm與橫向偏差Δf/mm如式(2)。

采用式(1)所示的中點(diǎn)弦測(cè)法定義的軌道不平順具有一系列良好的特性[11?12]，因此，以軌向、高低及正矢為代表中點(diǎn)矢距常用于軌道狀態(tài)的評(píng)價(jià)。由式(1)，可以采用一組非齊次方程表達(dá)曲線的平順性狀態(tài)，如式(3)：

其中

顯然?Δ即為撥距，此時(shí)，曲線撥距計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎?i>v求解Δf的問題。然而，式(3)中Δv與Δf分別為×1維和(+2)×1維向量，為一非齊次的欠定線性方程組。此類方程存在無窮多解，其解Δ的結(jié)構(gòu)包含一個(gè)非齊次方程組的特解Δ*與對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解δ，如式(4)。

1.2 撥距計(jì)算的求逆方法與繩正法的實(shí)質(zhì)

由式(3)易知，Rank()=，存在個(gè)基本未知量與2個(gè)自由未知量，因此要由Δ得到Δ需要引入不少于2個(gè)的橫向偏差Δf和Δf，即需聯(lián)測(cè)CPⅢ網(wǎng)觀測(cè)至少2點(diǎn)。考慮到一般情況下高速鐵路軌道的橫向偏差不大，可假定邊界條件，計(jì)算非齊次方程組的特解Δ*作為Δ，并將?Δ作為撥距。2個(gè)自由未知量的選擇不唯一，通?？杉俣ㄇ€起始2點(diǎn)Δ0=Δ1=0或首尾端2點(diǎn)Δ0=Δf1=0，如此撥距相應(yīng)可采用求逆、消去以及迭代的方法[13]計(jì)算。

如假設(shè)Δ0=Δ1=0，則

其中

則

其中系數(shù)矩陣的逆為

由式(6)可得Δ0=Δ1=0條件下的特解，若寫作累和形式，即

對(duì)比文獻(xiàn)[3]可知，其即為繩正法，其實(shí)質(zhì)是在Δ0=Δ1=0條件下求逆計(jì)算式(3)的特解Δ*。作為曲線整正的經(jīng)典方法，繩正法存在以下問題：

其假定Δ0=Δ1=0，即曲線起點(diǎn)及切線方向不變，當(dāng)現(xiàn)場(chǎng)存在碎彎時(shí)假定不易滿足；

計(jì)算次序按=2,3,…,+1，當(dāng)Δv存在誤差，其將向后累積，進(jìn)一步使得首尾端正矢差合計(jì)與正矢差累計(jì)不閉合[6?7]。

2 一種正矢閉合的曲線整正方法

2.1 邊界條件及系數(shù)矩陣的Crout分解

繩正法未對(duì)曲線終點(diǎn)的撥距進(jìn)行約束，如控制曲線首尾端撥距，即Δ0=Δf+1=0，則可依據(jù)式(3)建立正矢差與撥距的關(guān)系。這一關(guān)系用×矩陣[13]描述

其中

此時(shí)，撥距計(jì)算轉(zhuǎn)化為求解式(9)的問題。對(duì)于系數(shù)矩陣滿秩條件下，可采用消元法直接求解。分析式(9)的系數(shù)矩陣，可知其為常系數(shù)的三對(duì)角對(duì)稱陣，且滿足對(duì)角占優(yōu)條件，因此可進(jìn)行Crout分解，將其分解為

其中

2.2 撥距的追趕法計(jì)算

考慮到三對(duì)角矩陣的特點(diǎn)，式(9)可按追趕法(Thomas algorithm)直接求解，從而避免了Gauss 消去法中的主元選取。取中間變量=[1,2,…,q?1]T，則式(9)求解可依次分為2個(gè)過程：按=2,3,…,?1次序計(jì)算l，u和q的消元過程(追的過程，如式(11))和按=?1,?2,…,1次序計(jì)算Δf的回代過程(趕的過程，如式(12))：

其計(jì)算流程如圖1所示，得到相應(yīng)撥距特解Δ*=[Δ1, Δ2,…, Δf]T。

圖1 撥距計(jì)算流程圖

3 算法性能比較及仿真

3.1 基于追趕法的撥距算法與繩正法算法性能比較

撥距計(jì)算要在高速鐵路的曲線維修中應(yīng)用，其正矢差累計(jì)與正矢差合計(jì)應(yīng)能閉合。同時(shí)，一個(gè)算法在給定輸入時(shí)應(yīng)能在有限步得到輸出，并且應(yīng)具有合理的時(shí)間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度、正確性、可讀性以及健壯性。

3.1.1 正矢差累計(jì)與正矢差合計(jì)閉合性能

由式(9)的假設(shè)Δ0=Δf+1=0可知，基于追趕法的撥距計(jì)算其正矢差合計(jì)閉合差

顯然，曲線首尾端的正矢差合計(jì)閉合。

如正矢差序列Δ不含系統(tǒng)誤差及粗大誤差，則由隨機(jī)誤差的對(duì)稱性及抵償性

從這個(gè)角度，正矢差累計(jì)也應(yīng)能閉合。

3.1.2 時(shí)間復(fù)雜度比較

選取乘法作為基于追趕法的撥距算法與繩正法的原操作，由式(8)與式(9)，問題規(guī)模為。用原操作的執(zhí)行次數(shù)度量算法的時(shí)間復(fù)雜度，則

基于追趕法的撥距算法的時(shí)間復(fù)雜度：

繩正法的時(shí)間復(fù)雜度：

顯然，基于追趕法的撥距算法的時(shí)間復(fù)雜度要優(yōu)于繩正法。

3.1.3 空間復(fù)雜度比較

用算法所開銷的存儲(chǔ)空間度量空間復(fù)雜度，則

1) 基于追趕法的撥距算法的空間復(fù)雜度：

基于追趕法的撥距算法僅需3個(gè)存儲(chǔ)單元存儲(chǔ)對(duì)角線及次對(duì)角線的數(shù)據(jù)，并需2個(gè)存儲(chǔ)單元保存和Δ。

2) 繩正法的空間復(fù)雜度：

由于繩正法的系數(shù)矩陣是下三角的Toeplitz矩陣，故需要個(gè)存儲(chǔ)單元存儲(chǔ)系數(shù)矩陣，并需個(gè)存儲(chǔ)單元保存Δ。

通過比較可知，2種算法的空間復(fù)雜度相當(dāng)。

3.1.4 算法正確性與健壯性

在滿足邊界條件(即：繩正法的Δ0=Δ1=0與追趕法的Δ0=Δf+1=0)且Δ無誤差擾動(dòng)時(shí)，繩正法與基于追趕法的撥距算法均可得到Δ的精確解。當(dāng)測(cè)量誤差或截?cái)嗾`差存在，可用條件數(shù)Cond(?)比較基于追趕法的撥距算法(如式(9))與繩正法(如式(6))撥距的相對(duì)誤差。

忽略系數(shù)矩陣的擾動(dòng)，撥距Δ將受Δ的擾動(dòng)的影響。設(shè)Δ為撥距的精確解，Δ為撥距的近似解，定義撥距誤差向量=Δ?Δ，正矢的殘差向量=Δ?Δ。依據(jù)文獻(xiàn)[14]，

則撥距相對(duì)誤差||||/||Δ||可用正矢相對(duì)殘差||||/||Δ||與條件數(shù)Cond()估計(jì)。

同理，計(jì)算繩正法的條件數(shù)Cond()。由圖2可知，繩正法與基于追趕法的撥距算法的條件數(shù)均會(huì)隨矩陣規(guī)模的增加而增加，但相對(duì)于繩正法，基于追趕法的撥距算法系數(shù)矩陣的性態(tài)更為優(yōu)良。

圖 2 基于追趕法的撥距算法與繩正法系數(shù)矩陣條件數(shù)比較

3.2 整正算法的計(jì)算機(jī)仿真

采用Matlab環(huán)境對(duì)算法進(jìn)行數(shù)字仿真，通過算例討論其正確性。然后，依據(jù)最大撥距限值通過Monte Carlo方法討論其健壯性，并與繩正法進(jìn)行比較；最后采用軌道測(cè)量?jī)x絕對(duì)測(cè)量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作為輸入模擬現(xiàn)場(chǎng)曲線軌道狀態(tài)，通過半物理仿真進(jìn)一步驗(yàn)證算法的正確性。

3.2.1 整正算法的數(shù)字仿真

數(shù)字仿真過程中，首先采用表1所示參數(shù)生成目標(biāo)曲線并按式(1)采樣計(jì)劃正矢，然后在目標(biāo)曲線上迭加一定標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)白噪聲形成現(xiàn)場(chǎng)正矢。仿真采用坐標(biāo)法計(jì)算撥距的精確解，用基于追趕法的撥距算法計(jì)算撥距數(shù)值解并計(jì)算撥后正矢。

計(jì)算撥距及撥后正矢時(shí)，假設(shè)Δ0=Δf+1=0并分為以下2種情況分別討論。

1) 現(xiàn)場(chǎng)正矢測(cè)量無差，測(cè)量不確定度為0.0 mm(如圖3(a)和3(b))；

2)現(xiàn)場(chǎng)正矢測(cè)量有差，測(cè)量不確定度為0.1 mm(如圖3(c)和3(d))。

由圖3(a)和3(b)可知，當(dāng)現(xiàn)場(chǎng)正矢測(cè)量無差時(shí)，無論是撥距抑或撥后正矢均與坐標(biāo)法精確解一致，驗(yàn)證了算法的正確性；如圖3(c)和3(d)，當(dāng)現(xiàn)場(chǎng)正矢測(cè)量存在一定誤差 (如不確定度為0.1 mm)，撥距的數(shù)值解與精確解間存在一定的偏差，但撥后正矢與計(jì)劃正矢誤差較小。此外，無論現(xiàn)場(chǎng)正矢測(cè)量有差或無差，曲線首尾端的撥距均為0。

3.2.2 最大撥距限值

整正作業(yè)受到最大撥距的限制，由《高速鐵路工務(wù)安全規(guī)則(試行)》(TG/GW121—2014)、《高速鐵路有砟軌道線路維修規(guī)則(試行)》(TG/GW116—2013)以及VOSSLOH 300-1扣件技術(shù)條件，可將有砟軌道的最大撥距設(shè)為±30 mm，無砟軌道的最大撥距設(shè)為±8 mm，相應(yīng)撥距標(biāo)準(zhǔn)差限值為15 mm 和4 mm。

表1 仿真曲線參數(shù)

(a) 撥距對(duì)比；(b) 正矢對(duì)比；(c) 撥距對(duì)比；(d) 正矢對(duì)比

以正矢測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度σ及測(cè)樁號(hào)為自變量，最大撥距的標(biāo)準(zhǔn)差為因變量，采用Monte Carlo方法評(píng)價(jià)基于追趕法的最大撥距，等高線如圖4。圖中，正矢測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度0~0.45 mm，測(cè)樁號(hào)0~500，對(duì)應(yīng)里程0~5 km。

可知，對(duì)于全長(zhǎng)為5 km的曲線，如測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.4 mm，其最大撥距的標(biāo)準(zhǔn)差可達(dá)0.5 m以上，如以95%概率定義最大撥距，最大撥距將超過1 m，顯然超差。但當(dāng)作業(yè)里程＜500 m時(shí)，則其最大撥距的標(biāo)準(zhǔn)差<4 mm，可滿足無砟軌道最大撥距要求；或作業(yè)里程＜500 m時(shí)，則其最大撥距的標(biāo)準(zhǔn)差<15 mm，可滿足有砟軌道最大撥距要求。而0.4 mm的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度，已可以覆蓋鋼尺?弦線的精度。

如正矢測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.1 mm，則無砟軌道作業(yè)里程可擴(kuò)展到500 m，有砟軌道可擴(kuò)展到1.1 km。慮及軌道不平順是局部的，在日常檢查及臨時(shí)補(bǔ)修修程下，基于追趕法的撥距算法計(jì)算的精度一般可以滿足要求。如要對(duì)長(zhǎng)大曲線進(jìn)行綜合維修，可考慮采用三維約束的方法[15]引入外部幾何參數(shù)分段計(jì)算。

圖4 最大撥距標(biāo)準(zhǔn)差(追趕法)/m

作為對(duì)比，采用繩正法[3]計(jì)算最大撥距的標(biāo)準(zhǔn)差。如圖5，可知僅以保證撥距不大于最大撥距限值為例，當(dāng)正矢測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.1 mm，則無砟軌道作業(yè)里程應(yīng)＜100 m，有砟軌道應(yīng)＜200 m；而如正矢測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.4 mm，則作業(yè)里程更短。

圖5 最大撥距標(biāo)準(zhǔn)差(繩正法)/m

3.2.3 撥距算法的半物理仿真

相對(duì)于數(shù)字仿真，半物理仿真中采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作為輸入，可降低軌道狀態(tài)的建模難度與線路實(shí)驗(yàn)成本，提高系統(tǒng)仿真的可信度。半物理仿真中原始數(shù)據(jù)來自于某高鐵的聯(lián)調(diào)聯(lián)試，其線路條件為CRTSⅡ型板式無砟軌道，曲線半徑=10 000 m，緩和曲線長(zhǎng)=430 m；采用Amberg的 GRP1000軌道測(cè)量?jī)x采集250 m緩和曲線軌道數(shù)據(jù)，并通過GRPwin 5.0生成目標(biāo)曲線及撥距精確解；仿真基于Matlab環(huán)境，采用式(1)計(jì)算現(xiàn)場(chǎng)正矢并迭加0.1 mm的全誤差，然后通過追趕法計(jì)算撥距數(shù)值解。仿真結(jié)果如圖6。

圖6 基于追趕法的撥距算法撥距值(半物理仿真)

由圖6可知，基于追趕法的撥距算法可針對(duì)軌道的不平順生成撥距特解，雖然其值與精確解有2 mm左右的誤差，但削峰填谷效果明顯，可有效恢復(fù)曲線的圓順；而且其曲線首尾撥距為0的特點(diǎn)，十分有利于作業(yè)區(qū)段前后的順接。

4 結(jié)論

1) 基于平順性數(shù)據(jù)的曲線整正問題是一個(gè)以橫向偏差為輸入，正矢為輸出的非齊次線性方程組求解問題，如已知正矢求撥距，則需假設(shè)邊界條件。繩正法假設(shè)曲線起點(diǎn)及起始方向不變，并按測(cè)樁號(hào)順序計(jì)算漸伸線長(zhǎng)度，因此易導(dǎo)致鵝頭或反彎。

2) 基于追趕法的撥距算法假定曲線首尾端撥距為0，按正矢差求撥距，其計(jì)算分為追和趕的過程。分析表明，該算法相對(duì)于繩正法，有利于保證正矢差合計(jì)與正矢差累計(jì)的閉合，且其時(shí)間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度以及健壯性更優(yōu)；而由于避免了橫垂偏的測(cè)量，可顯著提高曲線臨時(shí)補(bǔ)修的作業(yè) 效率。

3) 數(shù)字仿真結(jié)果顯示，追趕法計(jì)算撥距偏差取決于現(xiàn)場(chǎng)正矢的測(cè)量誤差并對(duì)矩陣規(guī)模敏感，但撥后正矢與計(jì)劃正矢誤差小。通過與絕對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)比，顯示該方法在局部作業(yè)時(shí)有望得到較好的整正效果。

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A throw algorithm with versine difference closure for track curve realignment

WEI Hui1, 2, WEI Yu3, ZHU Hongtao4

(1. School of Automotive Engineering, Jiangxi University of Technology, Nanchang 330098, China; 2. Collaborative Innovation Center, Jiangxi University of Technology, Nanchang 330098, China;3. Jiangxi General Institute of Architectural Design & Research Co., Ltd, Nanchang 330046, China;4. School of Mechatronics Engineering, Nanchang University, Nanchang 330031, China)

To overcome the misclosure problem of current realignment approaches e.g. string lining method, a new algorithm based on Thomas algorithm for throw calculation is proposed which is taking versine data as input. Through setting rational boundary conditions of mid-chord offset (MCO) model which characterized the curve irregularity state, indeterminate equation set could be transformed into well posed equation set, and two ends throw of the curve are 0; since the coefficient matrix of equation set is tridiagonal symmetrical matrix, an algorithm for throw calculation is constructed based on Thomas algorithm and performance of the algorithm has been evaluated. This paper suggests that: throw algorithm based on Thomas algorithm is taking versine data as input, avoided the measuring of curve coordinates. A comparison between string lining method and the new approach indicates that: the new approach has advantages of closure and algorithm performance. Simulation results show that this approach has satisfactory control ability for versine bias, and is expected to get a better realignment result for urgent maintenance.

railway engineering; curve realignment; mid-chord offset;numerical calculation; Thomas algorithm

U216.3

A

1672 ? 7029(2019)07? 1637 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.07.005

2018?10?19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51468042)；江西省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(20161BBE50079)

朱洪濤(1962?)，男，湖南雙峰人，教授，從事測(cè)試傳感與光機(jī)電一體化研究；E?mail：honey62@163.com

(編輯 陽麗霞)