金凡 陳凱

記事本里的大兔子和小兔子

假設(shè)有一對小兔子，它們用一個月時間長大變成大兔子，然后再過一個月，生下一對小兔子，生下的一對小兔子也用一個月時間長大，再過一個月后又生下一對小兔子，并且假設(shè)之后每對大兔子每個月都要生一對小兔子，那么——這里并不是問幾個月后總共有幾對兔子，那其實就是求斐波那契數(shù)列了，這里的問題是，如果生下的每對小兔子都在大兔子的右側(cè)成長并且絕不隨便和大兔子交換位置——經(jīng)過特定時間后，大兔子和小兔子的序列會是怎樣的？順便說一下，假設(shè)有誰特別糾結(jié)于兔子近親繁殖的倫理問題，也可以把問題情境中的兔子改成能夠單姓繁殖的大理石紋螯蝦。

這個問題在紙上就能演算出來，假設(shè)一對小兔子用符號a表示，一對大兔子用符號b表示（把現(xiàn)實中的事物用符號來表示，是為了其后計算上的方便，如何合理設(shè)定符號，其實和計算思維技能有關(guān)），一開始的時候，人們看到的就是a，一個月后a變成了b，再一個月后，b生下a，因為a總是在b的右側(cè)成長，所以人們看到的就是ba，再下一個月，因為a變成b，b變成ba，所以人們看到的就是bab，以此類推，再往后一個月，看到的就是babba，再往后是bababbab?？梢园l(fā)現(xiàn)，從第二個月開始，序列的開頭是不變化的，而尾巴在不斷地變長：

a

b

ba

bab

babba

babbabab

在記事本中，可以通過不停地進行三步“全部替換”功能來自動生成序列：先把a全部替換成t，再把b全部替換成ba，最后把t全部替換成a就可以了。不用動太多腦筋，反復(fù)做這三步“全部替換”就能使得符號序列越來越長。這就體現(xiàn)出用迭代來實現(xiàn)自動化奧妙了。

畫圖軟件里的兔子序列

類似的迭代思想可以用到其他地方，例如，可以用畫圖軟件來生成兔子序列，方法很有趣。

首先，畫一個深色的框，如圖1。

然后，隨便畫條豎線，把框一分為二（分的位置不用太在意），在右側(cè)部分填上比較淺的顏色，如圖2。

接著，在深色框內(nèi)再畫豎線，這條豎線要比剛才的稍微長一些，然后同樣在右側(cè)部分填上比較淺的顏色，如圖3。

再接著，把當(dāng)前第二短的豎線的右側(cè)框的顏色變成深色，如圖4。

這個工作可以繼續(xù)下去，注意分割的豎線越來越長，每一次新分割出來的框，都將右側(cè)填上淺色，然后不要忘記，將當(dāng)前第二長的豎線的右側(cè)框填上深色，反復(fù)進行，很快就能得到兔子序列了，如上頁圖5。設(shè)深色為b，淺色為a，從左往右讀，就是兔子序列。

電子表格中的兔子序列

在電子表格中，可以有很多種方法來生成兔子序列，這里仍然借用在畫圖軟件中所使用的方法，將迭代過程變得更自動一些。

第一步：在第一行第一列的單元格中寫入b，然后在右側(cè)單元格中寫入公式“=b”，用拖曳功能，在第一行填充若干b，如圖6。

第二步：在中間某處相鄰的兩個單元格中連續(xù)填入1和a，于是右側(cè)部分就自動全部變成a，如圖7。

第三步：在鋪滿b的序列中間相鄰兩個單元格中填入2和a，于是2的右側(cè)部分變成a，如圖8。

第四步：找到比當(dāng)前序列中最大的數(shù)字小1的數(shù)字，在這里正是2減1得到1，在這個數(shù)字右側(cè)鋪滿a的序列最左側(cè)單元格中填入b，于是跟隨其后的符號都變成了b，如圖9。

第五步：從第三步開始重復(fù)此過程，但填寫的數(shù)字要逐漸變大。于是就逐漸生成兔子序列了。注意在讀數(shù)據(jù)的時候，連續(xù)的符號要當(dāng)成一個符號來讀。這個過程做熟練以后，可以用相當(dāng)快的速度生成兔子序列。

在Scratch里用兔子序列來畫樹

如果將小兔子a看成細樹枝，大兔子b看成粗樹枝，那么就可以應(yīng)用兔子序列模擬一棵樹的自動生長過程了（如上頁圖10）。

首先，在Scratch中添加tree鏈表，用來存放兔子序列。最初該鏈表中只有1項，存放著字符a，也就是樹的第一層。然后，制作“生長樹”“替換”和“分叉”三個模塊（如上頁圖11）。當(dāng)主程序運行一次“生長樹”時，將三次執(zhí)行“替換”模塊，完成前面所提到的三步“全部替換”。最后，利用“分叉”模塊將tree鏈表中所有值為“ba”的項分解為兩項。反復(fù)運行“生長樹”便可生成更長的兔子序列。例如，運行四次“生長樹”后，tree鏈表就增加到5項，它們分別為babba。

接著，添加一個小圓點角色并制作一個“畫樹枝”的模塊，讓小圓點以x1、y1為起始位置畫線段（如上頁圖12）。該模塊將會遍歷當(dāng)前的tree鏈表，遇到a，則畫長度為len的垂直線段，遇到b，則分叉畫兩條斜線段。畫好線段后，將小圓點當(dāng)前的位置分別存入x、y鏈表，它們將成為下一輪畫樹枝的初始位置。

再接著，制作“初始化”的積木，將程序中涉及到的鏈表設(shè)置為初始值，并設(shè)置畫筆大小和顏色，清空舞臺上所有畫線。最后，編寫主程序，根據(jù)用戶輸入的高度h來畫樹（如上頁圖13）。在畫完第一層之后，后續(xù)的h-1層就是一個重復(fù)迭代的“畫樹枝”過程。其中每一層樹枝的長度和樹的高度h以及當(dāng)前層數(shù)i存在一定關(guān)系，這個關(guān)系式可以自己進行調(diào)整。每畫完一層，就會再運行“生長樹”模塊，使樹的鏈表即兔子序列再變長，也就意味著樹又長高了一層。

當(dāng)然還可以繼續(xù)優(yōu)化程序，讓線段變得有粗細之分，并使角度發(fā)生隨機變化（如圖14），甚至可以讓每個節(jié)點是否繼續(xù)生長也有隨機變化的可能，讓某些節(jié)點長出樹葉、花果。通過不斷地優(yōu)化程序，可以使得這個程序所畫的樹更像大自然的樹。

為了給大家更多思考和想象的空間，本文沒有列出所有代碼，需要教師自己研究補充完整。因為代碼量比較大，在實際上課時，教師可將講課重點放在實現(xiàn)迭代過程的實現(xiàn)思路上，部分代碼可以直接提供給學(xué)生，如怎么分解符號串、以何種形式畫樹枝等，不必過多糾纏于代碼的實現(xiàn)細節(jié)。

面對同樣的兔子序列，可以使用各種軟件玩出很多花樣，哪怕只是簡單的記事本或畫圖軟件。因為計算思維是一種建立在計算機科學(xué)概念基礎(chǔ)上的思維方式，它并不局限于某類或某種軟件，甚至它也不局限于計算機，關(guān)鍵在于我們思維的方式：能否分解問題，通過抽象化、符號化，運用迭代、遞歸等方法將其轉(zhuǎn)化成為可以解決的問題。其實，在工作、生活和學(xué)習(xí)中，許多地方都隱含著用計算思維解決問題的策略，等待著大家去探索挖掘。