金浩 周順華 楊新文

[摘 要]針對地下鐵道方向本科生有限單元法的教學(xué)問題，筆者根據(jù)國內(nèi)外工作學(xué)習(xí)經(jīng)歷及教學(xué)經(jīng)驗，對比同濟大學(xué)和科羅拉多大學(xué)博爾德分校（美國）等高校的教學(xué)方式，提出了可供借鑒的授課方式：（1）板書融合多媒體（PPT）教學(xué)，經(jīng)濟條件允許下，亦可采用大型觸摸屏進行教學(xué);（2）小組模式，包括小組學(xué)習(xí)、小組討論及小組復(fù)習(xí)，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性及利用學(xué)生課余時間;（3）現(xiàn)場教學(xué)，讓學(xué)生能切身感受有限單元法模擬的實物，更好地理解有限單元的計算原理。

[關(guān)鍵詞]鐵道工程;本科生;有限單元法;授課方式

[中圖分類號] G642.3 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）02-0051-03

1960年，Clough在平面彈性論文中首次采用“有限元法”這一名稱。隨著個人計算機及超級計算機處理能力的逐年提高，有限單元法能夠解決的問題越來越廣、越來越復(fù)雜，其已然是工程界使用最為廣泛的數(shù)值計算方法之一。如：采用有限單元法對軌道結(jié)構(gòu)進行建模，并耦合車輛多剛體模型，計算車輛運行下軌道的動力加速度等，對軌道減振措施等進行性能評估[1]。諸如此類復(fù)雜工程問題，過去往往采用子結(jié)構(gòu)法配合工程經(jīng)驗，現(xiàn)如今則可以進行基于系統(tǒng)的計算。因此，有限單元法在地下鐵道方向處于越來越重要的地位。

教育的根本目的是為國家培養(yǎng)各行業(yè)所需的人才[2]。因此，有限單元法教學(xué)成為工科大學(xué)的重要課程之一，但主要以研究生為主。根據(jù)行業(yè)需求等綜合考慮，同濟大學(xué)交通運輸工程學(xué)院城市軌道與鐵道工程系在大三設(shè)置了有限單元法選修課。

針對地下鐵道方向本科生有限單元法授課存在的諸多問題（學(xué)生力學(xué)基礎(chǔ)要求高，授課內(nèi)容須緊密結(jié)合工程等），筆者通過近幾年的授課實踐，對地下鐵道方向本科生有限單元法的授課方式進行了探討。

一、課程特點

（一）前續(xù)課程難

本科階段進行有限單元法的授課，與研究生階段授課不同。本科階段在大三學(xué)習(xí)力學(xué)，主要為理論力學(xué)、材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)。在有限單元法內(nèi)容講解前，必須安排彈性力學(xué)基本知識的講授。否則，學(xué)生無法真正理解有限單元法的內(nèi)涵。

（二）授課內(nèi)容廣

有限單元法是一種用于解決實際工程問題的數(shù)值計算方法。因此，其可應(yīng)用于各工程領(lǐng)域，包含內(nèi)容眾多，從物理場的角度，可以分單物理場問題和多物理場耦合問題;從研究對象角度，可以分為固體力學(xué)問題和流體力學(xué)問題;從荷載角度，可以分為靜力學(xué)問題和動力學(xué)問題。總之，有限單元法能夠涉及各方面問題，能夠講授的知識點眾多。

（三）綜合性強

有限單元法是常規(guī)計算方法的補充和升華。因此，對于有限單元法的應(yīng)用，學(xué)生不僅需要掌握有限單元法理論，更需要對工程問題進行理解及對常規(guī)計算方法進行掌握。通過幾種知識的互相驗證，才能真正解決特定工程問題，否則，容易出現(xiàn)“輸入垃圾、輸出垃圾”的窘境。

二、培養(yǎng)目標

通過學(xué)習(xí)有限單元法，希望畢業(yè)的本科生能夠達到如下層次：

（1）對于本科畢業(yè)進入工作崗位的學(xué)生，能夠利用學(xué)習(xí)的有限單元法基本理論及有限元軟件操作技巧，對工程問題進行數(shù)值分析。筆者通過不同途徑，接觸過不少設(shè)計院的工程師，他們在使用商業(yè)有限元軟件進行工程問題分析時，僅僅知道軟件的操作（如同游戲操作），而不知道其所以然，因此在碰到有限元軟件計算錯誤或無法計算時，往往只能束手無策，無法找到錯誤原因。

（2）為繼續(xù)讀研的學(xué)生在研究生階段進一步學(xué)習(xí)非線性有限單元法進行鋪墊。

三、授課內(nèi)容

本課程的授課內(nèi)容包括三部分，彼此層層遞進，力爭使得學(xué)生能夠掌握有限元法基本理論，具有解決地下鐵道工程一般問題的能力，如圖1所示。

第一部分為彈性力學(xué)基本理論。主要內(nèi)容：（1）平面問題基本理論，包括平衡微分方程、幾何方程、物理方程;（2）空間問題基本理論，與平面問題基本理論類似，主要對三大方程進行推導(dǎo)和講解;（3）能量原理。

第二部分為常用有限單元及其在地下鐵道工程中的應(yīng)用。主要內(nèi)容：（1）桿、梁結(jié)構(gòu)的有限元分析，包括桿、梁單元推導(dǎo)和典型工程案例;（2）平面問題的有限元分析，包括3節(jié)點三角形單元、4節(jié)點矩形單元和典型工程案例;（3）空間問題的有限元分析，包括4節(jié)點四面體單元、8節(jié)點長方體單元、參數(shù)單元和典型工程案例。

第三部分為地下鐵道工程復(fù)雜問題求解。這部分內(nèi)容為能力提升部分，主要內(nèi)容：（1）車輛-軌道耦合動力計算，重點為采用有限單元法對軌道結(jié)構(gòu)進行建模;（2）盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)內(nèi)力及變形計算，重點為采用實體單元對盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)進行建模;（3）車站受力計算。

四、授課方式

（一）板書融合多媒體

筆者曾經(jīng)在北京交通大學(xué)、奧地利因斯布魯克大學(xué)、紹興文理學(xué)院、美國科羅拉多大學(xué)博爾德分校以及同濟大學(xué)學(xué)習(xí)和工作過，深感板書和多媒體在工科高等教育中發(fā)揮著重要作用。能否合理使用二者，協(xié)調(diào)二者之間的關(guān)系，直接影響到最終的教學(xué)質(zhì)量。

傳統(tǒng)板書最大劣勢就是無法動態(tài)展示，因此近年來有慢慢弱化的趨勢。但是，板書也有其不可取代的優(yōu)勢。板書往往是教材的提煉和概括，具有區(qū)分層次、梳理思路的作用，能夠建立學(xué)生的認知系統(tǒng)，能夠引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)思路，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。另外，板書有利于學(xué)生做筆記，甚至是“強迫”做筆記，有利于學(xué)生集中精力。因此，板書具有避免出現(xiàn)學(xué)生“坐課堂”的作用[3-4]。

相比于傳統(tǒng)板書，現(xiàn)代多媒體技術(shù)的引用，使得課堂更加的生動[5]。尤其對于一些用文字和語言無法準確傳達的工程問題，現(xiàn)代多媒體技術(shù)不可不說是完美的教學(xué)手段[6]。因此，多媒體教學(xué)能夠加深學(xué)生對工程問題的理解。同時，多媒體教學(xué)方式能夠增加教學(xué)信息量，對于課程內(nèi)容特別豐富的課程，可以提高課堂教學(xué)效率[7]。

對于地下鐵道方向有限單元的授課，應(yīng)該將板書與多媒體二者有機結(jié)合起來。對于彈性力學(xué)基本理論的授課，可以采用板書的形式，如果采用多媒體（PPT），就會讓學(xué)生“丈二和尚摸不著頭腦”。因為，PPT所帶來的信息量遠遠大于傳統(tǒng)板書。授課老師往往會形成“翻頁”模式，忽略學(xué)生能否跟上這一問題。

有限單元內(nèi)容的授課，尤其是案例的授課。應(yīng)該結(jié)合多媒體，將一些工程問題體現(xiàn)出來。如筆者首先會用PPT介紹工程背景（照片或者視頻），抽象出我們需要研究的力學(xué)問題。而后，采用有限單元進行計算求解。

有限單元法授課場景

筆者2016年在美國科羅拉多大學(xué)博爾德分校工作時，旁聽了有限單元法這一課程。筆者認為，他們采用大型觸摸屏的授課方式，是對傳統(tǒng)板書和多媒體（PPT）的有機結(jié)合，如圖2所示。采用觸摸屏的形式，既可以在白屏上書寫，推導(dǎo)公式，又可以進行多媒體的播放。因此，在經(jīng)濟條件允許下，推薦使用該教學(xué)方式。

（二）小組模式

有限單元法的學(xué)習(xí)，后續(xù)進入提升（有限單元及其在地下鐵道工程中的應(yīng)用、地下鐵道工程復(fù)雜問題求解）階段，宜采用小組學(xué)習(xí)、討論、復(fù)習(xí)的模式。小組模式包括：

（1）小組學(xué)習(xí)。通過小組學(xué)習(xí)的方式，首先能夠培養(yǎng)學(xué)生的合作精神。根據(jù)筆者近幾年的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)大部分本科生為獨生子女，普遍存在溝通能力弱的現(xiàn)象。因此，通過小組學(xué)習(xí)，可以充分培養(yǎng)學(xué)生的團隊精神。另外，能夠充分利用學(xué)生們的課余時間。目前，通識教育所占比重越來越大，專業(yè)課所占的學(xué)分和學(xué)時普遍被壓縮，很多課程都存在課時不夠用的現(xiàn)象。因此，如何調(diào)動學(xué)生的課余時間，對于廣大教師來說，是一個突出的課題。通過小組學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生們在課余時間完成部分知識的自主學(xué)習(xí)，從而達到課程教學(xué)的目的。

（2）小組討論。在學(xué)習(xí)完有限單元法基礎(chǔ)理論知識后，學(xué)生在許多問題上形成了自己的一套看法，具備了一定的反思能力。此時，針對特定的工程問題，可以采用小組討論的模式，讓學(xué)生們自由發(fā)言，抒發(fā)自己的看法，教師僅起到“糾偏”作用。小組討論能夠培養(yǎng)學(xué)生的能動性，有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力，能夠更好地鞏固所學(xué)知識。

（3）小組復(fù)習(xí)。小組復(fù)習(xí)和小組學(xué)習(xí)相輔相成，并結(jié)合小組討論，形成閉環(huán)。學(xué)生的學(xué)習(xí)分課前、課中、課后三個時間段。在前兩個時間段基礎(chǔ)上，采用小組復(fù)習(xí)的模式，完成教師布置的作業(yè)，最終達到鞏固知識的作用[8]。

小組模式也有其弊端，如何真正調(diào)動課堂氣氛是難點。中國的學(xué)生普遍比較“害羞”，課堂討論氛圍不如國外高校，往往會發(fā)生教師“唱獨角戲”的現(xiàn)象，學(xué)生彼此間討論不熱烈，互相“干瞪眼”。而小組學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)，缺乏教師的監(jiān)督，如果學(xué)生不夠自覺，則往往起不到預(yù)期的效果。

（三）現(xiàn)場教學(xué)

地下鐵道方向有限單元法的教學(xué)，和一般有限單元法教學(xué)不同。為使學(xué)生能夠更好地利用有限單元法解決地下鐵道工程問題，在多媒體無法準確傳達問題，無法讓學(xué)生理解問題的核心時，現(xiàn)場教學(xué)是最好的方式，如同學(xué)生實習(xí)所起到的作用[9]。現(xiàn)場教學(xué)能夠讓學(xué)生看到、摸到實物，能夠更好地理解如何對工程問題進行抽象（簡化），并利用有限單元法進行求解。

案例：筆者在進行第三部分（地下鐵道工程復(fù)雜問題求解）教學(xué)時，采用現(xiàn)場教學(xué)的方式，進行盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)內(nèi)力及變形計算的講解。近幾年，筆者所講授的有限單元法課程，學(xué)生一般為30人左右，可以將其分為5～6個小組，每個小組5～6人?，F(xiàn)場教學(xué)不適宜采用大班形式，因為無法照顧到每一個學(xué)生。同時，如果學(xué)生眾多，也不能真正看到、摸到、體會到實物。小組人數(shù)可以根據(jù)授課教師自身時間及授課內(nèi)容進行調(diào)整。如圖3所示，筆者利用盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)試驗室的真實管片，向?qū)W生講解管片結(jié)構(gòu)的知識，包括管片的幾何尺寸、管片的零部件、管片的用途，針對管片的有限單元法建模，現(xiàn)場講解其難點。管片結(jié)構(gòu)復(fù)雜，管片和管片直接通過平頭或者凹凸榫接觸，另外通過螺栓進行聯(lián)結(jié)，如果要真實還原管片的各細部結(jié)構(gòu)，不但建模較難，更主要是收斂困難，無法得到計算結(jié)果。因此，需要對管片結(jié)構(gòu)進行簡化。如何進行簡化？比如在有限元模型里，不設(shè)置凹凸榫。又比如在有限元模型里，簡化螺栓孔以及螺栓，采用同等力學(xué)性能的非線性彈簧進行模擬。這些，都可以通過現(xiàn)場教學(xué)的方式，讓學(xué)生從感官角度，更加深入的理解數(shù)值模型進行的簡化。

現(xiàn)場教學(xué)的弊端[10]亦顯而易見，最主要是需要任課教師花費自己的時間。另外，不管是在實驗室還是真正進入工地現(xiàn)場，都需要一定的條件。因此，現(xiàn)場教學(xué)可以根據(jù)所在單位實際情況采用。

五. 結(jié)語

筆者根據(jù)國內(nèi)外工作學(xué)習(xí)經(jīng)歷及教學(xué)經(jīng)驗，對比同濟大學(xué)和美國科羅拉多大學(xué)博爾德分校等高校的教學(xué)方式，提出了地下鐵道方向本科生有限單元法的授課方式：（1）板書融合多媒體（PPT）教學(xué)，經(jīng)濟條件允許下，亦可采用大型觸摸屏進行教學(xué);（2）小組模式;（3）現(xiàn)場教學(xué)。三種教學(xué)方式配套，可為同類型課程提供借鑒。

[ 參 考 文 獻 ]

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[責任編輯：鐘 嵐]