周瀚光

(華東師范大學 古籍研究所,上海 200241)

中國數(shù)學史研究開展到現(xiàn)在,應該有條件對中國傳統(tǒng)數(shù)學的發(fā)展路徑做一個宏觀的分析和把握了.在筆者看來,中國傳統(tǒng)數(shù)學在其不斷發(fā)展的進程中,存在著兩條具有不同特點的路徑：一條是“算術(shù)”的路徑,一條是“數(shù)術(shù)”的路徑.所謂“算術(shù)”,顧名思義,就是計算技術(shù)和算法系統(tǒng),它以解決國計民生中的具體數(shù)學問題為目的,涉及田畝、測望、工程、營建、賦役以及商品交換、度量換算等社會生活的各個方面.而所謂“數(shù)術(shù)”,則主要討論較為抽象的數(shù)理,其中不僅包括了基本的數(shù)學理論問題,甚至還涉及更加廣泛的領(lǐng)域,如用“數(shù)”去范圍天地、化成萬物,去把握并預測萬物發(fā)展和人生命運.①在筆者看來,中國古代的“數(shù)術(shù)”一詞具有廣義、中義和狹義三種不同的含義.廣義的“數(shù)術(shù)”,數(shù)學家秦九韶的說法,數(shù)理和算術(shù)相關(guān)的內(nèi)容,同時也包括了星占、形法(后世演變?yōu)轱L水)等與數(shù)學無關(guān)的方術(shù)(術(shù)數(shù)).一如班固《漢書·藝文志》中“數(shù)術(shù)略”之“數(shù)術(shù)”.中義的“數(shù)術(shù)”,特指僅與純粹數(shù)學相關(guān)的內(nèi)容而不包括其他與數(shù)學無關(guān)的方術(shù),其含義大致與秦九韶《數(shù)術(shù)大略》(即《數(shù)書九章》)書名中的“數(shù)術(shù)”一詞相當.狹義的“數(shù)術(shù)”,則專指純粹數(shù)學(即中義的“數(shù)術(shù)”概念)中與“算術(shù)”(即計算技術(shù))相對而不同的內(nèi)容,大致與《數(shù)術(shù)記遺》書名中的“數(shù)術(shù)”一詞相近.本文所說的中國傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)展兩條路徑之一的“數(shù)術(shù)”,就是在狹義的意義上使用的,專指中國古代數(shù)學中與“算術(shù)”(計算技術(shù))相對而不同的數(shù)理思想及其他內(nèi)容.按照南宋數(shù)學家秦九韶的說法,數(shù)學具有“大”和“小”兩方面的功能：“大則可以通神明、順性命;小則可以經(jīng)世務、類萬物”(《數(shù)書九章序》).這里“經(jīng)世務、類萬物”的“小”者,就是“算術(shù)”的功能;而“通神明、順性命”的“大”者,則是“數(shù)術(shù)”的功能.從兩者的表現(xiàn)形式和書面語言來看,“算術(shù)”一般采用實際生活中應用問題的形式,并在其發(fā)展過程中逐步形成了“問——答——術(shù)——草”這樣一種較為規(guī)范的書寫程式;而“數(shù)術(shù)”則多采用注釋、陳述、推理、論證等不拘一格的書寫形式,并且往往喜歡引用《周易》或其他傳統(tǒng)經(jīng)典中的概念和詞句.從兩者的數(shù)學家群體來看,“算術(shù)”家以朝廷的行政官員為多,而“數(shù)術(shù)”家則更多地來自民間,其中一部分具有天文歷法的背景,另一部分則具有道教或隱士的背景.這兩條路徑從中國數(shù)學一開始發(fā)源后,就沿著各自的方向并按照不同的特點齊頭并進地向前發(fā)展,期間經(jīng)過了分分合合,各展所長,互相交融,互相補充,最終匯成了中國數(shù)學史精彩紛呈的絢麗景象.大致說來,當“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”這兩條發(fā)展路徑合流而融匯在一起的時候,往往是中國傳統(tǒng)數(shù)學大踏步前進的時候,中國古代數(shù)學發(fā)展也由此而達到一個新的高峰.

(一)

中國傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)端于伏羲畫八卦的《周易》,這是歷代數(shù)學家的共識,而《周易》正是算術(shù)和數(shù)術(shù)的共同起源.《漢書·律歷志》說：“自伏羲畫八卦,由數(shù)起.”劉徽《九章算術(shù)注序》一開頭就說：“昔在包犧(即伏羲)氏始畫八卦,以通神明之德,以類萬物之情,作九九之術(shù)以合六爻之變.”這里的“以通神明之德,以類萬物之情”出自《周易·系辭下》,所說的“通神明”和“類萬物”正是后來秦九韶區(qū)別數(shù)學大小兩種功能的出典.這說明中國數(shù)學從它誕生的第一天起,就蘊含了“通神明”(數(shù)術(shù))和“類萬物”(算術(shù))兩方面的內(nèi)容,存在著算術(shù)和數(shù)術(shù)兩種潛在的發(fā)展進路.所謂“作九九之術(shù)以合六爻之變”中的“九九之術(shù)”,是用來“類萬物”的乘法口訣和四則運算,是算術(shù);而“六爻之變”則是用來“通神明”的測算之術(shù),是數(shù)術(shù);中間用一個“合”字把它們連接起來,說明算術(shù)和數(shù)術(shù)一開始是融合在一起的,而且算術(shù)是為數(shù)術(shù)服務的.

時間稍晚一點的黃帝也是中國數(shù)學的鼻祖之一.《數(shù)術(shù)記遺》中說：“黃帝為法,數(shù)有十等,及其用也,乃有三焉.”這是說黃帝發(fā)明并確立了數(shù)的記法和用法.又傳說黃帝的老師大撓發(fā)明用天干和地支來記年、記月和記日,黃帝時的隸首作數(shù),倕發(fā)明了畫圓和畫方的規(guī)矩,等等.所以劉徽的《九章算術(shù)注序》在肯定了伏羲氏對數(shù)學的始作之功后,接著便說：“暨于黃帝神而化之,引而伸之,于是建歷紀,協(xié)律呂,用稽道原,然后兩儀四象精微之氣可得而效焉.”這說明在劉徽的思想里,黃帝的數(shù)學功績是繼承了《周易》的數(shù)學傳統(tǒng),并在此基礎(chǔ)上有了進一步“神而化之、引而伸之”的發(fā)展.

大約在西周初年周公的時候,算術(shù)開始從數(shù)術(shù)中分化出來并獨立地向前發(fā)展了.周公制禮,規(guī)定貴族子弟必須學習和掌握六種基本才能——“六藝”,其中之一便是“九數(shù)”,而這就是最早的國立“算術(shù)”學科.秦九韶《數(shù)書九章序》說：“周教六藝,數(shù)實成之.”劉徽《九章算術(shù)注序》說：“按周公制禮而有九數(shù),九數(shù)之流,則《九章》是矣.”這說明周公時確立的“九數(shù)”,即是后來《九章算術(shù)》的濫觴,也是中國數(shù)學史上“算術(shù)”這一發(fā)展進路的重要標志.

到了春秋戰(zhàn)國的時候,儒家和法家等有志于國計民生的學派繼承了數(shù)學發(fā)展中的“算術(shù)”這一傳統(tǒng).儒家創(chuàng)始人孔子年輕時就很懂算術(shù),后來更把包含算術(shù)在內(nèi)的“六藝”作為他教育學生的重要內(nèi)容之一,并且培養(yǎng)出了曾參、冉求等一些精通數(shù)學的人才.枚乘《七發(fā)》說：“孟子持籌而算之,萬不失一.”說明在西漢人的眼中,孟子也是很擅長于計算的.法家的《管子》把“計數(shù)”列為其治國的七大法則(“七法”)之一,以為“舉事必成,不知計數(shù)不可”(《管子·七法》).現(xiàn)存的《管子》一書中,保存了先秦時期的許多“九九”口訣、分數(shù)運算等原始數(shù)學資料.李悝在《法經(jīng)·盡地力之教》一文中,通過加減乘除九步四則運算,逐一列出了當時農(nóng)村一家五口的正常收支情況,并且把這一運算過程詳細地記錄在文章里面.除了諸子學派之外,還有一些專門的數(shù)學家繼承并發(fā)展了“算術(shù)”這一傳統(tǒng),例如秦簡《數(shù)》的作者和漢簡《算數(shù)書》的作者等.

與此同時,數(shù)學發(fā)展的另一條路徑——“數(shù)術(shù)”,也在獨立地向前進展.春秋末年的《老子》曾說：“善數(shù)者不用籌策”,這說明當時確實有一些數(shù)學形式是無關(guān)籌策,無關(guān)計算的.①劉徽《九章算術(shù)注》卷五說：“數(shù)而求窮之者,謂以情推,不用籌算.”這可以從一個側(cè)面證明《老子》的話并非虛言.就我們現(xiàn)在所知的與計算技巧迥然相異的數(shù)學形式,首推戰(zhàn)國時后期墨家的《墨經(jīng)》中所蘊含的理論數(shù)學萌芽.《墨經(jīng)》運用其所掌握的邏輯思維方法,對一系列數(shù)學概念如圓、方、平、直、厚、端、兼、體、盈、損、窮、倍等,用判斷和命題的形式給出了科學的定義,從而開創(chuàng)了中國數(shù)學史上理論幾何學研究的先河.同時又用推理和論證的形式,探討了“位值制”計數(shù)法、整體與部分的關(guān)系等一些基本的數(shù)學原理.同時期的名家則提出了“至大無外,謂之大一;至小無內(nèi),謂之小一”、“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”等一系列涉及“無窮”的數(shù)學悖論.

除了上述理論數(shù)學的內(nèi)容外,中國古代的“數(shù)術(shù)”中還包括了與天文歷法相關(guān)的數(shù)學內(nèi)容.由于天文歷算在中國古代具有“范圍天地、曲成萬物”以及“通神明、順性命”的功能,因此將其歸于“數(shù)術(shù)”是理所當然的.班固在編撰《漢書·藝文志》時,即將“歷譜”置于“數(shù)術(shù)”略之下.他解釋“歷譜”說：“序四時之位,正分至之節(jié),會日月五星之辰,以考寒暑殺生之實……此圣人知命之術(shù)也.”[1]這種“通神明、順性命”的“大”功能與純粹計算技術(shù)的“小”功能顯然不同,所以在《周禮》“九數(shù)”的算術(shù)傳統(tǒng)中是不被包括的,在后來繼承這一傳統(tǒng)而編撰成書的《九章算術(shù)》中也付諸闕如.

“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”這兩條不同的數(shù)學進路發(fā)展到漢代,各自出現(xiàn)了自己的代表著作.“算術(shù)”的代表著作是《九章算術(shù)》,而“數(shù)術(shù)”的代表著作則是《周髀算經(jīng)》,兩者具有較明顯的不同特點.《九章算術(shù)》是一部由官方編定的實用數(shù)學著作,最早的編撰者為漢初的北平侯計相張蒼和大司農(nóng)中丞耿壽昌;《周髀算經(jīng)》則是一部民間口耳相傳的數(shù)理天文學著作,至今仍不知其作者是誰以及其確切的成書年代.①現(xiàn)在的數(shù)學史家一般認為,《周髀算經(jīng)》是長期積累編撰而成的一部著作,最晚在公元前1世紀前后成書.《九章算術(shù)》的內(nèi)容涉及田畝、測望、工程、營建、賦役以及商品交換、度量換算等社會生活的各個方面,體現(xiàn)了當時計算技術(shù)和算法體系的最高水平.《周髀算經(jīng)》則闡述了數(shù)學方法在測量天地、制訂歷法中的作用,提出了學習和研究數(shù)學的正確方法,論述了勾股圓方的基本知識、測望“日高”的計算方法以及《四分歷》的基本數(shù)據(jù)和有關(guān)算法等一系列數(shù)學理論問題及與天文歷法相關(guān)的數(shù)學內(nèi)容.《九章算術(shù)》以應用問題的形式引出計算方法(術(shù)),每一問題基本上都采用了“問——答——術(shù)”這樣一種比較規(guī)范的表述程式;《周髀算經(jīng)》則仍然采用傳統(tǒng)的敘述和論說相結(jié)合的寫作方法.《周髀算經(jīng)》還借周公之口發(fā)出“大哉言數(shù)”的感嘆,體現(xiàn)了其不限于具體計算技術(shù)而要去追索數(shù)之“大”者的學術(shù)旨趣.

(二)

“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”這兩條具有不同特色的數(shù)學進路各自發(fā)展到一定的階段之后,由于某種歷史條件和學術(shù)契機,又常常會出現(xiàn)一種融匯和合流的景況,而這又往往給傳統(tǒng)數(shù)學的發(fā)展帶來了一股新的動力.縱觀漢代以后數(shù)學史的發(fā)展,這種“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”融匯合流的景況主要出現(xiàn)了三次,而每次融匯合流的出現(xiàn),都對傳統(tǒng)數(shù)學的發(fā)展起到了推動的作用,從而使中國數(shù)學的發(fā)展達到了一個新的高度.

“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”的第一次融匯合流出現(xiàn)在魏晉時期,是由劉徽通過注釋《九章算術(shù)》而得以完成的.劉徽于正史無傳,是一位民間的布衣數(shù)學家.從其《注序》中屢屢征引《周易》“以通神明之德,以類萬物之情”、“神而化之,引而伸之”、“兩儀四象精微之氣”等話語以及關(guān)于“日高”和“日徑”等測望計算方法的論述來看,他對于“數(shù)術(shù)”方面的內(nèi)容是非常精通的.當他把“數(shù)術(shù)”的精髓引入“算術(shù)”,用他掌握的豐富的“數(shù)術(shù)”知識來注釋《九章算術(shù)》這樣一部“算術(shù)”代表著作時,立刻使《九章算術(shù)》的數(shù)學水平大大提升了一步.劉徽的這種融匯“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”的注釋工作主要表現(xiàn)在以下3個方面：

(1)劉徽繼承了先秦墨家注重邏輯和理論數(shù)學的傳統(tǒng),按“審辨名分”的原則對《九章算術(shù)》中的許多數(shù)學概念給出了明確的和準確的定義,又用“析理以辭”的方法對《九章算術(shù)》中的許多公式和法則進行了詳細論證和邏輯證明,從而奠定了中國古典數(shù)學理論的基礎(chǔ).

(2)劉徽繼承了《老子》“大直若屈”和《周髀算經(jīng)》“圓出于方”的圓方統(tǒng)一思想,及先秦名家和《墨經(jīng)》關(guān)于“一尺之棰日取其半”的無窮分割思想,首創(chuàng)“割圓術(shù)”以求取圓面積,并在此基礎(chǔ)上求得圓周率π=3.14和π=3.1416這兩個較為精密的近似數(shù)值,從而使中國古代關(guān)于圓周率的計算處于世界領(lǐng)先地位.

(3)劉徽繼承了《周髀算經(jīng)》中因歷算需要而測量“日高”的方法,創(chuàng)立了“重差術(shù)”這一相似勾股形的比例算法,并把它推廣到測量諸如海島、遠山、深谷等一些極高、極遠、目之能及而人不可達的目標,從而彌補了《九章算術(shù)》在這一方面的缺陷和不足,開創(chuàng)了一個新的數(shù)學研究領(lǐng)域.

顯然,劉徽的這些工作都是原來數(shù)學發(fā)展中“數(shù)術(shù)”這一進路的強項,是以《九章算術(shù)》為代表的“算術(shù)”這一進路的弱項,而劉徽通過他對“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”的融匯合流,有效地彌補了原來“算術(shù)”進路的不足之處,提升了當時數(shù)學研究的整體水平,從而使劉徽的《九章算術(shù)注》成為中國古代數(shù)學發(fā)展的一個高點.

魏晉以后,中國古代數(shù)學在劉徽《九章算術(shù)注》的基礎(chǔ)上,繼續(xù)沿著“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”這兩條具有不同特點的進路向前發(fā)展.到唐代初年,這兩條進路出現(xiàn)了第二次的融匯和合流.而這一次的融匯合流,則是以李淳風奉命編定十部算經(jīng)并以此作為國子監(jiān)明算科的教科書為代表.

唐初李淳風編定的十部算經(jīng)是：《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《綴術(shù)》和《緝古算經(jīng)》.這十部算經(jīng)可以說是匯集了自漢至唐最具代表性的重要數(shù)學著作,也可以說是涵蓋了“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”這兩條研究進路的最重要的成果.其中《九章算術(shù)》《張丘建算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》和《緝古算經(jīng)》這五部著作因其以計算技術(shù)為主要內(nèi)容,大致可歸為“算術(shù)”類研究成果;而《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》這五部著作則因其內(nèi)容既含有計算技術(shù)而又不限于計算技術(shù),大致可歸為“數(shù)術(shù)”類研究著作.關(guān)于《周髀算經(jīng)》一書的“數(shù)術(shù)”性質(zhì),前文已有論述,此處不再重復.《海島算經(jīng)》原為劉徽注釋《九章算術(shù)》時附在卷末的“重差”章,至唐時單獨成書.其內(nèi)容源出于《周髀算經(jīng)》中因歷算需要而測望“日高”的“數(shù)術(shù)”,經(jīng)劉徽演化創(chuàng)立為“重差術(shù)”(相似勾股形比例算法),并把它推廣到測量諸如海島、遠山、深谷等一些目之能及而人不可達的目標.《孫子算經(jīng)序》說：“夫算者,天地之經(jīng)緯,群生之元首;五常之本末,陰陽之父母;星辰之建號,三光之表里;五行之準平,四時之終始;萬物之祖宗,六藝之綱紀.”這種對于數(shù)學的極端推崇,明顯帶有《周易》論數(shù)的印跡.《孫子算經(jīng)序》中又論及數(shù)學的目的是“稽群倫之聚散,考二氣之降升;推寒暑之迭運,步遠近之殊同;觀天道精微之兆基,察地理縱橫之長短;采神袛之所在,極成敗之符驗;窮道德之理,究性命之情.”這顯然就是秦九韶所說的“通神明、順性命”的“大”的功能.該書托名孫子,雖不必視為先秦孫子所著,但其中保存有先秦以來兵家或其他學派的思想資料,則是很有可能的.尤其是其中的“物不知數(shù)”一題,開啟了后世“一次同余式”理論的研究和“中國剩余定理”的取得,是對世界數(shù)學史的重大貢獻.這在《孫子算經(jīng)》的年代,應該是屬于“善數(shù)者不用籌策”(《老子》)的重要成果.《五經(jīng)算術(shù)》是一部對儒家經(jīng)典中涉及數(shù)字計算的有關(guān)內(nèi)容進行詳盡解釋的著作,其論題的表述方式與以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學著作中“問——答——術(shù)”的基本程式完全不同,明顯是一部“數(shù)術(shù)”類的著作.至于《綴術(shù)》,雖因其早已佚失而不知其具體內(nèi)容,但從其作者祖沖之曾編制《大明歷》和唐初國子監(jiān)明算科規(guī)定學習《綴術(shù)》一書要長達四年這兩個史實來看,推測該書當是一部與天文歷算有關(guān)的較為深奧的“數(shù)術(shù)”著作.又據(jù)李淳風《隋書·律歷志》和《九章算術(shù)注釋》所述,祖沖之父子曾取得圓周率3.1415926＜π＜3.1415927及球體積計算方法等重要數(shù)學成就,這些應該都是《綴術(shù)》一書中的重要內(nèi)容.與十部算經(jīng)一起作為唐代國子監(jiān)明算科教科書的,還有《數(shù)術(shù)記遺》和《三等數(shù)》等數(shù)學著作.《數(shù)術(shù)記遺》以“數(shù)術(shù)”為名,本身就昭示了其“數(shù)術(shù)”的性質(zhì).該書至南宋時,因《綴術(shù)》一書的佚失,而被補列于《算經(jīng)十書》之中.

唐初,“十部算經(jīng)”的編定以及當時國子監(jiān)明算科對各種數(shù)學典籍的收集和研究,是中國古代數(shù)學自先秦以來的一次大檢閱、大合成和大總結(jié),也是“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”這兩條發(fā)展進路的一次大融匯和大合流.它克服了在此之前數(shù)學發(fā)展或偏于一隅,或隱于民間,或失之單薄的弱點和不足,使中國古代數(shù)學的整體發(fā)展迎來了一個豐盛期和繁榮期,并由此而奠定了唐朝作為一個數(shù)學大國的歷史形象.東西方各國前來學習先進的數(shù)學知識和其他知識的遣唐使絡繹不絕,而中國當時先進的數(shù)學知識則隨著這些數(shù)學典籍的翻譯和傳播,流布到了東北亞、東南亞,甚至西方等各個國家.

中國傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)展到宋元之際,迎來了“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”這兩條進路的第三次融匯合流.這一次的融匯合流是由秦九韶、李冶、朱世杰、楊輝這四位號稱“宋元四大家”的一流數(shù)學家群體共同完成的,并由此而推動中國古代數(shù)學的發(fā)展達到了它的頂峰.

秦九韶在《數(shù)書九章序》中,自述其“早歲侍親中都,因得訪習于太史,又嘗從隱君子受數(shù)學.”這說明他學習數(shù)學的背景,一個是來自于太史的歷算,另一個是來自于隱士的“數(shù)學”,兩者都屬于“數(shù)術(shù)”的范疇.他的《數(shù)書九章》一書,又名為《數(shù)術(shù)》《數(shù)術(shù)大略》或《數(shù)學大略》,也昭示了其數(shù)學研究的“數(shù)術(shù)”淵源.他提出的“大衍求一術(shù)”理論,自稱源自于《周易》的“蓍卦發(fā)微”,并且能解決“古歷會積”的歷算問題,顯然是建立在“數(shù)術(shù)”這一研究進路上的重大數(shù)學成果,并因其給出了一次同余式的一般解法而創(chuàng)立了“中國剩余定理”.李冶的數(shù)學工作和研究成果,是其中年以后棄官北渡、隱居山林時才開始并取得的.他寫作數(shù)學名著《測圓海鏡》的動力和基礎(chǔ),完全是因為得到了一部具有道教背景的算書——“洞淵九容”,因愛不釋手、日夕玩繹才最終完成的.而所謂“洞淵九容”,其實就是討論勾股容圓、方圓相纏的“數(shù)術(shù)”問題.該書最早記載并保留了“天元術(shù)”這一中國數(shù)學史上的重大成果,被后來的數(shù)學史家稱為“自古算家之秘術(shù)”(清阮元《測圓海鏡序》).朱世杰完全是一位民間的數(shù)學家和數(shù)學教育家.他在《四元玉鑒》中所創(chuàng)立并闡述的“四元術(shù)”——多元高次聯(lián)立方程解法,也是中國古代數(shù)學發(fā)展的一個高點.他在書中的一個旁注中說：“凡習四元者,以明理為務,必達乘除升降進退之理,乃盡性窮神之學也.”這里的“盡性窮神之學”,無疑應歸于“通神明、窮性命”的“數(shù)術(shù)”進路.至于楊輝,他不僅對流傳下來的《九章算術(shù)》中的計算技術(shù)非常精通,曾著《詳解九章算法》十二卷,保留并記述了“賈憲三角”等一系列重大數(shù)學成果;而且還編撰了《續(xù)古摘奇算法》一書,開辟了“縱橫圖”(即今所謂“幻方”)研究這一組合數(shù)學的新領(lǐng)域.縱橫圖起源于《周易》中的“洛書”和《數(shù)術(shù)記遺》中的“九宮”,它在楊輝的時代,完全是一種“不用籌策”、與復雜的計算技術(shù)關(guān)系不大的“數(shù)術(shù)”.

要而言之,宋元時期中國古代數(shù)學發(fā)展高潮的來臨,一方面是由于當時的數(shù)學家們繼承并發(fā)展了以《九章算術(shù)》為代表的卓越的“算術(shù)”傳統(tǒng),另一方面則是由于他們同時又吸取了傳統(tǒng)“數(shù)術(shù)”研究進路中的優(yōu)秀創(chuàng)新成果,兩者融匯相通,共同發(fā)力,終于使傳統(tǒng)數(shù)學達到了它前所未有的高峰.到了明代以后,一則由于“八股取士”制度的盛行而導致“算術(shù)”進路乏人問津,二則由于“數(shù)術(shù)”進路偏向神秘一隅而少有真正的數(shù)學創(chuàng)新,致使傳統(tǒng)數(shù)學趨于停滯,一蹶不振.明末數(shù)學家徐光啟一針見血地指出：“算數(shù)之學特廢于近世數(shù)百年間爾.廢之緣有二：其一為名理之儒,土苴天下之實事,其一為妖妄之術(shù),謬言數(shù)有神理.”(《同文算指序》)誠哉斯言.

(三)

以上我們簡要地回顧了中國傳統(tǒng)數(shù)學中“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”這兩條進路既各自獨立發(fā)展又互相融匯合流的歷史過程,從中我們可以總結(jié)出以下幾點關(guān)于中國數(shù)學史研究的新認識：

(1)首先應該為中國歷史上的“數(shù)術(shù)”一詞正名.廣義的“數(shù)術(shù)”一詞,既包括了“算術(shù)”(計算技術(shù))和數(shù)理,還包括了一些與數(shù)學無關(guān)的其他方術(shù)(“術(shù)數(shù)”).而中義的“數(shù)術(shù)”一詞,排除了與數(shù)學無關(guān)的其他方術(shù),完全就是純粹的數(shù)學內(nèi)容,其實就是中國古代“數(shù)學”的代名詞.正如中國古代的“儒術(shù)”其實就是“儒學”一樣,中國古代的“數(shù)術(shù)”其實也就是“數(shù)學”.秦九韶的《數(shù)術(shù)大略》又稱《數(shù)學大略》,就是一個很好的例子.狹義的“數(shù)術(shù)”,則主要是指與“算術(shù)”(計算技術(shù))相對而不同的數(shù)學理論、與天文歷法相關(guān)的歷算知識以及與計算技術(shù)關(guān)系不大的其他數(shù)學分支(例如縱橫術(shù)等).

(2)以《九章算術(shù)》為代表的計算方法及其算法體系,雖然顯示了中國古代高超的計算技術(shù)和獨特的數(shù)學風格,但是卻不能完全代表中國古代數(shù)學發(fā)展的最高成就和水平.《九章算術(shù)》從其成書的時代起,就缺漏了數(shù)學理論以及天文歷算這一領(lǐng)域的數(shù)學成果,在其后來的發(fā)展過程中又不能完全涵蓋各個時代的其他數(shù)學成就.如果沒有劉徽在《九章算術(shù)》原有框架中增添數(shù)學理論以及其他“數(shù)術(shù)”元素,沒有宋元數(shù)學家取得突破《九章算術(shù)》框架的其他重大數(shù)學貢獻,中國古代數(shù)學成就的光輝將大為遜色.

(3)中國古代數(shù)學的發(fā)展起源于廣義的“數(shù)術(shù)”.以后“算術(shù)”從“數(shù)術(shù)”中獨立出來,并與狹義的“數(shù)術(shù)”齊頭并進地各自獨立發(fā)展.在整個傳統(tǒng)數(shù)學的發(fā)展史上,“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”這兩條進路曾有過三次大的融匯和合流,第一次是魏晉時期劉徽對《九章算術(shù)》的注釋,第二次是唐代初期李淳風編定“十部算經(jīng)”并作為國子監(jiān)明算科的教科書,第三次則是“宋元四大家”在融匯整合這兩條進路的基礎(chǔ)上創(chuàng)造了一系列嶄新的重大數(shù)學成果.“算術(shù)”和“數(shù)術(shù)”的每一次融匯合流,都極大地推動了傳統(tǒng)數(shù)學的進步;而兩者在宋元時期的第三次大融合,則將中國傳統(tǒng)數(shù)學的發(fā)展推向了它的最高峰.

鑒于以上這些認識和總結(jié),筆者認為,我們對于中國數(shù)學史和中國數(shù)學思想史的發(fā)展,也許可以采用一種新的思路和新的框架去理解和概括,以便使其更加符合中國古代數(shù)學發(fā)展的本來面目.