裴紅星

[摘 要]小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是從以具體形象思維為主要形式向以抽象邏輯思維為主要形式過渡的。這里的過渡通常以10～11歲為轉(zhuǎn)折點(diǎn)，稱為“關(guān)鍵年齡期”。在這個(gè)關(guān)鍵年齡期，教師的引導(dǎo)對學(xué)生的思維發(fā)展起著重要的推動(dòng)作用。數(shù)學(xué)思維的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)語言的同步發(fā)展，學(xué)生準(zhǔn)確靈活地掌握了數(shù)學(xué)語言，就等于擁有了用于數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具。因此，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)語言水平，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)語言;思維發(fā)展;關(guān)鍵年齡期

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）05-0055-03

思維品質(zhì)、思維能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)是實(shí)施素質(zhì)教育的核心。這樣的人才培養(yǎng)目標(biāo)要求我們在繼承原有教育教學(xué)優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，要著力培養(yǎng)學(xué)生的自主思維、批判精神和創(chuàng)新意識。數(shù)學(xué)思維的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)語言的同步發(fā)展，學(xué)生準(zhǔn)確靈活地掌握了數(shù)學(xué)語言，就等于擁有了用于數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具。豐富數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)，提高數(shù)學(xué)語言水平，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng)有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

一、數(shù)學(xué)語言及其分類

數(shù)學(xué)語言是表達(dá)數(shù)學(xué)思想的專業(yè)語言，具有抽象性、準(zhǔn)確性、簡約性和概括性等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)語言可分為文字語言、符號語言和圖表語言三類。文字語言是數(shù)學(xué)化了的自然語言。自然語言常具有模糊性，而數(shù)學(xué)語言是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，容不得一點(diǎn)含糊，因此數(shù)學(xué)中的文字語言是非常簡煉，指向明確的。符號語言是數(shù)學(xué)中通用的、特有的簡練語言，是人類在數(shù)學(xué)學(xué)科長期發(fā)展過程中形成的一種語言表達(dá)形式。圖表語言是指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖形或表格，它們是數(shù)學(xué)形象思維的載體和媒介，也是抽象思維的一種表現(xiàn)形式。圖表語言是一種直觀性語言，是對前兩種語言的補(bǔ)充。

二、關(guān)鍵年齡期兒童的思維特點(diǎn)

小學(xué)低年級學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有明顯的形象性，與具體事物或其生動(dòng)表象聯(lián)系緊密，而高年級學(xué)生則已逐步學(xué)會(huì)區(qū)分概念中的本質(zhì)與非本質(zhì)屬性、主要與次要的因素，學(xué)會(huì)掌握初步的科學(xué)定義，學(xué)會(huì)獨(dú)立進(jìn)行邏輯論證。當(dāng)然，這種思維活動(dòng)仍然要與直接、感性的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系在一起，具有很大成分的具體抽象性。教師應(yīng)對學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)有明確認(rèn)識，在日常教學(xué)中有意識地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維順利實(shí)現(xiàn)過渡。

三、聚焦關(guān)鍵年齡期兒童的思維發(fā)展的幾點(diǎn)做法

1.多種數(shù)學(xué)語言表達(dá)，促思維廣度發(fā)展

三種數(shù)學(xué)語言各有優(yōu)勢和不足：文字語言通俗易懂，但描述起來是線性的，不易表露知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu);符號語言比較抽象，但十分簡潔，給人以結(jié)構(gòu)感;圖表語言比文字語言和符號語言更直觀，易形成表象。

在日常的課堂學(xué)習(xí)和交流中，學(xué)生多用文字語言來敘述，用符號語言和圖表語言表達(dá)的學(xué)生較少，特別是低年級學(xué)生。這就需要教師在教學(xué)中有意識、有計(jì)劃地示范、滲透和指導(dǎo)各種數(shù)學(xué)語言表達(dá)的方法，但任何一種數(shù)學(xué)語言的習(xí)得，都必須建立在學(xué)生自身建構(gòu)的基礎(chǔ)上。教師的任務(wù)就是創(chuàng)造良好的教學(xué)環(huán)境，相機(jī)引導(dǎo)，幫助學(xué)生完成這樣的建構(gòu)。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識小數(shù)”時(shí)，教材上有一段概念教學(xué)：“我們以前學(xué)過的表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3……是自然數(shù)，0也是自然數(shù)，它們都是整數(shù)。”概念中同時(shí)提到了自然數(shù)和整數(shù)，但沒有明確地說出兩者的區(qū)別與聯(lián)系。這是因?yàn)槿昙壍膶W(xué)生還沒有認(rèn)識負(fù)數(shù)，所以教材在表述上只能比較含糊。我讓學(xué)生舉例說明：“我們學(xué)過哪些數(shù)？這些數(shù)之間有哪些聯(lián)系？”這時(shí)有學(xué)生提出：“我們學(xué)過了1、2、3、4……這樣的整數(shù)，整數(shù)也可以說成是自然數(shù)?！蔽荫R上意識到學(xué)生已經(jīng)區(qū)分不清這兩個(gè)概念了，于是我做思考狀復(fù)述：“整數(shù)也可以說成是自然數(shù)，那整數(shù)和自然數(shù)就是同一個(gè)意思？它們有區(qū)別嗎？”停頓片刻，有學(xué)生舉手：“老師，我知道還有比0小的負(fù)數(shù)。-1、-2、-3……它們也是整數(shù)。”他一說完，教室里立刻活躍起來，很多學(xué)生也迫不及待地說他們也知道有負(fù)數(shù)。我趁熱打鐵追問：“那負(fù)數(shù)是自然數(shù)嗎？”有一部分學(xué)生遲疑地看著我，也有學(xué)生不假思索地說：“是?！蔽抑纼H憑學(xué)生現(xiàn)在的認(rèn)知能力很難區(qū)分這兩個(gè)概念，但不說清楚又會(huì)給學(xué)生留下錯(cuò)誤的第一印象，于是我這樣引導(dǎo)：“我們再來仔細(xì)讀一讀這個(gè)概念。讀的同時(shí)，請注意‘表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3……是自然數(shù)，也就是說，自然數(shù)是用來表示物體個(gè)數(shù)的。因?yàn)?表示一個(gè)物體也沒有，所以0是最小的自然數(shù)，而負(fù)數(shù)不能用來表示物體個(gè)數(shù)，所以負(fù)數(shù)不是自然數(shù)。但-1、-2……這樣的負(fù)數(shù)確實(shí)是整數(shù)?！边呎f邊板書：

聽完講解，學(xué)生有的豁然開朗，有的半信半疑，還有的仍然一頭霧水……顯然，相當(dāng)一部分學(xué)生還沒有真正區(qū)分清楚，于是我說：“現(xiàn)在，誰能再來說一說整數(shù)和自然數(shù)之間的關(guān)系？”生1：“有的整數(shù)是自然數(shù)，有的整數(shù)不是自然數(shù)?！鄙?：“整數(shù)的范圍大，自然數(shù)的范圍小?！鄙?：“自然數(shù)是整數(shù)的一部分。”生4迫不及待地說：“自然數(shù)是特殊的整數(shù)。”經(jīng)過相互啟發(fā)式的語言表述，學(xué)生對兩者的關(guān)系有了更清晰的認(rèn)識。我順勢引導(dǎo)：“你們能用一幅圖來表示整數(shù)和自然數(shù)之間的關(guān)系嗎？小組討論一下?！庇懻撨^后，學(xué)生呈現(xiàn)了三幅作品（如圖1、圖2、圖3）。

圖1顯然是受教師板書啟發(fā)的結(jié)果。圖2是學(xué)生聯(lián)想到了長方形和正方形的關(guān)系而畫的。由此可見，學(xué)生以前積累的圖形語言經(jīng)驗(yàn)在起作用，這樣的聯(lián)想也是非常有效的學(xué)習(xí)方法。圖3是學(xué)生想到了昨天學(xué)的數(shù)軸，自然數(shù)是從0開始的，一直往右延伸，而整數(shù)還有比0小的負(fù)數(shù)，所以還可以從0往左延伸。最后，我要求學(xué)生用文字語言描述整數(shù)和自然數(shù)的關(guān)系，學(xué)生的表達(dá)明顯更流暢了。

在這個(gè)例子中，學(xué)生對概念的理解從混沌到清晰，數(shù)學(xué)語言的表達(dá)從單一到多元。文字語言的表達(dá)比較抽象，而圖形語言的表達(dá)更直觀，能給學(xué)生留下深刻印象。在對比兩種數(shù)學(xué)語言的過程中，學(xué)生思維的深刻性不斷加強(qiáng)，思維的靈活性也得到了發(fā)展。學(xué)生對圖形語言的表達(dá)有著天然的親近感，這為學(xué)生進(jìn)行知識的遷移、聯(lián)想提供了良好的媒介，有效拓展了學(xué)生思維的廣度。

2.提煉數(shù)學(xué)語言表達(dá)，促思維深度發(fā)展

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象看本質(zhì)，全面地思考問題，養(yǎng)成追根究底的習(xí)慣。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，發(fā)現(xiàn)并提煉規(guī)律性的知識;在學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)或理解時(shí)，教師要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)的準(zhǔn)確性，及時(shí)糾正表達(dá)中的錯(cuò)誤，提高他們數(shù)學(xué)語言表達(dá)的精度。

例如，教學(xué)“一個(gè)數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算乘法”時(shí)，教材安排了兩組對比練習(xí)：

（1）20×3? ? ?3×50? ? ? ? ? 40×5? ? ? ? ? ?6×70

（2）20×30? ? ? ? 30×50? ? ? ? 40×50? ? ? ? ?60×70

在學(xué)生完成口算后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察并比較。

師：這兩組算式有什么相同和不同的地方？

生1：第二組算式的結(jié)果都比對應(yīng)的第一組算式多1個(gè)0。

生2：上下對應(yīng)的兩個(gè)算式中，下面的一個(gè)乘數(shù)不變，另一個(gè)乘數(shù)比上面的多1個(gè)0。

師：這個(gè)變化如果用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，可以怎么說？

生3：擴(kuò)大10倍。

師：對！如，3乘10得到30，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是把3擴(kuò)大10倍。誰能用這樣的數(shù)學(xué)語言再來說一說這兩組算式的變化規(guī)律？

生4：一個(gè)乘數(shù)不變，另一個(gè)乘數(shù)擴(kuò)大10倍，積也擴(kuò)大10倍。

師：說得真好。我把你說的記錄下來了（板書）。大家對照其他題目，想一想，生4概括得對不對？你還有什么發(fā)現(xiàn)或補(bǔ)充？

（給學(xué)生一定的思考時(shí)間后，又有學(xué)生舉手）

生5：上下對應(yīng)的兩個(gè)算式的計(jì)算方法相同，都是先把0忽略不看，用的是同一個(gè)口訣;不同的是上面一組算式算完以后要添1個(gè)0，而下面一組算完以后要添2個(gè)0。

師（肯定學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，并進(jìn)一步啟發(fā)）：你還發(fā)現(xiàn)了計(jì)算方法上的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，真好！說到這個(gè)0，我們再來仔細(xì)觀察一下，有的積末尾有1個(gè)0，有的積末尾卻有3個(gè)0，積末尾的0和什么有關(guān)呢？小組討論一下。

生6：我們發(fā)現(xiàn)乘數(shù)中有1個(gè)0，積就有1個(gè)或2個(gè)0。乘數(shù)中有2個(gè)0，積就有2個(gè)或3個(gè)0。

師：你說的0分別在乘數(shù)和積的哪個(gè)位置？

生6：0在乘數(shù)的個(gè)位，在積的個(gè)位或十位，也就是最后幾位。

師：用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言說就是，這些0的位置在乘數(shù)和積的末尾。誰能再準(zhǔn)確地說一說？

生7：乘數(shù)末尾有1個(gè)0，積的末尾就有1個(gè)或2個(gè)0;乘數(shù)末尾有2個(gè)0，積的末尾就有2個(gè)或3個(gè)0。

師：我把你們的發(fā)現(xiàn)也記錄下來了。但我有個(gè)疑問，當(dāng)乘數(shù)末尾只有1個(gè)0時(shí)，積的末尾為什么會(huì)有2個(gè)0呢？

生8：例如40×5，先算4×5=20，這時(shí)積已經(jīng)有1個(gè)0了，再添上乘數(shù)的1個(gè)0，積就有2個(gè)0了。

師：你們解釋得很好。不過，我們能否把這個(gè)發(fā)現(xiàn)說得更簡潔一些呢？用詞要更少，但意思不能錯(cuò)。比如，乘數(shù)末尾有1個(gè)0，積的末尾（）有1個(gè)0。

有的學(xué)生說填“可能”，馬上就有人反駁說填“至少”。至少有1個(gè)，表示可以是1個(gè)，也可以是2個(gè)，甚至更多。后面這個(gè)的觀點(diǎn)得到大家的一致認(rèn)可。最后，教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)兩個(gè)發(fā)現(xiàn)：乘數(shù)末尾有1個(gè)0，積的末尾至少有1個(gè)0;乘數(shù)末尾有2個(gè)0，積的末尾至少有2個(gè)0。

經(jīng)過這一番層層推敲提煉，學(xué)生的思維也隨著語言的提煉逐步向縱深發(fā)展。最后得出的兩個(gè)發(fā)現(xiàn)，因?yàn)槭菍W(xué)生一步步習(xí)得的數(shù)學(xué)語言，伴隨著理解和認(rèn)可，所以非常容易記憶。

3.訓(xùn)練數(shù)學(xué)語言表達(dá)，促思維敏捷度發(fā)展

小學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)在很大程度上依賴于模仿訓(xùn)練。特別是一些與生活實(shí)際聯(lián)系不大，抽象性強(qiáng)的數(shù)學(xué)語言，更是學(xué)生理解和應(yīng)用的難點(diǎn)，僅靠課堂上聽教師的講解是難以內(nèi)化的，必須通過一定的訓(xùn)練，強(qiáng)化理解，才能真正內(nèi)化為學(xué)生自己的數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)。 這樣的訓(xùn)練過程是學(xué)生數(shù)學(xué)思維不斷發(fā)展的過程，也是促進(jìn)小學(xué)生思維過渡的必要手段。

例如，“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”在三年級上冊和下冊各安排了一個(gè)單元。其中，上冊是把一個(gè)物體看作單位“1”進(jìn)行平均分，得出相應(yīng)分?jǐn)?shù);下冊是把一些物體看作單位“1”進(jìn)行平均分，得出相應(yīng)分?jǐn)?shù)，并要解決求一個(gè)整體的幾分之幾是多少的簡單分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。顯然，下冊的學(xué)習(xí)與學(xué)生已掌握的整數(shù)平均分概念既有聯(lián)系，又有沖突，是學(xué)生理解的難點(diǎn)。如果不能引導(dǎo)學(xué)生真正突破認(rèn)知難點(diǎn)，學(xué)生雖然也可以“依葫蘆畫瓢”正確解答這些簡單分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，但稀里糊涂的認(rèn)知一定會(huì)給后續(xù)學(xué)習(xí)埋下很大的隱患。

教學(xué)中，我緊緊抓住數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)訓(xùn)練來確保學(xué)習(xí)質(zhì)量，安排了三個(gè)層次的強(qiáng)化訓(xùn)練。第一層次，結(jié)合具體實(shí)物或圖片用數(shù)學(xué)語言表達(dá)（主要安排在前兩個(gè)課時(shí)）。如，教材第64頁，要求學(xué)生在填一填之前先用數(shù)學(xué)語言完整表達(dá)圖意——“把6個(gè)球看作一個(gè)整體，平均分成6份，每份是這個(gè)整體的[16]”“把6個(gè)蘋果看作一個(gè)整體，平均分成3份，每份是這個(gè)整體的[13]”。這樣的語言訓(xùn)練結(jié)合了實(shí)物圖，降低了理解的難度，重點(diǎn)突破語言表達(dá)規(guī)范性的要求。第二層次，解讀規(guī)范的“關(guān)鍵句”。經(jīng)過第一層次的訓(xùn)練，學(xué)生積累了一定的操作經(jīng)驗(yàn)和表象，慢慢過渡到脫離實(shí)物圖來解讀“關(guān)鍵句”。如，一籃草莓的[34]。解讀：把一籃草莓看作一個(gè)整體，平均分成4份，其中3份就是這個(gè)整體的[34]。我把類似“（? ?）的 [（? ?）（? ?）]”這樣的句式作為規(guī)范的“關(guān)鍵句”進(jìn)行單項(xiàng)訓(xùn)練，連續(xù)訓(xùn)練了兩個(gè)課時(shí)。第三層次，解讀不完整的“關(guān)鍵句”。如，第一組學(xué)生中，男生占[712]。解讀：先把“關(guān)鍵句”補(bǔ)充完整——男生占第一組學(xué)生的[712]，也就是把第一組學(xué)生看作一個(gè)整體，平均分成12份，男生占其中的7份。 通過類似的解讀訓(xùn)練，讓學(xué)生充分練習(xí)將這些簡明的“關(guān)鍵句”轉(zhuǎn)化為熟悉的語言，有效提高了學(xué)生思維的敏捷性，也促使學(xué)生從形象思維順利過渡到抽象思維。

教學(xué)實(shí)踐證明，學(xué)生數(shù)學(xué)語言發(fā)展水平的提高，對數(shù)學(xué)思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和創(chuàng)造性等品質(zhì)的影響是顯著的、積極的。在學(xué)生的關(guān)鍵年齡期，教師一定要把此項(xiàng)訓(xùn)練落實(shí)到教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在每一節(jié)數(shù)學(xué)課上都有所收獲。核心素養(yǎng)要真正內(nèi)化到學(xué)生身上，就需要這樣“落地生根”的課堂積累，有量變才能達(dá)到質(zhì)變。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)一定要關(guān)注學(xué)生思維品質(zhì)的提升，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)持久的學(xué)習(xí)力。

（責(zé)編 李琪琦）