李曉鵬，王 智，王德倫

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

0 引言

球桿儀是機(jī)床精度試驗(yàn)的推薦設(shè)備[1-2]。一個(gè)典型的應(yīng)用是用球桿儀來評價(jià)兩正交移動(dòng)副的聯(lián)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)，從中辨識出機(jī)床機(jī)械系統(tǒng)及其驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的一些重要的精度指標(biāo)[3-5]，如比例不匹配、不垂直度、反向越?jīng)_和反向間隙。由于球桿儀安裝方便，可以進(jìn)行高效的多軸同步圓周運(yùn)動(dòng)精度測試，球桿儀被廣泛應(yīng)用于機(jī)床和工業(yè)機(jī)器人的幾何誤差檢測和辨識[6-8]。

球桿儀的測量數(shù)據(jù)中包含移動(dòng)副的誤差、驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)誤差以及球桿儀的安裝誤差?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)中通常假設(shè)球桿儀做平面運(yùn)動(dòng)，采用最小二乘圓擬合來消除安裝誤差，進(jìn)而辨識出機(jī)床的幾何誤差[9-10]。本文提出一種基于PPSPS空間五桿機(jī)構(gòu)的球桿儀測量機(jī)床兩軸工作臺的精度模型，不需要作平面假設(shè)，可以同時(shí)辨識出球桿儀安裝位置誤差、機(jī)床移動(dòng)副的幾何誤差和運(yùn)動(dòng)誤差，為機(jī)床移動(dòng)副的精度檢測提供了理論依據(jù)。

1 機(jī)床兩軸工作臺精度的球桿儀測量

1.1 球桿儀結(jié)構(gòu)原理

球桿儀可看成一個(gè)SPS機(jī)構(gòu)，由兩個(gè)精密球(SA、SB)和一個(gè)高精度伸縮式線性傳感器(PAB)組成。以機(jī)床移動(dòng)副PX軸和PY軸工作臺的圓測試為例，球桿儀上SB連接工作臺，SA連接主軸，在測試過程中SA保持固定，使球桿儀SB繞SA做圓周運(yùn)動(dòng)，球桿儀記錄下SA和SB之間的距離，如圖1。在現(xiàn)有的方法中將球桿儀測量長度與標(biāo)定長度的偏差表示為敏感方向上的運(yùn)動(dòng)副誤差[6-7]。

圖1 球桿儀安裝示意圖

1.2 球桿儀誤差辨識

當(dāng)存在安裝誤差時(shí)，球桿儀測量數(shù)據(jù)會(huì)出現(xiàn)正弦特性。Zargarbashi S H H等[9]建立了球桿儀平面測試的安裝誤差的數(shù)學(xué)模型，并提出了一種迭代最小二乘法來消除安裝偏心。球桿儀的運(yùn)動(dòng)被假設(shè)為平面運(yùn)動(dòng)，球桿儀的安裝誤差被等價(jià)于圓心的偏差(u，v)，如圖2所示。

圖2 球桿儀的安裝偏心

從消除安裝偏心的測量數(shù)據(jù)中可以辨識出比例不匹配、垂直度、反向越?jīng)_和反向間隙等誤差項(xiàng)。在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，通常將球桿儀的測量值與球桿儀校準(zhǔn)長度r之差Δr，向兩個(gè)正交坐標(biāo)軸方向投影，得到單個(gè)軸的誤差分量：

Δr=(xΔX+yΔY)r

(1)

ΔX為PX的誤差分量，ΔY為PY的誤差分量。 建立幾何誤差模型(如多項(xiàng)式模型)，通過最小二乘法等方法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，解得誤差函數(shù)的系數(shù)[4]。

(a)垂直度 (b)比例不匹配

(c)反向越?jīng)_ (d)反向間隙 圖3 球桿儀檢測的誤差項(xiàng)

垂直度誤差是指在機(jī)床測試部位PX軸和PY軸相互間不為90°，見圖3a。設(shè)PX和PY不垂直度對PY軸誤差分量系數(shù)δY，則PX和PY不垂直度α為:

(2)

比例不匹配誤差是指在測試過程中被測量軸PX和PY間的行程差，見圖3b。設(shè)PX軸的比例系數(shù)為a, PY軸的比例系數(shù)為b，則PX和PY的比例不匹配誤差[11]E為：

E=2r(a-b)

(3)

反向越?jīng)_是機(jī)器軸在換向處非平穩(wěn)反向運(yùn)動(dòng)而可能短時(shí)的粘性停頓產(chǎn)生的一個(gè)尖峰，見圖3c；反向間隙主要由傳動(dòng)部件如絲杠、螺母等出現(xiàn)制造安裝誤差或磨損產(chǎn)生，見圖3d。假定在某換向處，換向前圓圖譜半徑為rb，換向后圓圖譜半徑為rg，換向峰值處半徑為rp，則反向間隙Δb和反向越?jīng)_Δp[12]為:

Δb=rg-rb
Δp=rp-rg

(4)

2 機(jī)床工作臺精度測量的PPSPS機(jī)構(gòu)

2.1 空間PPSPS機(jī)構(gòu)

由圖1，球桿儀的SPS運(yùn)動(dòng)鏈和兩個(gè)待測移動(dòng)副PX和PY可以組成空間五桿機(jī)構(gòu)PPSPS，見圖4a。PPSPS機(jī)構(gòu)共有9個(gè)參數(shù)，其中有6個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)l0, l1, l2, α12, θ1, θ2，兩個(gè)輸入?yún)?shù)dY和dX和一個(gè)輸出參數(shù)dAB。其中，dAB是球桿儀計(jì)算長度，對應(yīng)球桿儀測量值；dY是移動(dòng)副PY的位移，dX是移動(dòng)副PX的位移；l0和θ1是定球心SA的位置和方向，l2和θ2是動(dòng)球心SB的位置和方向，這4個(gè)參數(shù)由球桿儀安裝后確定；l1是PY軸和PX軸的公垂線長度，α12是PY軸和PX軸之間的夾角，理想情況下α12=90°，這兩個(gè)參數(shù)由機(jī)床本身的精度確定。

為了描述各參數(shù)之間的關(guān)系，過定球心SA建立固定坐標(biāo)系{Of;i0,j0,k0}，移動(dòng)副PX上建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系{X;i2,j2,k2}。移動(dòng)副PY運(yùn)動(dòng)軸線為k1，移動(dòng)副PX運(yùn)動(dòng)軸線為k2，如圖4a所示 。

(a)機(jī)構(gòu)參數(shù)

(b)矢量圖 圖4 PPSPS機(jī)構(gòu)參數(shù)與矢量圖

矢量圖見圖4b，PPSPS的位移方程可由下式表示：

ROA+RAB=ROY+RYC+RCX+RXB

(5)

其中，RAB是定球心SA到動(dòng)球心SB的矢量，其值為球桿儀的長度；ROY和RCX分別是PY和PX的位移矢量；ROA是過SA的矢量，且垂直于ROY，RXB是過SB的矢量，且垂直于RCX；RYC是PY和PX公垂線的矢量。將標(biāo)量帶入式(5)中，可得dAB的表達(dá)式：

(6)

其中，

V= -l0dXsθ1sα12+l2dYsθ2sα12+dXdYcα12

理想情況下，球桿儀的理論值dAB可由式(6)得到。然而由于兩個(gè)移動(dòng)副的誤差運(yùn)動(dòng)，球桿儀的測量數(shù)據(jù)既包括式(6)中計(jì)算得到的理論值dAB，也包括移動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)誤差。

2.2 PPSPS機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

(7)

其中，

(8)

2.3 基于PPSPS機(jī)構(gòu)的機(jī)床誤差辨識

前文第1節(jié)中辨識出的機(jī)床誤差也可以通過PPSPS機(jī)構(gòu)擬合的方法得到。PPSPS機(jī)構(gòu)的等效安裝偏心δX和δY見圖5，可以由PPSPS的結(jié)構(gòu)參數(shù)得到δX=-l0sinθ1sinα12)，δY=l2sinθ2sinα12。

圖5 球桿儀的等效安裝偏心

兩軸的垂直度誤差也可以由結(jié)構(gòu)參數(shù)得到：α12-π/2。

給定PX、PY軸的比例系數(shù)a、b，令輸入?yún)?shù)dX=a×dX、dY=b×dY，帶入式(8)中2次優(yōu)化，優(yōu)化變量為a、b，其他參數(shù)不變。兩軸的比例不匹配為2r(a-b)，其中r為機(jī)床圓測試半徑。比例不匹配的計(jì)算公式與1.2節(jié)中相同。

將PPSPS機(jī)構(gòu)擬合得到的運(yùn)動(dòng)誤差分別向PX、PY軸投影：

(9)

3 算例

3.1 球桿儀精確安裝

如圖6為球桿儀測量PX和PY聯(lián)動(dòng)的一組測量數(shù)據(jù)。

圖6 球桿儀測量數(shù)據(jù)

用球桿儀測量移動(dòng)副誤差的球桿儀測量值，應(yīng)用數(shù)學(xué)工具對模型(8)進(jìn)行優(yōu)化求解，解得最優(yōu)解，見表1。

表1 機(jī)構(gòu)擬合參數(shù)

用機(jī)構(gòu)擬合得到的運(yùn)動(dòng)誤差圖與用最小二乘圓擬合得到的殘余誤差圖一致，因此可以認(rèn)為兩種方法在球桿儀精確安裝時(shí)是等效的。

(a)PPSPS機(jī)構(gòu) (b)最小二乘法 圖7 球桿儀測量數(shù)據(jù)擬合的殘余誤差

3.2 球桿儀任意位置安裝

為了比較兩種方法算得的圓測法的誤差項(xiàng)，改變機(jī)床圓測試半徑，分別用PPSPS機(jī)構(gòu)法和最小二乘法對球桿儀測量數(shù)據(jù)分析，在不同安裝模式下的測量結(jié)果如圖8所示。

(a) 不垂直度 (b) 比例不匹配

(c) PX軸反向間隙 (d) PY軸反向間隙

(e) PX軸反向越?jīng)_ (f) PY軸反向越?jīng)_ 圖8 球桿儀測量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)分析結(jié)果對比

由于采用機(jī)構(gòu)學(xué)方法進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，是將殘余誤差向兩個(gè)空間矢量投影ROY和RCX投影(PY和PX的位移矢量)，而最小二乘法向平面兩個(gè)坐標(biāo)軸投影，因此誤差項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果略有不同。

從圖8中可以看出，當(dāng)改變機(jī)床圓測試半徑時(shí)，由PPSPS機(jī)構(gòu)法分析得到的誤差項(xiàng)的值更穩(wěn)定，而采用最小二乘法得到的結(jié)果波動(dòng)較大。這說明PPSPS機(jī)構(gòu)法的數(shù)據(jù)分析結(jié)果與球桿儀的安裝位置無關(guān)，而采用最小二乘法的數(shù)據(jù)分析結(jié)果與安裝位置有關(guān)。

4 結(jié)論

從球桿儀測試機(jī)床兩軸工作臺精度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，在球桿儀精確安裝時(shí)，PPSPS機(jī)構(gòu)法與最小二乘法是等效的；PPSPS機(jī)構(gòu)法的數(shù)據(jù)分析結(jié)果與球桿儀的安裝位置無關(guān)，而最小二乘法的數(shù)據(jù)分析結(jié)果受安裝位置的影響較大。

PPSPS機(jī)構(gòu)法不作平面假設(shè)，測試時(shí)不必將球桿儀平行于工作臺平面安裝，降低了球桿儀的使用條件；可以同時(shí)辨識出球桿儀的安裝誤差、兩個(gè)機(jī)床移動(dòng)副之間的方向偏差和運(yùn)動(dòng)誤差，提高了球桿儀的精度測試的效率；基于PPSPS機(jī)構(gòu)模型的數(shù)據(jù)分析方法，可以進(jìn)一步辨識圓測試標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的誤差項(xiàng)，且誤差項(xiàng)對應(yīng)明確的幾何意義。