周盛凡, 伍璐瑤, 蘇海娟

(浙江師范大學 數(shù)學與計算機科學學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

FiztHugh-Nagumo系統(tǒng)主要用于描述神經(jīng)生物學中軸突的信號傳遞,并被廣泛研究[1-9].文獻[7-9]研究了具有可加可乘白噪聲、隨機耦合系數(shù)的FiztHugh-Nagumo格點系統(tǒng)的隨機吸引子的存在性.但對隨機FiztHugh-Nagumo格點系統(tǒng)的隨機吸引子維數(shù)的有界性與吸引軌道速率的研究未見報道.

本文研究如下具有可乘白噪聲的非自治FitzHugh-Nagumo格點系統(tǒng)的隨機指數(shù)吸引子的存在性:

(1)

式(1)中:i∈Z;λi>0;ui∈R;vi∈R;g1i(t)∈R;g2i(t)∈R;fi(ui,t)∈R;u=(ui)i∈Z;ε∈R;δ>0;σ>0;A是線性耦合算子;w(t)是概率空間(Ω,F,P)上一個雙邊實值Wiener過程,其中Ω={ω∈C(R,R):ω(0)=0},F是Ω的緊開拓撲誘導的Borelσ-代數(shù),P為F上的維納概率測度[10].

文獻[11]給出了余圈的隨機指數(shù)吸引子的存在性條件,并應(yīng)用于有可乘白噪聲的一階非自治格點系統(tǒng)的隨機指數(shù)吸引子的存在性.本文將結(jié)合文獻[7,9,11]中的方法,考慮系統(tǒng)(1)在一定條件下、在無窮序列加權(quán)空間中的隨機指數(shù)吸引子的存在性,從而得到了系統(tǒng)(1)的隨機吸引子的分形維數(shù)和拓撲維數(shù)的有界性,還得到了隨機指數(shù)吸引子指數(shù)吸引軌道的速率.

1 余圈的隨機指數(shù)吸引子

將文獻[6]中的定理4.1和文獻[11]中的定理2.1,2.3,2.4的證明過程稍作修正和改進即可得到以下定理:

那么,{Φ(t,τ,ω)}t≥0,τ∈R,ω∈Ω有一個隨機指數(shù)吸引子{K(τ,ω)}τ∈R,ω∈Ω,具有以下性質(zhì):對任意τ∈R,ω∈Ω,t≥0,有：

2)Φ(t,τ,ω)K(τ,ω)?K(t+τ,θtω);

2 非自治隨機FitzHugh-Nagumo格點系統(tǒng)的隨機指數(shù)吸引子

考慮系統(tǒng)(1),它可以寫成以下向量形式:

(2)

式(2)中:u=(ui)i∈Z;λu=(λiui)i∈Z;f(u,t)=(fi(ui,t)i∈Z);gj(t)=(gji(t))i∈Z,j=1,2.

設(shè)權(quán)函數(shù)ρ:Z→R+和系統(tǒng)(2)中的A,λ,f(u,t),g1(t),g2(t)滿足下列條件:

m0∈N;與D在2中共軛:?

(A3)g1(t)=(g1i(t))i∈Z,g2(t)=(g2i(t))i∈Z,h(t)=(hi(t))i∈Z∈G,其中

(4)

(5)

(6)

由常微分方程解的存在唯一性理論和余圈的性質(zhì),得到如下定理:

2.1 先驗估計

記

令

(7)

(8)

則存在TB0(ω)≥0(與τ無關(guān)),使得?τ∈R,當t≥TB0(ω)≥0時,

(9)

(10)

選擇光滑函數(shù)θ∈C1(R+,R),滿足

(11)

式(11)中,C1>0為正常數(shù).

式( 12) 中:

(13)

2.2 隨機指數(shù)吸引子

現(xiàn)在用定理1證明:在條件(A0)～(A5)成立時,余圈Ψ存在隨機指數(shù)吸引子.

對任意τ∈R,ω∈Ω,令

下面證明Ψ在 {χ1(τ,ω)}上滿足定理1的條件(H2).

(14)

(15)

(16)

式(16)中,

(17)

證明 設(shè)

那么,對r≥τ-t,有

(18)

(19)

于是,分別用q(r),ξ(r)對式(18)作內(nèi)積,且由Gronwall不等式得:當M≥2I時,

(20)

式(20)中:

由式(20)得:對M≥2I,

(21)

定理7假設(shè)系數(shù)ε與ν=ν0>0滿足

定理8假設(shè)(A0)～(A5)成立,那么

定理7、定理8的證明類似于文獻[11]中的引理3.9和引理3.10,故略.

由定理1、定理5、定理7、定理8和文獻[11]的定理2.2,得到本文的主要結(jié)果:

定理9假設(shè)(A0)～(A5)和式(15)成立,那么{Ψ(t,τ,ω)}t≥0,τ∈R,ω∈Ω有隨機指數(shù)吸引子{A(τ,ω)}τ∈R,ω∈Ω,具有以下性質(zhì):對任意的τ∈R,ω∈Ω,t≥0,有：

2)Ψ(t,τ,ω)A(τ,ω)?A(t+τ,θtω);

3 結(jié) 語

本文主要考慮系統(tǒng)(1)在一定條件下,在無窮序列加權(quán)空間中隨機指數(shù)吸引子的存在性.首先介紹了定義在無窮序列加權(quán)空間上的連續(xù)余圈(或稱為非自治連續(xù)隨機動力系統(tǒng))的隨機指數(shù)吸引子的存在性判據(jù);再利用Ornstein-Uhlenbeck過程將具白噪聲的FitzHugh-Nagumo 格點系統(tǒng)(2)(或系統(tǒng)(1))轉(zhuǎn)化成具有隨機參數(shù)而無噪聲的隨機系統(tǒng)(6);最后證明該系統(tǒng)(6)存在隨機指數(shù)吸引子.

本文結(jié)果表明:在一定條件下,系統(tǒng)(1)的隨機吸引子具有有限的分形維數(shù),這蘊含著系統(tǒng)(1)的解的漸進行為可由有限個參數(shù)來描述,進而從動力學的意義上來說,可以把原來是無窮維的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為有限維的系統(tǒng).

后續(xù)研究:將考慮系統(tǒng)(1)的隨機指數(shù)吸引子關(guān)于參數(shù)ε的連續(xù)性及在什么條件下會有無窮維隨機吸引子等問題.