胡獻(xiàn)國, 呂家鳳

(浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

1933年,Ore[1]介紹了一類非交換的多項(xiàng)式環(huán),這已經(jīng)成為環(huán)理論中的最常用的一種構(gòu)造,常稱之為Ore擴(kuò)張.2006年,文獻(xiàn)[2]引入了Poisson多項(xiàng)式代數(shù),自此,Poisson Ore擴(kuò)張的方法被廣泛使用.例如，近來文獻(xiàn)[3]討論了Poisson Hopf代數(shù)的Poisson Ore擴(kuò)張的Hopf結(jié)構(gòu),并從泛包絡(luò)代數(shù)的角度對(duì)Poisson Ore擴(kuò)張展開了詳細(xì)的研究[4].2008 年,文獻(xiàn)[5]發(fā)展了Ore擴(kuò)張的理論,給出了二重Ore擴(kuò)張的概念,并通過二重Ore擴(kuò)張構(gòu)造了幾類整體維數(shù)為4的Artin-Schelter正則代數(shù)[6].2011年,文獻(xiàn)[7]討論了二重Ore擴(kuò)張與迭代Ore擴(kuò)張之間的關(guān)系;2018 年,文獻(xiàn)[8]給出了二重Poisson Ore擴(kuò)張的泛包絡(luò)代數(shù)的具體結(jié)構(gòu).受以上結(jié)果的啟發(fā),本文主要考慮Poisson Hopf代數(shù)在二重Poisson Ore擴(kuò)張下的代數(shù)結(jié)構(gòu),給出了Poisson Hopf代數(shù)的二重Poisson Ore擴(kuò)張仍為Poisson Hopf代數(shù)的等價(jià)條件.

本文如無特別說明,所有的代數(shù)都含有單位元1,k表示特征為0的基域,所有的代數(shù)、余代數(shù)、Hopf代數(shù)與張量積都在k上.

1 二重Poisson Hopf擴(kuò)張

首先介紹Poisson Hopf代數(shù)、二重Poisson Ore擴(kuò)張、二重Poisson Hopf擴(kuò)張等相關(guān)概念和基本性質(zhì).

余代數(shù)與Hopf 代數(shù)的定義及相關(guān)性質(zhì)可參閱文獻(xiàn)[9].與余代數(shù)相關(guān)的記號(hào)如下：對(duì)于余代數(shù)C,分別用Δ與ε表示余乘法與余單位；對(duì)于任給的c∈C,根據(jù)Sweedler記號(hào),記Δ(c)=Σ(c)c(1)?c(2)，在具體的使用中,Σ(c)經(jīng)常省略不寫；令G(C)為C中所有類群元的集合,C+為余單位ε的核.

設(shè)(A,{·,·}A)與(B,{·,·}B)均為Poisson代數(shù)[10],若存在代數(shù)同態(tài)f:A→B,使得對(duì)任給的a,b∈A,有f({a,b}A)={f(b),f(a)}B,則稱f為Poisson代數(shù)反同態(tài).另一方面,對(duì)于任給的交換代數(shù)A,令[a,b]=ab-ba,?a,b∈A.易證(A,[·,·]) 是Poisson代數(shù).

定義1[10]設(shè)Poisson代數(shù)(A,{·,·})是k上的雙代數(shù)(A,m,μ,ε,Δ),其中m:A?A→A和μ:k→A分別表示代數(shù)A的乘法與單位.如果對(duì)任給的a,b∈A,有Δ({a,b})={Δ(a),Δ(b)}A?A,那么稱A為Poisson雙代數(shù).若在此基礎(chǔ)上,A還是Hopf代數(shù),則稱A為Poisson Hopf代數(shù).

例1設(shè)A=k[g±1,y1,y2],則在A上存在唯一的Hopf結(jié)構(gòu),使得Δ(g)=g?g與Δ(yi)=g?yi+yi?1,其中i=1,2,g∈G(A).易知,A上的對(duì)極為S(g)=g-1與S(yi)=-g-1yi,i=1,2.更進(jìn)一步,如果令

{y1,g}=-λgy1, {y2,g}=λgy2, {y2,y1}=λy1y2,λ∈k,

那么A是Poisson Hopf代數(shù).

對(duì)于Poisson Hopf代數(shù),有下面結(jié)果[3]:

命題1設(shè)A為Poisson Hopf代數(shù),那么對(duì)任給的a,b∈A,有:

1)ε({a,b})=0;

2)S為Poisson代數(shù)反同態(tài),即

S(ab)=S(a)S(b);S({a,b})={S(b),S(a)}.

在文獻(xiàn)[8]中,二重Poisson Ore擴(kuò)張是由左二重Ore擴(kuò)張的semiclassical limit來定義的，其定義如下:

設(shè)R是Poissonk-代數(shù),R[y1,y2]是交換多項(xiàng)式環(huán).令

其中,M2×1(R),M2×2(R)與M2×1(R[y1,y2])均為PoissonR-模[8].

由文獻(xiàn)[8]可知,當(dāng)Poisson括號(hào){·,·}滿足

(1)

時(shí),R[y1,y2]是Poisson代數(shù).更進(jìn)一步，對(duì)任給的a,b∈R,式(1)成立當(dāng)且僅當(dāng){q,α,ν,ω}(常稱之為PDE-數(shù)據(jù))滿足下列關(guān)系：

1)α(ab)=aα(b)+bα(a); 2)ν(ab)=aν(b)+bν(a);

3)α({a,b})={α(a),b}+{a,α(b)}+[α(a),α(b)];

4)ν({a,b})={ν(a),b}+{a,ν(b)}+α(a)ν(b)-α(b)ν(a);

5){y2,{y1,a}}+{y1,{a,y2}}+{a,{y2,y1}}=0.

其中,[α(a),α(b)]=α(a)α(b)-α(b)α(a).

Poisson結(jié)構(gòu)滿足式(1)的 Poisson代數(shù)R[y1,y2]被稱為R的二重Poisson Ore擴(kuò)張,或簡稱為R的二重Poisson擴(kuò)張,記為R[y1,y2;α,ν]p.此時(shí),稱{q,α,ν,ω}為二重Poisson擴(kuò)張的PDE-數(shù)據(jù).

受文獻(xiàn)[3,11]的啟發(fā),可給出如下的定義:

定義2設(shè)R是Poisson Hopf代數(shù),R[y1,y2;α,ν]p是R的二重Poisson Ore擴(kuò)張.若R[y1,y2;α,ν]p是Poisson Hopf代數(shù),使得R是其Poisson Hopf子代數(shù),則稱R[y1,y2;α,ν]p是R的二重Poisson Hopf擴(kuò)張.

相應(yīng)地,可以給出迭代二重Poisson Hopf擴(kuò)張的定義.

定義3設(shè)R是Poisson Hopf代數(shù).若B是Poisson Hopf代數(shù),且B包含如下的Poisson Hopf子代數(shù)鏈:

R=B(0)?…?B(i)?B(i+1)?…?B(n)=B,

使得每個(gè)擴(kuò)張B(i)?B(i+1)=B(i)[yi+1,yi+2;αi+1,νi+1]p均為二重Poisson Hopf擴(kuò)張,則稱B是R的迭代二重Poisson Hopf擴(kuò)張.

2 二重Poisson Hopf擴(kuò)張的等價(jià)條件

下面將給出Poisson Hopf代數(shù)R的二重Poisson Hopf擴(kuò)張的等價(jià)條件.

從現(xiàn)在起,假定R為Poisson Hopf代數(shù),A=R[y1,y2;α,ν]p是R的二重Poisson擴(kuò)張,I是恒等映射R→R.令Δ(yi)具備如下形式:

Δ(yi)=gi?yi+yi?1+ui.

(2)

式(2)中:ui∈R?R;gi是R中的類群元;i=1,2.進(jìn)一步,假設(shè)ε(yi)=0,ui=∑uui1?ui2∈R+?R+.在使用過程中,∑u也經(jīng)常省略不寫.為方便起見,將式(2)簡記為

Δ(y)=g?y+y?1+u.

若A為Poisson Hopf代數(shù),則由余結(jié)合性與對(duì)極公理可推出如下等式:

命題2若A是R的二重Poisson Hopf擴(kuò)張,則有下述等式成立:

1)Δα(a)=α(a(1))?a(2);

3)Δα(a)·u+Δν(a)=ga(1)?ν(a(2))+ν(a(1))?a(2)+{u,a(1)?a(2)}.

證明 由式(1)所定義的Poisson關(guān)系可推出

{Δ(yi),Δ(a)}=Δ({yi,a})=Δαi1(a)Δ(y1)+Δαi2(a)Δ(y2)+Δνi(a).

其中,a∈R.注意到

{Δ(yi),Δ(a)}={gi?yi+yi?1+ui,a(1)?a(2)}=gia(1)?(αi1(a(2))y1+αi2(a(2))y2+νi(a(2)))+

{gi,a(1)}?a(2)yi+(αi1(a(1))y1+αi2(a(1))y2+νi(a(1)))?a(2)+{ui,a(1)?a(2)}.

而

Δαi1(a)Δ(y1)+Δαi2(a)Δ(y2)+Δνi(a)=

Δαi1(a)(g1?y1+y1?1+u1)+Δαi2(a)(g2?y2+y2?1+u2)+Δνi(a).

當(dāng)i=1時(shí),分別比較1?y1,y1?1,1?y2,y2?1與常數(shù)項(xiàng)的系數(shù),可得:

Δα11(a)u1+Δα12(a)u2+Δν1(a)=g1a(1)?ν1(a(2))+ν1(a(1))?a(2)+{u1,a(1)?a(2)}.

當(dāng)i=2時(shí),有相應(yīng)的式子成立.因此,命題2得證.

命題3采用上面的記號(hào),則有下列陳述成立:

1)存在線性映射η:R→M2×2(k),使得對(duì)任給的a∈A,有

2)η:R→M2×2(k) 滿足下列關(guān)系:

η(ab)=ε(a)η(b)+ε(b)η(a);η({a,b})=0.

其中,a,b∈A.

證明 1)令η(a)=α(a(1))S(a(2)),其中a∈A.由命題2可得

Δη(a)=Δα(a(1))ΔS(a(2))=(α(a(1))?a(2))T(S?S)Δ(a(3))=

α(a(1))S(a(4))?a(2)S(a(3))=α(a(1))S(a(3))?ε(a(2))=η(a)?1.

其中,T(a?b)=b?a,?a,b∈A.因此,對(duì)任給的a∈A,η(a)可看成是一個(gè)標(biāo)量,故可將η看成是從R到M2×2(k)的線性映射.

更進(jìn)一步,有

α(a)=η(a(1))a(2).

(3)

將式(3)代入命題2的2),并在兩邊同時(shí)作用I?ε,可得

2)由于α滿足PDE-數(shù)據(jù)中的第1)和第3)條關(guān)系,因此對(duì)任給的a,b∈A,有

η(ab)=α((ab)(1))S((ab)(2))=α(a(1)b(1))S(a(2)b(2))=

(a(1)α(b(1))+b(1)α(a(1)))S(b(2))S(a(2))=ε(a)η(b)+ε(b)η(a).

注意到

α({a,b})=η(a(1)b(1)){a(2),b(2)}+η({a(1),b(1)})a(2)b(2)=

(ε(a(1))η(b(1))+ε(b(1))η(a(1))){a(2),b(2)}+η({a(1),b(1)})a(2)b(2)=

{a,α(b)}+{α(a),b}+η({a(1),b(1)})a(2)b(2),

與PDE-數(shù)據(jù)中的第3)條關(guān)系相對(duì)比,有

[α(a),α(b)]=η({a(1),b(1)})a(2)b(2).

(4)

在式(4)兩邊同時(shí)作用ε,可得

ε([α(a),α(b)])=ε(η({a(1),b(1)})a(2)b(2))=η({a,b}).

注意到R為Poisson Hopf代數(shù),由命題1可得,η({a,b})=0.命題3得證.

命題4若A是R的二重Poisson Hopf擴(kuò)張,并仍采用上面的記號(hào),則有下列等式成立：

(q11u1+q12u2)u1+Δ(ω1)u1+Δ(ω2)u2+Δ(ω0).

證明 由式(1)所定義的Poisson關(guān)系可推出

注意到

{Δ(y2),Δ(y1)}={g2,g1}?y2y1+g2g1?{y2,y1}+{g2,y1}?y2+{g2?y2,u1}+{u2,u1}+

{y2,y1}?1+{y2?1,u1}+{u2,g1?y1}+{u2,y1?1}+{y2,g1}?y1=

ν1(g2))?y2+{u2,g1?y1}+(α21(g1)y1+α22(g1)y2+ν2(g1))?y1+{u2,u1}=

(α22(g1)?1)(y2?y1)-(α12(g2)?1)(y2?y2)+(ν2(g1)?1+{u21,g1}?u22+

g2u11?α21(u12))(1?y1)+(-g1u21?α11(u22)+g2g1?ω1)(1?y1)+

(α21(g1)?1)(y1?y1)+(-ν1(g2)?1-{u11,g2}?u12+g2u11?α22(u12))(1?y2)+

(-g1u21?α12(u22)+g2g1?ω2)(1?y2)-ν1(u21)?u22+

[ω1?1+α21(u11)?u12-α11(u21)?u22](y1?1)+ν2(u11)?u12+

[ω2?1+α22(u11)?u12-α12(u21)?u22](y2?1)+g2u11?ν2(u12)+

ω0?1+g2g1?ω0+{u2,u1}-g1u21?ν1(u22).

另一方面

q11(g1?y1+y1?1+u1)(g1?y1+y1?1+u1)+Δ(ω0)+q12(g1?y1+y1?1+u1)(g2?y2+y2?1+u2)=

q12(g1?1)(y2?y1)+2q11(g1?1)(y1?y1)+(q12u1+Δ(ω2))(y2?1)+

(2q11u1+q12u2+Δ(ω1))(g1?1)(1?y1)+Δ(ω2)u2+Δ(ω1)u1+

(q12u1+Δ(ω2))(g2?1)(1?y2)+(q11u1+q12u2)u1+Δ(ω0)+(2q11u1+q12u2+Δ(ω1))(y1?1).

綜上所述,有如下定理成立,該定理可看成是文獻(xiàn)[11]定理2.4的Poisson Hopf情形.

1)存在線性映射η:R→M2×2(k),使得對(duì)任給的a∈R,有

(5)

而且該映射η滿足如下條件:

η(ab)=ε(a)η(b)+ε(b)η(a);η({a,b})=ε([α(a),α(b)])=0, ?a,b∈R.

(6)

u?1+(Δ?I)(u)=g?u+(I?Δ)(u);

(7)

(8)

3)映射ν滿足:Δν(a)-ν(a(1))?a(2)-ga(1)?ν(a(2))={u,Δ(a)}-Δα(a)·u.

4)所有的這些數(shù)據(jù)還需滿足命題4中的1)～5)5個(gè)等式.

注意到:式(6)中的條件η(ab)=ε(a)η(b)+ε(b)η(a)說明η:R→M2×2(k)是一個(gè)代數(shù)導(dǎo)子.類似證明定理1的逆命題仍是正確的,即

例2采用例1中的記號(hào),則A=k[g±1,y1,y2]是Poisson Hopf代數(shù).令R=k[g±1],則R為A的Poisson Hopf子代數(shù),其Poisson括號(hào)具有平凡的Poisson結(jié)構(gòu).易證A是R的二重Poisson Hopf擴(kuò)張,其對(duì)應(yīng)的PDE-數(shù)據(jù)為{q,α,ν,ω}.其中:

注1很顯然,例2中的Poisson Hopf代數(shù)R=k[g±1]還可以實(shí)現(xiàn)迭代二重Poisson Hopf擴(kuò)張.

3 結(jié) 語

給出了Poisson Hopf 代數(shù)的二重Poisson Hopf擴(kuò)張的等價(jià)條件.這個(gè)結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[3]的Poisson Hopf擴(kuò)張的等價(jià)條件.由于本文所討論的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)并沒有具備一般情形,接下來可以考慮下面的問題:對(duì)于任給的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu),是否也能給出二重Poisson Hopf擴(kuò)張的等價(jià)條件?為此,筆者將進(jìn)行更深層的研究.