于相龍，周 濟(jì)

(1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230027)(2.清華大學(xué)材料學(xué)院 新型陶瓷材料與精細(xì)工藝國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

1 前 言

自然材料的力學(xué)性能，一般不是由一種屬性、幾種晶體學(xué)屬性的總和，或是一系列的晶界工程特性決定的，而是由材料各組分或各結(jié)構(gòu)單元之間的本構(gòu)關(guān)系決定，即由不同單元之間組合的結(jié)構(gòu)模式?jīng)Q定。相應(yīng)地，其外在宏觀表現(xiàn)出來的力學(xué)行為特征在工程中發(fā)揮著其應(yīng)有的使用價(jià)值。基于此，超材料嘗試著解除自然材料組分的影響，突出強(qiáng)化人工原子(單元格)幾何構(gòu)筑方式的作用。也就是說，通過對(duì)模塊化的人工原子進(jìn)行周期性或非周期性的幾何結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)來構(gòu)建新型材料。這樣得到的結(jié)構(gòu)材料宏觀呈現(xiàn)出的等效力學(xué)性能，可以由設(shè)計(jì)者按照需求自由選擇、自由調(diào)整，創(chuàng)造出自然界前所未見的反直覺超常力學(xué)特性。

超材料具體指的是由人工微結(jié)構(gòu)單元組成的功能材料，這些結(jié)構(gòu)單元決定著超材料的宏觀屬性[1]。因此，超材料研究是多學(xué)科跨界融合的有力體現(xiàn)。不同研究領(lǐng)域之間的思維沖突與碰撞，唯有在相關(guān)學(xué)科之間的界限處才最能突顯。超材料本質(zhì)上源自于深入地理解電磁波如何與亞波長尺度散射結(jié)構(gòu)相互作用，而后相繼拓展到其他不同基元，從而可以實(shí)現(xiàn)許多自然材料沒有的力、熱、聲、光等特殊性質(zhì)和超常功能[2]。根據(jù)超材料所調(diào)控基元的不同，可將其分為光學(xué)超材料、聲學(xué)超材料、熱學(xué)超材料和力學(xué)超材料等。更廣義地講，光子晶體、聲子晶體、光學(xué)超晶格、聲學(xué)超晶格等人工微結(jié)構(gòu)材料也可以納入到超材料的范式之中。不過，目前除光學(xué)超材料的研究比較深入，其他類型超材料的研究依然處于起步階段。

將超材料的設(shè)計(jì)理念拓展到力學(xué)領(lǐng)域后，成為了新型力學(xué)功能材料的生長點(diǎn)[3]。隨著3D打印等先進(jìn)制造技術(shù)的發(fā)展，具有更多樣化、更新奇力學(xué)特性的力學(xué)超材料物理模型也不斷地涌現(xiàn)。力學(xué)超材料是為調(diào)控彈性波而設(shè)計(jì)的人工微結(jié)構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)新奇的力學(xué)超常特性。本文依據(jù)各種不同類型力學(xué)超材料的幾何結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，重點(diǎn)論及在人工幾何構(gòu)筑方面的基本情況，以及不同構(gòu)型與超常力學(xué)性能之間的聯(lián)系。在論述相關(guān)問題時(shí)，著重理清基本概念和基礎(chǔ)理論，同時(shí)聯(lián)系了具體事例，評(píng)述了力學(xué)超材料前沿研究領(lǐng)域的發(fā)展。

2 力學(xué)超材料的定義與范疇

力學(xué)超材料(mechanical metamaterials)或譯為機(jī)械超材料，或稱結(jié)構(gòu)型超材料(structural metamaterials)，是超材料研究領(lǐng)域的新興分支，主要通過三維空間中特定的人工微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)來獲得均勻材料所不具備的超常規(guī)力學(xué)性能[4]。新奇的力學(xué)超常特性不僅受限于構(gòu)成該人工功能材料的組分，還強(qiáng)烈依賴于微結(jié)構(gòu)人工原子/基元和幾何結(jié)構(gòu)的排布形式。力學(xué)超材料是一種具有超常力學(xué)性能的人工設(shè)計(jì)微結(jié)構(gòu)，其單元特征尺寸范圍在十幾納米到幾百微米，整體結(jié)構(gòu)尺寸為厘米級(jí)或更大[5]。

力學(xué)超材料種類繁多，極具代表性的力學(xué)超材料通常與3種彈性模量和泊松比這4個(gè)彈性常數(shù)有關(guān)。其中，楊氏模量E、剪切模量G和體模量K從工程角度分別可用于衡量材料的勁度(stiffness)、剛度(rigidity)和可壓縮性(compressibility)。這些基本的力學(xué)性能參數(shù)也將作為力學(xué)超材料的分類依據(jù)。為此，按所調(diào)控彈性模量(楊氏模量、剪切模量和體模量)的不同，力學(xué)超材料可分類為負(fù)泊松比拉脹材料、剪切模量消隱五模式反脹材料、負(fù)壓縮性材料、負(fù)熱膨脹材料、模式轉(zhuǎn)換可調(diào)剛度材料、低密度超強(qiáng)仿晶格材料、折紙/剪紙超表面材料等[6-8]。本文未涉及折紙超表面材料，也未具體論及面向3D打印力學(xué)超材料的制備技術(shù)，相關(guān)內(nèi)容可參見書籍文獻(xiàn)[9]。

目前存在兩種力學(xué)性質(zhì)圖可以作為力學(xué)超材料設(shè)計(jì)的主要分類依據(jù)，這兩個(gè)基本圖表繪制了各種力學(xué)性質(zhì)的組合[10]：一是楊氏模量與密度(E-ρ)圖，稱為Ashby圖[11, 12]，用于評(píng)估輕質(zhì)超強(qiáng)力學(xué)超材料；二是體模量與剪切模量(K-G)圖，其中節(jié)選第一象限的部分，稱為米爾頓(Milton)圖[13]。

如圖1所示，在米爾頓圖中包括3個(gè)主要的區(qū)域范圍[4]。第一個(gè)典型區(qū)域是G(x)軸，為泊松比為負(fù)值的拉脹力學(xué)超材料。第二個(gè)典型分布區(qū)間落在K(y)軸，剪切模量接近于零的情形，是剪切模量消隱的反脹材料。第三部分是位于右下角的第四象限，滿足E>0和-4G/3

圖1 擴(kuò)展米爾頓K-G圖及力學(xué)超材料分類[4]Fig.1 The K-G map, correlation of the bulk modulus K and shear modulus G with the Poisson’s ratio and stability[4]

3 力學(xué)超材料的超常力學(xué)性能

力學(xué)超材料呈現(xiàn)反直覺的超常力學(xué)行為主要有：泊松比為負(fù)值的拉脹行為、剪切模量與體模量相比很小的超流體行為、剪切模量為負(fù)值的負(fù)可壓縮性、楊氏模量可調(diào)節(jié)的模式轉(zhuǎn)換雙穩(wěn)態(tài)特性、低密度高強(qiáng)度的仿晶體缺陷模式以及其熱膨脹系數(shù)為負(fù)值的負(fù)熱膨脹行為。

3.1 負(fù)泊松比的拉脹行為

負(fù)泊松比(negative Poisson’s ratio，NPR)，是典型的拉脹力學(xué)超材料的超常力學(xué)性能，是指一類人工結(jié)構(gòu)功能材料在被拉伸時(shí)橫截面會(huì)變得更膨脹。從力學(xué)意義上來說，其泊松比小于零(v<0)，或在體彈性模量與楊氏模量之比遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1(K/G<<1)的相對(duì)極限時(shí)，泊松比約等于-1，對(duì)應(yīng)于米爾頓圖1中的G(x)軸。有時(shí)也可用“Auxetics”來指定人工設(shè)計(jì)的這種新奇力學(xué)屬性。

根據(jù)不同的人工原子結(jié)構(gòu)樣式，人工設(shè)計(jì)的負(fù)泊松比數(shù)值具有相對(duì)廣泛的存在范圍，直至-20，如圖2所示[4]。這些力學(xué)超材料結(jié)構(gòu)包括嵌入式凹角結(jié)構(gòu)、類似聚氨酯泡沫塑料制備的向內(nèi)折疊分組多孔結(jié)構(gòu)、旋轉(zhuǎn)式方形或三角形鉸接結(jié)構(gòu)單元、手性和反手性結(jié)構(gòu)、單元晶格或是球狀幾何結(jié)構(gòu)、三維折紙結(jié)構(gòu)以及金屬纖維幾何網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等。

隨著負(fù)泊松比拉脹力學(xué)超材料研究的不斷深入，更具多樣化和個(gè)性化的幾何結(jié)構(gòu)不斷出現(xiàn)，依據(jù)幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類的方法也越發(fā)突顯其局限。因此，可依據(jù)這些不同類型的幾何結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)背后的負(fù)泊松比屬性，將負(fù)泊松比拉脹力學(xué)超材料分成兩大類：一類是零或負(fù)泊松比，另一類是正負(fù)混合型可編譯的泊松比。前者屬于完全負(fù)泊松比，其材料結(jié)構(gòu)的等效泊松比始終是零值或負(fù)值。而后者為部分負(fù)泊松比，有時(shí)泊松比數(shù)值為負(fù)，有時(shí)數(shù)值為正，這種正負(fù)混合型可編譯部分負(fù)泊松比材料，同時(shí)共有正值泊松比和負(fù)值泊松比。什么時(shí)候超材料表現(xiàn)為正泊松比、什么時(shí)候是負(fù)泊松比，取決于人工原子結(jié)構(gòu)本身在變形過程中的方向變化，類似于固體晶格結(jié)構(gòu)中的不同晶粒的取向關(guān)系。

3.2 剪切模量消隱的超流體

在圖1所示的米爾頓圖中，當(dāng)力學(xué)超材料的剪切模量數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于楊氏模量時(shí)(G<

利用雙光子3D打印直寫技術(shù)，可以制備這種五模式結(jié)構(gòu)材料，如圖3所示。圖中基本的五模式結(jié)構(gòu)單元是兩個(gè)平頭圓錐體由點(diǎn)接觸對(duì)接而構(gòu)成的雙錐結(jié)構(gòu)單元[15, 16]。相應(yīng)的衍生幾何結(jié)構(gòu)包括具有不同直徑和外徑長度的非對(duì)稱雙錐結(jié)構(gòu)單元，還有不同橫截面形狀如正三角形、正方形、五邊形、六邊形和圓形[17]。研究發(fā)現(xiàn)，三角形斷面表面呈現(xiàn)出較好的聲學(xué)隱身特性?？傊?，在雙錐體幾何結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上派生的代表性改進(jìn)方式有：① 移動(dòng)會(huì)合的接觸點(diǎn)；② 改變雙錐結(jié)構(gòu)元件的對(duì)稱性；③ 選擇不同的錐體橫截?cái)嗝娴男螤?；?調(diào)節(jié)兩個(gè)連接圓錐體的直徑范圍；⑤ 探索圓錐體單元簡化設(shè)計(jì)成鉸接桿件。

圖3 剪切模量消隱的五模式反脹力學(xué)超材料[16]:(a)整體外形，(b)上下直徑不同相連接的雙圓錐結(jié)構(gòu)單元Fig.3 Pentamode metamaterials[16]: (a) oblique-view, (b) the magnified view for two connected truncated cones

3.3 負(fù)剪切模量的負(fù)可壓縮性

壓縮率可近似為體模量K的倒數(shù)，主要是指在靜水壓力作用下，固體或流體相對(duì)于其所受的壓力變化而引起的相對(duì)體積變化的量度。通常情況下，材料壓縮率為正值，僅在強(qiáng)橢圓限制條件時(shí)[18]，存在極少數(shù)天然材料的壓縮率數(shù)值可能是負(fù)的。負(fù)可壓縮性指的是材料在受靜水壓力作用時(shí)經(jīng)歷膨脹過程，或在受拉力時(shí)其固有體積卻產(chǎn)生收縮的現(xiàn)象[19, 20]。負(fù)壓縮性結(jié)構(gòu)材料與負(fù)泊松比拉脹材料有相似之處，都存在受壓時(shí)產(chǎn)生膨脹響應(yīng)的效應(yīng)。不同之處在于，負(fù)泊松比拉脹材料是軸向壓縮時(shí)側(cè)面承受收縮效應(yīng)，而負(fù)可壓縮性結(jié)構(gòu)是指隨外界壓力的變化，結(jié)構(gòu)材料的相對(duì)整體體積改變量反直覺，具體區(qū)分參見圖4。

圖4 超常力學(xué)行為示意圖：(a)負(fù)熱膨脹，(b)負(fù)泊松比，(c,d)負(fù)線性可壓縮性，(e)負(fù)面積可壓縮性Fig.4 Conventional and anomalous mechanics for materials exhibiting: (a) negative thermal expansion (NTE), (b) negative Poisson’s ratio (NPR), (c, d) negative linear compressibility (NLC), (e) negative area compressibility (NAC)

負(fù)可壓縮力學(xué)超材料是當(dāng)楊氏模量大于零(E>0)時(shí)，滿足-4G/3

負(fù)壓縮力學(xué)超材料主要包括有一個(gè)方向上的線性可負(fù)壓縮性和兩個(gè)方向的面積可負(fù)壓縮特性，分別對(duì)應(yīng)于負(fù)線性壓縮(negative linear compressibility，NLC)和負(fù)面積壓縮性(negative area compressibility，NAC)。負(fù)壓縮性力學(xué)行為主要來自于該領(lǐng)域最近化學(xué)研究的一些啟示。負(fù)線性壓縮性側(cè)重于在拉伸晶體中的整體結(jié)構(gòu)單向收縮[23]；而負(fù)面積壓縮性側(cè)重于整體結(jié)構(gòu)在兩個(gè)方向上的收縮情形[24]，如圖4c和4d所示。

3.4 楊氏模量可調(diào)節(jié)的雙穩(wěn)態(tài)特性

模式轉(zhuǎn)換(pattern transformation)可調(diào)剛度(tunable stiffness)力學(xué)超材料指的是在外力變形條件下，給定的二維多孔軟材料模板出現(xiàn)了一種可調(diào)節(jié)楊氏模量的力學(xué)行為。這種可切換受力模式的宏觀力學(xué)行為，類似于大多數(shù)金屬晶體材料科學(xué)中不同顯微結(jié)構(gòu)之間的物相轉(zhuǎn)變過程(phase transformation)關(guān)系[25]。

如圖5所示，該材料可以在外載荷作用下，從具有特定的周期性模板范式轉(zhuǎn)變到另一種更大尺度的力學(xué)不穩(wěn)定狀態(tài)[26]。當(dāng)這種材料被壓縮到超過某個(gè)力學(xué)行為所要求的閾值時(shí)，會(huì)引起應(yīng)力-應(yīng)變特性宏觀尺度方面狀態(tài)形式的改變。從應(yīng)力-應(yīng)變曲線中可以推出彈性模型的正負(fù)變化過程，這種力學(xué)特性的轉(zhuǎn)變，本質(zhì)上是一種合作式的屈曲方式，使得超材料中的人工原子呈現(xiàn)出元屬性(metaproperties)的不同。

圖5 應(yīng)變?yōu)?(a)，-0.125(b)，-0.25(c)時(shí)，左列圓形，中列十字形和右列星形結(jié)構(gòu)直孔模板受力情況[26]Fig.5 Experimental images of structures circle (left), cross-shape (middle) and star (right) at different levels of applied engineering strain ε=0 (a),-0.125 (b) and-0.25 (c)[26]

典型的模式轉(zhuǎn)換可調(diào)剛度材料主要是軟材料構(gòu)成的多孔板，如圖5所示，可以等效為一種周期性的彈性胞狀固體，不同之處在于該結(jié)構(gòu)背后的設(shè)計(jì)理念是基于彈性材料的屈曲不穩(wěn)定性。這種材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)本質(zhì)上是非線性的，因此在宏觀應(yīng)變數(shù)值相對(duì)較小時(shí)，可以在某些類別的簡單周期性結(jié)構(gòu)中引發(fā)劇烈變化。

可調(diào)楊氏模量力學(xué)超材料主要利用彈性材料的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性，由力學(xué)拉脹而引起的材料響應(yīng)軟化、切線模量的衰減、可反轉(zhuǎn)的彈性不穩(wěn)定性去激發(fā)不同樣式的改變。傳統(tǒng)意義上的彈性不穩(wěn)定性多被認(rèn)為是缺陷模式。這種類型的超材料主要是利用幾何結(jié)構(gòu)的缺陷形式，類似于固體晶格結(jié)構(gòu)中的點(diǎn)缺陷。不過，從本質(zhì)上來說，可調(diào)力學(xué)超材料的內(nèi)在特性表現(xiàn)為整體幾何結(jié)構(gòu)的剛度可調(diào)節(jié)性，類似于材料力學(xué)中壓桿穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，是一種可以反轉(zhuǎn)的彈性不穩(wěn)定狀態(tài)，從而引起了整體結(jié)構(gòu)等效彈性模量的正負(fù)值變化。這類材料可被用于定制各種不同的力學(xué)屬性，如可調(diào)或開關(guān)式負(fù)泊松比拉脹材料。

3.5 輕質(zhì)超強(qiáng)仿晶格缺陷

仿晶格構(gòu)筑的微結(jié)構(gòu)材料是依據(jù)自然晶體的理論學(xué)說、選用不同形狀的人工原子(纖細(xì)梁或桿件)進(jìn)行周期性或非周期性陳列成胞狀、網(wǎng)格狀、桁架式或晶格結(jié)構(gòu)材料，從而可以制備與所選自然材料不同力學(xué)特性的幾何結(jié)構(gòu)材料。仿晶格和仿晶格缺陷的力學(xué)超材料可以表現(xiàn)出許多獨(dú)特的材料屬性和效應(yīng)，較為常用且突出的力學(xué)特性是輕質(zhì)結(jié)構(gòu)時(shí)的超高強(qiáng)度。

輕質(zhì)超強(qiáng)度力學(xué)超材料指的是在低密度下剛度、強(qiáng)度和韌性等諸多力學(xué)屬性超強(qiáng)耦合的一種人工結(jié)構(gòu)材料，其質(zhì)量密度一般可選擇在小于10 mg/cm3的范圍[27]。目前，超輕超強(qiáng)(E/ρ)力學(xué)超材料可分為4類：① 分級(jí)式微納晶格網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，② 手性與反手性幾何結(jié)構(gòu)，③ 用來模擬位錯(cuò)等晶格缺陷的折紙曲面折疊超表面材料，④ 折紙與微納晶格結(jié)構(gòu)結(jié)合而形成的晶格狀折紙材料。仿晶格結(jié)構(gòu)中，依據(jù)所構(gòu)建晶格幾何結(jié)構(gòu)的不同，又分為5種類型：人工晶格結(jié)構(gòu)、開孔泡沫結(jié)構(gòu)、閉孔泡沫結(jié)構(gòu)、六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)和手性/反手性結(jié)構(gòu)。

依據(jù)晶體學(xué)中的布拉格晶格結(jié)構(gòu)，可以制備出任意剛性和非剛性納米晶格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖6所示[28]。其中包括八面體桁架結(jié)構(gòu)、立方八面體結(jié)構(gòu)、三維Kagome三角結(jié)構(gòu)和四面體結(jié)構(gòu)。這4種晶格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，具有不同程度的剛度和平均節(jié)點(diǎn)連通性(Z)：① 八角形桁架(剛性，Z=12)，② 立方八面體(周期性剛性，Z=8)，③ 三維Kagome(周期性剛性，Z=6)，④ 四面體(非剛性，Z=4)。晶格由固體聚合物和橢圓形橫截面的空心Al2O3梁構(gòu)成，并源于不同制造技術(shù)方法[29]。

圖6 4種晶格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[28]:(a)八面體桁架，(b)立方八面體，(c)3D Kagome，(d)四面體(圖ii標(biāo)尺=10 mm，圖v標(biāo)尺=5 mm)Fig.6 The four nanolattice topologies[28]: (a) octet-truss, (b) cuboctahedron, (c) 3D Kagome, (d) tetrakaidecahedron(the scales bars in ii) are 10 mm, and the scale bars in v) are 5 mm)

圖7給出了彎曲和拉伸變形模式主導(dǎo)的胞狀晶格結(jié)構(gòu)的Ashby圖[30]。這兩類晶格結(jié)構(gòu)的整體屈服狀態(tài)源于內(nèi)部結(jié)構(gòu)單元的塑性屈服、彈塑性失穩(wěn)或斷裂，所有內(nèi)部單元格塌縮壓實(shí)后應(yīng)力重新上升。拉伸變形主導(dǎo)胞狀晶格結(jié)構(gòu)的內(nèi)部單元處于均勻拉伸狀態(tài)，彈性應(yīng)變能密度高，具有高屈服強(qiáng)度和屈服后急劇下降的力學(xué)行為特性。對(duì)于相對(duì)密度相同、彎曲變形占優(yōu)的胞狀晶格結(jié)構(gòu)，彎矩導(dǎo)致結(jié)構(gòu)單元發(fā)生局部受拉或受壓屈服，因而屈服應(yīng)力遠(yuǎn)低于拉伸主導(dǎo)胞狀材料，屈服平臺(tái)呈現(xiàn)出應(yīng)力恒定的水平段。

圖7 彎曲和拉伸主導(dǎo)晶格的Ashby圖[30]Fig.7 Ashby figure for bending/stretch-dominated lattice[30]

由此可見，胞狀晶格結(jié)構(gòu)標(biāo)度律與配位數(shù)密切相關(guān)。提高配位數(shù)意味著變形模式傾向拉伸為主，冪指數(shù)p，q減小并趨于極限值1。降低配位數(shù)將導(dǎo)致彎曲主導(dǎo)的變形模式，冪指數(shù)p，q增大，彈性模量和屈服強(qiáng)度隨相對(duì)密度減小而急劇下降。海綿、蜂巢等常見天然三維胞狀結(jié)構(gòu)的配位數(shù)(約為3～4)低于臨界值Z=2，結(jié)構(gòu)單元以彎曲變形為主，楊氏模量和屈服強(qiáng)度通常較低。不過，若融合納米晶格尺寸效應(yīng)和超材料的幾何結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，結(jié)果可能會(huì)有所不同。

3.6 負(fù)熱膨脹行為

負(fù)熱膨脹(negative thermal expansion，NTE)行為是指當(dāng)人工結(jié)構(gòu)材料被加熱時(shí)整體幾何結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)一個(gè)方向或多方向的收縮效應(yīng)(如圖4所示)而冷卻時(shí)膨脹，即熱膨脹系數(shù)為負(fù)值。

負(fù)熱膨脹超材料的幾何結(jié)構(gòu)通常是由熱膨脹系數(shù)差異較大的兩種或兩種以上材料構(gòu)成。由不同熱膨脹系數(shù)的材料制成的幾何結(jié)構(gòu)，其單元格結(jié)構(gòu)的熱膨脹或收縮，可引起整體幾何結(jié)構(gòu)不同程度的彎曲變形[31]。負(fù)熱膨脹超材料主要的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有手性幾何結(jié)構(gòu)、三維六角形晶格的胞狀泡沫多孔結(jié)構(gòu)、旋轉(zhuǎn)三角形或正方形結(jié)構(gòu)以及盤形、圓柱形和針形夾雜物等[32, 33]。

極具代表性的負(fù)熱膨脹幾何結(jié)構(gòu)單元是三階手性結(jié)構(gòu)單元，如圖8所示。這種手性結(jié)構(gòu)使用的是雙材料肋梁元件，這些肋梁在溫度變化時(shí)會(huì)出現(xiàn)彎曲，從而引起節(jié)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，進(jìn)一步引起整個(gè)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)應(yīng)變的變化。通過在熱板上加熱這些肋梁結(jié)構(gòu)，可以觀察到其曲率半徑的變化，從而確定高和低兩膨脹側(cè)的情形。

圖8 雙材料韌帶反手性負(fù)熱膨脹超材料(a)，四階反手性(b)和三階反手性(c)材料在熱作用下的變形狀態(tài)圖[34]Fig.8 Antichiral NTE models (a), deformed anti-tetrachiral(b) and deformed anti-trichiral (c) under thermal stress[34]

利用雙材料或是多材料組成的幾何結(jié)構(gòu)，調(diào)整結(jié)構(gòu)的曲率變化來進(jìn)行負(fù)熱膨脹系數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以組合形成各種各樣的力學(xué)超材料類型。可以變換組成材料的成分，或者變換所構(gòu)建材料的結(jié)構(gòu)單元排布。例如一種由角鉸狀梁狀元件組成的三角形結(jié)構(gòu)：每個(gè)組成元件有其固有的熱膨脹系數(shù)，其中一個(gè)具有相對(duì)較大的熱膨脹系數(shù)[35]。將該結(jié)構(gòu)單元細(xì)分為更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，在溫度變化時(shí)，可以使三角構(gòu)型內(nèi)的不同結(jié)構(gòu)單元產(chǎn)生不同程度的拉伸或壓縮擴(kuò)展，從而表現(xiàn)出不同于組元自身的熱膨脹系數(shù)。這種由多種材料幾何構(gòu)建而成的整體材料，表現(xiàn)為整體等效的負(fù)熱膨脹系數(shù)，但這并沒有改變組成這種幾何結(jié)構(gòu)材料的單個(gè)材料的熱膨脹系數(shù)。負(fù)熱膨脹力學(xué)超材料設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：一是自然材料熱膨脹系數(shù)的差異性選擇，二是選擇適合的幾何結(jié)構(gòu)拓?fù)錁邮?。通過調(diào)整幾何結(jié)構(gòu)和材料屬性之間的給定關(guān)系，有效調(diào)節(jié)負(fù)熱膨脹系數(shù)的可選擇范圍。

需要特別指出的是，將負(fù)熱膨脹超材料歸為力學(xué)超材料而不是熱學(xué)超材料，這主要是依據(jù)具體的材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)機(jī)理來劃分的。因?yàn)闊釋W(xué)超材料主要是通過調(diào)整熱流來設(shè)計(jì)材料結(jié)構(gòu)，而負(fù)熱膨脹超材料本質(zhì)上是利用在受熱過程中幾何結(jié)構(gòu)單元的受力變化而實(shí)現(xiàn)脹縮，這里的熱源只是作為觸發(fā)幾何結(jié)構(gòu)發(fā)生力學(xué)變形的外在條件，而不是主要調(diào)節(jié)規(guī)劃的參數(shù)。負(fù)熱膨脹超材料在這一點(diǎn)上與熱學(xué)超材料調(diào)節(jié)熱流參數(shù)存在本質(zhì)上的不同。

4 力學(xué)超材料的幾何結(jié)構(gòu)構(gòu)建

4.1 人工晶格結(jié)構(gòu)

一般情況下，通過梁柱矩陣方法分析的晶格結(jié)構(gòu)類型包括方形網(wǎng)格、三角形網(wǎng)格、六邊形蜂窩、分級(jí)六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)和三階手性蜂窩結(jié)構(gòu)，如圖9所示[36, 37]。圖中角度θ給出了三階手性晶格中直壁的取向。

圖9 晶格結(jié)構(gòu)類型[36]：(a)方形，(b)三角形，(c)六邊形蜂窩，(d)分級(jí)六邊形蜂窩，(e)三階手性Fig.9 Types of lattice structures[36]: (a) square grid, (b) triangular grid, (c) hexagonal honeycomb, (d) hierarchical hexagonal honeycomb, (e) trichiral honeycomb

以模式轉(zhuǎn)換剛度可調(diào)力學(xué)超材料為例，完美多孔胞狀結(jié)構(gòu)材料中的周期性彎曲圖案模式在受外力作用下而形成塌陷表面，則在其下面的微結(jié)構(gòu)中會(huì)不可避免地包含晶格缺陷，相應(yīng)的組成材料中就會(huì)發(fā)生應(yīng)力失效。其中幾何結(jié)構(gòu)的屈曲應(yīng)力可以量化，以獲得二維胞狀幾何結(jié)構(gòu)中的一些初始失效的上邊界。

為了研究節(jié)點(diǎn)連通性，可以模擬由均直和均勻的梁(相同的橫截面和材料)制成的不同二維規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的力學(xué)行為。通常需要了解多種不同的人工晶格幾何結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，以檢查連通性和無序性對(duì)力學(xué)性能的影響。3個(gè)常規(guī)的人工結(jié)構(gòu)晶格：六邊形(連通性Z=3)，kagome(Z=4)和三角形(Z=6)；以及兩個(gè)無序的柵格：Voronoi(Z=3)和Delaunay(Z=6)網(wǎng)絡(luò)。

4.2 手性與反手性幾何結(jié)構(gòu)

“手性”(chiral)幾何結(jié)構(gòu)，可以被構(gòu)筑成為“左手”或“右手”結(jié)構(gòu)材料。無論是左手或是右手，皆為非超可變的鏡像圖像。手性幾何結(jié)構(gòu)單元網(wǎng)絡(luò)的每一個(gè)單胞是由一個(gè)稱為節(jié)點(diǎn)的中心圓柱體組成，圓柱周邊存在6個(gè)切向連接的韌帶，展現(xiàn)出六階的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，其完整描述可參見圖10六階結(jié)構(gòu)單元[38, 39]。

圖10 平面手性結(jié)構(gòu)單元的周期排布[38, 39]:(a)三階手性，(b)四階手性，(c)六階手性，(d)三階反手性，(e)四階反手性Fig.10 Five chiral tessellations and their rapid prototypes[38, 39]: (a) trichirals, (b) tetrachirals, (c) hexachirals, (d) anti-trichiral and (e) anti-tetrachiral

由圓柱中心體和連接桿件所構(gòu)成的連接結(jié)構(gòu)，組成了基本的手性結(jié)構(gòu)單元。一個(gè)圓柱中心體上可以連接3、4、6個(gè)連接桿，分別稱為二階、四階和六階結(jié)構(gòu)單元。這些不同階數(shù)的幾何結(jié)構(gòu)單元，再通過手性或反手性的平面周期性排布，就形成了手性或反手性系統(tǒng)。當(dāng)連接桿件位于兩圓柱體內(nèi)切線方向布置時(shí)，也就是說圓柱體在連接桿的兩側(cè)，可以歸屬于手性系統(tǒng)，如圖10a～10c所示。當(dāng)連接桿件位于兩圓柱體外切線方向布置時(shí)，也就是說圓柱體在連接桿的同一側(cè)，可以歸屬于反手性系統(tǒng)，如圖10d和10e所示。在生物醫(yī)藥研究領(lǐng)域的反手性體系中，當(dāng)具有等量的左手和右手基本單元時(shí)，可以形成外消旋。將相對(duì)較薄的韌帶焊接到節(jié)點(diǎn)上，單軸的軸上載荷將導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，伴隨著韌帶的彎曲。因此，當(dāng)蜂窩周期排布幾何結(jié)構(gòu)體系承受壓縮載荷時(shí)，這種變形可能導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)周圍的韌帶折疊，當(dāng)受到拉伸載荷時(shí)會(huì)產(chǎn)生展開，幾何結(jié)構(gòu)內(nèi)部的相互作用，使得整體結(jié)構(gòu)的拉伸性增強(qiáng)。

需要說明的是，目前超材料的幾何構(gòu)建方法很多，大體可以歸類為人工晶格結(jié)構(gòu)的規(guī)則設(shè)計(jì)和手性結(jié)構(gòu)的非規(guī)則設(shè)計(jì)。規(guī)則與非規(guī)則兩大類足以涵蓋力學(xué)超材料幾乎所有的幾何構(gòu)建類型，典型的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)都可以歸為這兩個(gè)組類。衍生的子類也很多，這是很龐大的兩大規(guī)則與非規(guī)則幾何結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)體系，本文闡釋時(shí)不可避免地呈現(xiàn)了不同程度的簡化，希望后續(xù)的研究工作能在不同層面上繼續(xù)拓展。

5 結(jié) 語

本文簡要地將種類繁多的力學(xué)超材料進(jìn)行了系統(tǒng)性的分類，并扼要地論述了其超常的力學(xué)性能?；谌斯ぞЦ窠Y(jié)構(gòu)和手性/反手性幾何結(jié)構(gòu)單元，可以構(gòu)筑具有反直覺超常新穎的力學(xué)特性，包括負(fù)泊松比的拉脹行為、剪切模量消隱的超流體、負(fù)剪切模量的負(fù)可壓縮性、楊氏模量可調(diào)節(jié)的雙穩(wěn)態(tài)模式轉(zhuǎn)變、輕質(zhì)超強(qiáng)的仿晶格缺陷和負(fù)熱膨脹行為。對(duì)于每種類型的力學(xué)超材料，主要闡述、理解了一些基本概念和超材料設(shè)計(jì)理念。針對(duì)反直覺超常的力學(xué)行為，著重關(guān)注了這些幾何結(jié)構(gòu)上更具有概括性和普通性的部分。從而，可以立足于其中一到兩項(xiàng)力學(xué)行為研究的基礎(chǔ)，將視線看得更遠(yuǎn)一些、更廣一些。

需要指出的是，3D打印制備力學(xué)超材料技術(shù)帶來了新的挑戰(zhàn)和機(jī)遇。協(xié)同超材料幾何優(yōu)化結(jié)構(gòu)和微納米材料多尺寸效應(yīng)，二者的融合將有望實(shí)現(xiàn)更多更新穎的未發(fā)現(xiàn)的力學(xué)屬性，可以預(yù)見：① 在今后的研究過程中，不同形式單元格排布的相互耦合會(huì)使得整體結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜化、多樣化和個(gè)性化；② 以后的幾何結(jié)構(gòu)構(gòu)建時(shí)，將更加側(cè)重于改變單一組分材料的構(gòu)成方式，會(huì)出現(xiàn)兩者或兩者以上多種不同材料種類的復(fù)合制備；③ 在基礎(chǔ)理論研究方面，將會(huì)更深入地引入固體力學(xué)穩(wěn)態(tài)梁或板殼基礎(chǔ)理論，例如雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)方式構(gòu)造模式轉(zhuǎn)換可調(diào)剛度力學(xué)超材料。