摘 要：本文通過探究高等數(shù)學多元函數(shù)微分學的幾何應用教學中，通過重新定義空間曲面的切平面并求出切平面的方程，給出這方面知識點教學的一個新思路.

關鍵詞：偏導數(shù) 空間曲線 空間曲面 切線 切平面

1.一般的高等數(shù)學教材[1]，在講空間曲面的切平面的時候，在給出切平面的定義后，通過求曲面上任意一條曲線的偏導數(shù)和偏導數(shù)的幾何意義來得到切平面的法向量，進而得到切平面方程。 這樣處理的好處是簡單易得，但壞處是沒有直接給出切平面的法向量，給人的感覺法向量是順便得到的，不是主動求得的。教師在講這方面內容的時候可以換一種思路和方法來講述這一部分，可以如下設計教案。

2.空間曲面的方程為：，點為曲面上任一點。過點平行于坐標平面的曲線為：

過點平行于坐標平面的曲線為

兩曲線在點的切線垂直相交于點。

3.曲面在點處切平面可以定義為：曲線在點的切線構成的平面。

這里涉及兩個問題，一是證明過點的所有曲線的切線落在切平面上，二是求切平面的點法式方程。

4.教科書[1，2]處理方式是證明第一個問題，順便解決第二個問題，這里可以反過來講，即先求切平面的點法式方程。再證明第二個問題。

由偏導數(shù)的幾何意義可得在點的切線方程為切線方程為：

即。

其方向向量 。

在點的切線方程為切線方程為：

即 。

其方向向量 。

垂直于切平面的向量為：

可取法向量為，于是曲面在點的切平面的點法式方程為

下面證明曲面的過點的所有曲線的切線落在切平面上。

設曲線? 是曲面上過點的任一條曲線，其中 為點對應的參數(shù)值。故

曲線 在點的切線的方向向量為 。

因為在點處可導，

故。

所以垂直于切平面的法向量。 即曲面的過點的所有曲線的切線落在切平面上。

5.這樣設計教學的好處是切平面的定義相對簡單，證明用到的知識更豐富，比如用到向量的向量積。涉及的知識點也更多，比如除了空間曲線的切線相關知識外，還有更前面講的偏導數(shù)的幾何意義等。讓學生們可以更好地理解和鞏固前面所學內容。

參考文獻

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學：下冊[M].6版.北京：高等教育出版社2007.

[2]李路，張學山.高等數(shù)學：下冊[M].1版.北京：清華大學出版社2013.

作者簡介

李宜陽（1979—），男，山東高密人，博士，副教授，從事李代數(shù)與表示理論