樊琴 高明

摘?要：通過(guò)勾股定理證明方法的研究，與時(shí)俱進(jìn)看待勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，達(dá)到發(fā)展數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的目的。

關(guān)鍵詞：勾股定理;數(shù)學(xué);基礎(chǔ)

一、 從“四基四能”到“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”，以發(fā)展眼光看課程目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中課程總目標(biāo)指出：獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（四基）;體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力（四能）。

《2017高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度、價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的，主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。

在現(xiàn)代信息技術(shù)突飛猛進(jìn)的時(shí)代，過(guò)去的雙基內(nèi)容已經(jīng)不能滿(mǎn)足時(shí)代需求。由雙基發(fā)展至四基也是為了培養(yǎng)全面發(fā)展的創(chuàng)新性人才。因此，我們也應(yīng)該以發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)知識(shí)。

二、 從勾股定理的“經(jīng)典證明”到“高維度拓展”，以數(shù)學(xué)的思維思考數(shù)學(xué)知識(shí)

（一） 勾股定理的經(jīng)典證明

從古至今、從西方到東方，人們對(duì)于勾股定理的不同證明方法都在進(jìn)行發(fā)現(xiàn)和探索。1940年出版的《畢達(dá)哥拉斯命題》關(guān)于勾股定理證明的專(zhuān)輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種。以下是兩種人們較為經(jīng)典的中國(guó)古代證明方法。

1. 趙爽的弦圖法

如圖1，從圖形可以發(fā)現(xiàn)四個(gè)小直角三角形與小正方形的面積和等于大正方形的面積。因?yàn)?/p>

2. 劉徽的出入相補(bǔ)原理

如圖2所示，劉徽在《九章算術(shù)》中明確提出‘出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)，用幾何圖形經(jīng)分合移補(bǔ)所拼湊的新圖形，其面積或體積不變的關(guān)系再次證明直角三角形三邊關(guān)系。即S正方形BCGF+S正方形CDEA=S正方形ABHK。

早期的證明方法，使用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，這種思想方法被人們運(yùn)用于實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中。而這種思想方法又使得解題思路更加直截了當(dāng)，解題思路上利用正方形與三角形所構(gòu)成的幾何圖形，通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移、切割、補(bǔ)足等變化依舊保持面積不變的關(guān)系，構(gòu)造相等關(guān)系的式子，將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形三邊的關(guān)系，將幾何問(wèn)題（圖形關(guān)系）轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題（等式）。方法上又有所差異，數(shù)學(xué)家劉徽提出了出入相補(bǔ)原理，以與“弦圖”不同的拼湊法找到了面積相等證明了勾股定理，這種方法也可以看作是已知a2+b2=c2的基礎(chǔ)上構(gòu)造三個(gè)正方形，再以圖形的割補(bǔ)證明面積相等，從而證明了勾股定理。

（二） 勾股定理的拓展延伸，與時(shí)俱進(jìn)看待勾股定理

在立體圖形中廣泛使用的兩點(diǎn)間的距離公式可以被看作是對(duì)二維空間中的勾股定理的兩次疊加使用，實(shí)現(xiàn)從二維到三維的拓展。我們也可以把空間中的距離計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中的距離問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)從平面再到立體的拓展。

按照這種方式拓展，可以實(shí)現(xiàn)勾股定理計(jì)算兩點(diǎn)間的距離推廣至高維空間。數(shù)學(xué)知識(shí)隨著時(shí)代的不斷進(jìn)步而不斷發(fā)展和完善，在原有的基礎(chǔ)上從多視角，多深度，多高度去認(rèn)識(shí)勾股定理。1981年美國(guó)的C.A.Thorntor把二維空間的勾股定理推廣至三維空間，1984年揚(yáng)州師院陳瑞琛老師利用格拉斯曼代數(shù)的知識(shí)得到了高維空間中的勾股定理，1989年又出現(xiàn)了利用解析幾何證明勾股定理，除此以外，證明方法中也有利用相似性、切割定理的。

三、 從勾股定理的“簡(jiǎn)單應(yīng)用”到“知識(shí)交匯”，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界

例1?（2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（一））

漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的趙爽弦圖（圖3），四個(gè)全等的直角三角形（朱實(shí)），可以圍成一個(gè)大的正方形，中空的部分為一個(gè)小正方形（黃實(shí)）。若直角三角形中一條較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為8，直角三角形的面積為24，若在上面扔一顆玻璃小球，則小球落在“黃實(shí)”區(qū)域的概率為（?）

A. 14

B. 13

C. 125

D. 2573

分析與解答：這是一個(gè)概率模型，結(jié)合趙爽的弦圖法可知“黃實(shí)”區(qū)域面積S′=（8-6）2=4，而大正方形面積為S2=62+82=100，故事件概率P=S′S=4100=125。

例2?（2016年湖北省孝感市中考數(shù)學(xué)試題）

我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”（圖4），圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan∠ADE的值為?。

勾股定理在時(shí)代發(fā)展的中得到不斷的創(chuàng)新和拓展，將勾股定理及證明看作數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并應(yīng)用于實(shí)際，還能與三角函數(shù)問(wèn)題等多個(gè)問(wèn)題相結(jié)合。現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)加快了社會(huì)的進(jìn)步，要求數(shù)學(xué)基礎(chǔ)必須與時(shí)俱進(jìn)，跟隨時(shí)代發(fā)展的步伐，滿(mǎn)足教育的需求。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄧培民.n維空間中勾股定理的一個(gè)證明[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1989（1）：36-39.

[2]楊永根.從切割線定理證明勾股定理談起[J].撫州師專(zhuān)學(xué)報(bào)，1987（1）：53-54.

[3]郝四柱.用面積證明勾股定理的思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2012，51（5）：26-28+31.

[4]車(chē)勇.勾股定理證明中的反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2010（16）：35-37.

[5]吳中武.勾股定理的歷史與證明[J].教育教學(xué)論壇，2012（32）：106-107.

作者簡(jiǎn)介：樊琴，高明，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院。