鄭 瑄，吳增生

（浙江省寧波市江北區(qū)教育局教研室；浙江省仙居縣教育局教研室）

一、教學(xué)思考

章起始課教學(xué)，有別于教科書文本呈現(xiàn)的章第一課時教學(xué)，但也并非將整章知識內(nèi)容不假思索地羅列告知，而是數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯關(guān)系有序而理性地良好呈現(xiàn).要通過構(gòu)建“先行組織者”以統(tǒng)領(lǐng)整章教學(xué)，將學(xué)生的注意力集中在將要學(xué)習(xí)的新知識中的重點(diǎn)部分；突出強(qiáng)調(diào)新知識與已有知識的關(guān)系，為新知識提供一種框架；能夠幫助學(xué)生回憶起與新知識相關(guān)的研究思路和途徑，傳遞學(xué)習(xí)方法，以便更好地建立聯(lián)系，進(jìn)行學(xué)習(xí)和研究.

圓，作為一種特殊的曲線圖形的代表，其表現(xiàn)方式和直線圖形不同.既繼承了以往直線圖形研究的基本數(shù)學(xué)思想方法，又由于其特殊性，在具體的抽象概念、確定研究對象和內(nèi)容、明確研究方法和思路等方面，均有其不同尋常之處.同時，圓的許多性質(zhì)，比較集中地反映了事物內(nèi)部量變與質(zhì)變、一般與特殊、矛盾的對立統(tǒng)一等關(guān)系，是培養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個很好的載體.故研究這個新的幾何對象（圓）的第一課，應(yīng)站在系統(tǒng)的高度，審視知識的長河，注重教學(xué)的整體性，以達(dá)成了解概貌、引趣激智、學(xué)法指導(dǎo)的美好愿景.

二、教學(xué)設(shè)計、課堂生成與教學(xué)反思

1.抽象定義

學(xué)生在小學(xué)高年級階段已經(jīng)初步認(rèn)識了圓.其時，更多的是直觀感知與計算為重，會計算圓的周長與面積.但是對于圖形研究的第一步：“何為圓”這一嚴(yán)格的界定，即便是耳熟能詳、司空見慣，抽象定義的過程，仍然令學(xué)生感到困難重重.故抽象出圓的定義，是本節(jié)課教學(xué)的重中之重，也是教學(xué)的難點(diǎn)所在.教學(xué)中希望能讓學(xué)生在經(jīng)歷、體驗中，獨(dú)立自主地感悟和歸納，互動交流地概括和描述，最終得到圓的定義.

師：（面對學(xué)生攤開教科書在“圓”這一章的狀態(tài)）同學(xué)們都將教科書翻到了今天要學(xué)的這一章，確實，你們翻開的這一頁完全正確.但是，我可不希望你們翻書尋找答案來對付我（笑），所以，先請大家將書本合上.

師：圓，你們曾經(jīng)學(xué)過嗎？學(xué)了什么？

生：（眾說紛紜、確認(rèn)）六年級，六年級上.

生：我們會算圓的周長與面積l=2πr，S=πr2.

師：其中，r是什么？π又是什么？（傾聽）……那么，什么是圓呢？

生：（遲疑、困頓）小學(xué)沒講過.

師：確實，小學(xué)并沒有給出圓的定義.沒關(guān)系，請同學(xué)們在學(xué)習(xí)單上畫一個圓.

學(xué)生紛紛拿出圓規(guī)來畫圓.想起人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的畫面：有人用圓規(guī)、有人用瓶蓋，有人用三角尺上的圓形等.九年級學(xué)生的數(shù)學(xué)思維已然長進(jìn).

師：如果要畫的圓的半徑特別大，如在操場上畫一個半徑為5米的圓呢？（學(xué)生思考……）老師再問問大家，什么是圓？請用自己的語言描述和表達(dá)，寫在學(xué)習(xí)單上.

學(xué)生在學(xué)習(xí)單上沉思、書寫，或涂涂改改，眉眼時而緊鎖、時而舒展.事實上，圓的定義就蘊(yùn)含在這些操作、思考和字斟句酌中.繼而四位學(xué)生代表分享己見.

生1：由距圓心距離相等的許多點(diǎn)構(gòu)成的封閉曲線.

師：圓都還沒有定，哪兒來的圓心？

生2：一條線段一個端點(diǎn)不動另一個端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，圍起來.

師：好有動態(tài)的畫面感！

生3：將一條線段首尾連接起來，線上的點(diǎn)，到一個點(diǎn)的距離相等.

師：聯(lián)想到三角形.

生4：在平面內(nèi)，一條固定了一端的線段，圍繞一周無數(shù)點(diǎn)組成的圖形.

師：在平面內(nèi)！

師：非常好！同學(xué)們都抓住了能表示圓的特征的關(guān)鍵詞.

順勢而為，隨物賦形.教師與學(xué)生共同研討、質(zhì)疑，在“誤中悟”；歸納、概括，在“思辨中獲得”.從關(guān)鍵詞到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x，最后以墨子言簡意賅的高度概括收尾.

（1）定點(diǎn)、定長、集合.（靜）

（2）線段OA、點(diǎn)O、點(diǎn)A、旋轉(zhuǎn).（動）

（3）墨子：圓，一中同長也！（言簡意賅）

“圓”的定義：

在一個平面內(nèi)，所有到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，叫做圓.

在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓.

墨子：圓，一中同長也！

教師與學(xué)生發(fā)現(xiàn)值得關(guān)注的幾點(diǎn).其一，圓的定義表示圓是一條封閉曲線，而并非圓面.其二，“在一個平面內(nèi)”是區(qū)分圓與球的重要條件.其三，確定圓的兩個要素：圓心（位置）和半徑（大?。?其四，集合的理解，學(xué)生想到諸如中垂線、角平分線、函數(shù)及其圖象等的相互關(guān)系.其五，圓的符號表示.這是初中有別于小學(xué)之處，并與之前圖形的學(xué)習(xí)一脈相承，是數(shù)學(xué)家的行為.

【教學(xué)反思】耳熟能詳、司空見慣的圓，在獲得定義的環(huán)節(jié)，呈現(xiàn)出來的恰恰是學(xué)生對數(shù)學(xué)抽象的舉步維艱.從學(xué)生課堂上的表現(xiàn)、學(xué)習(xí)單上的呈現(xiàn)均可見一斑.當(dāng)然，大多數(shù)學(xué)生能抓住圓的特征關(guān)鍵詞.例如，一條曲線構(gòu)成封閉曲線，從一點(diǎn)到曲線上任何一點(diǎn)的長度相同的圖形；繞固定一點(diǎn)，以固定距離做圓周運(yùn)動；圓是以一點(diǎn)為中心，按照直徑不斷旋轉(zhuǎn)外端閉合的圖形；線段OA，旋轉(zhuǎn)，在一個平面內(nèi)…….但是也有一些學(xué)生只憑感覺直觀描述.例如，形狀類似字母O的物體；球體的平面；有無數(shù)條對稱軸的圖形（馬上有學(xué)生指出直線也具有如此特性）；……筆者在抽象定義的教學(xué)環(huán)節(jié)用了近20分鐘時間，章建躍博士在點(diǎn)評時詢問與會教師：20分鐘，你舍得嗎？讓學(xué)生以數(shù)學(xué)的方式下定義，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的必須！筆者以為，畫圓的目的，在于從做中悟；書寫的目的，在于從思中悟；思辨的目的，在于從誤中悟.一個概念、三個注意點(diǎn)、n道練習(xí)題，永遠(yuǎn)是最簡單、最粗糙的教學(xué)法，關(guān)注概念教學(xué)的慢與快的辯證法，能給予學(xué)生長遠(yuǎn)的裨益.

2.探索性質(zhì)

圓的性質(zhì)，如果學(xué)生齊心協(xié)力，必能探究一二，乃至八九.但是無序散漫的找尋，還是有序理性的求索，此乃關(guān)鍵.要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出性質(zhì)成為必然，而非撞大運(yùn)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯，有序地分類，而數(shù)學(xué)中的邏輯是由數(shù)學(xué)知識本身決定的.圓是點(diǎn)的集合，循著圓的要素和相關(guān)要素之間的關(guān)系，尋找和發(fā)現(xiàn)圓中值得研究的元素而展開研究.教學(xué)中希望能讓學(xué)生在以往經(jīng)驗的引導(dǎo)下自主探索，在特殊研究對象的思考中有新的發(fā)現(xiàn)，最終得到圓的性質(zhì).教學(xué)過程引人入勝.

師：和直線圖形的學(xué)習(xí)一脈相承，現(xiàn)在我們要一起來研究圓的性質(zhì).還記得剛剛結(jié)束的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的研究方法是怎樣的嗎？

生：從邊、角、對角線、對稱性去研究.但是圓沒有邊也沒有角?。燥@迷茫）.

師：我們不妨來看看圓的組成要素和相關(guān)要素.

由此師生共同議論、探討，引出圓中值得研究的元素：聚焦到組成圓的圓上的點(diǎn)；組成圓的無數(shù)個點(diǎn)與圓心的連線——半徑、直徑、半圓弧；圓上的兩個點(diǎn)的連線——弦；圓上兩個點(diǎn)之間的部分——弧、優(yōu)弧、劣狐；兩條半徑的夾角——圓心角；同弧所對的圓周角；圓內(nèi)角、圓外角；……

師：請同學(xué)們思考，圓可能具有的性質(zhì)，并將自己的發(fā)現(xiàn)，再一次寫在學(xué)習(xí)單上.

教師要求學(xué)生先獨(dú)立思考，再相互交流.巡視、傾聽、點(diǎn)撥、指引，繼而教師有意識、有序列、有選擇地讓學(xué)生代表展示圓的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)成果.

（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

生：圓上的任意一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.

從定義著手，這是研究性質(zhì)的基本方法和途徑.與直線圖形的研究一脈相承.構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的知識體系.

師：好！由圓的定義，的確可以得到這個性質(zhì).兩個方面：圓上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等；到圓心距離相等的點(diǎn)一定在圓上.“在圓上”等價于“d=r”.位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來考量，數(shù)形結(jié)合極具能量（之前平行線的性質(zhì)也是如此）.

生：還可以聯(lián)想到線段中垂線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)，及其函數(shù)等.

師生感悟：這個性質(zhì)很厲害！生活中，車輪為什么是圓形的？數(shù)學(xué)中，矩形四個頂點(diǎn)共圓.還能（有序地）想到什么？

思維拓展與延伸：直線與圓的位置關(guān)系；圓與圓的位置關(guān)系.又可以用怎樣的數(shù)量關(guān)系來考量這些位置關(guān)系呢？

（2）圓的對稱性：軸對稱性、中心對稱性（旋轉(zhuǎn)對稱性）.

生1：圓的對稱性！既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

生2：有無數(shù)多條對稱軸；可以旋轉(zhuǎn)任意角度都重合.

師：真不錯，圓有均衡、對稱、和諧之美！畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)這樣說：世間最美的平面圖形是圓；世間最美的立體圖形是球.

觀察軸對稱性，欣賞中國著名的趙州橋（初中語文教科書中的課文）.圓拱石橋是中國橋梁的經(jīng)典，趙州橋是經(jīng)典中的經(jīng)典.除了堅固之用，更有對稱之美.讓我們畫出與石拱橋水面垂直的對稱軸，這就構(gòu)成圓中經(jīng)典的“垂徑定理”的圖形.教師指出“垂徑定理”的要義；指明其本質(zhì)就是軸對稱性！特別指出垂徑定理涉及的5個條件，任意2個成立，必然導(dǎo)致另外3個也成立；“為什么”的證明，留待日后完善.

繼續(xù)觀察圓的中心對稱性，及其旋轉(zhuǎn)不變性.我們?nèi)绾尉忠粋€圓形的蛋糕？

生：等分圓心角即可.

師：這意味著等分圓心角即等分了圓形蛋糕.

于是，又有一個非常厲害的性質(zhì)出現(xiàn)了：“圓心角性質(zhì)”；關(guān)于同弧所對圓心角是圓周角的兩倍的猜想；圓內(nèi)角、圓外角與弧的關(guān)系又會怎么樣？……

（3）圓與正多邊形的關(guān)系.

生：圓的周長是直徑的π倍.

師：這確實是圓的一個非常厲害的性質(zhì)！盡管我們在小學(xué)就已經(jīng)得知，但值得重新審視.π是一個常數(shù)，而且π還是一個無理數(shù)，稱為圓周率.中國古代在圓周率的發(fā)現(xiàn)上有著偉大的貢獻(xiàn).

生：祖沖之.

師：是的.但是還有一位不能忘記，那就是劉徽.劉徽的“割圓術(shù)”說的就是用圓中的正多邊形的周長來替代圓的周長進(jìn)行計算的方法.劉徽的極限思想：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.我們在小學(xué)計算圓的面積時，已經(jīng)有所領(lǐng)略（無限等分圓心角，可近似得到小等腰三角形，錯位拼成矩形，計算面積）.

【教學(xué)反思】古希臘學(xué)者普羅塔戈說：“人的頭腦不是一個要被填滿的容器，而是一束需要被點(diǎn)燃的火把.”正是如此！教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的觀點(diǎn)（課堂上的聲音、學(xué)習(xí)單上的文字），都是可以燎原的星星之火.傾聽是大德，隨物賦形，循天而事.此處的“物”與“天”，正是順應(yīng)數(shù)學(xué)研究對象各要素間的內(nèi)在關(guān)系，順應(yīng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維走向，自然地展開問題研究的發(fā)現(xiàn)和提出.關(guān)注邏輯的連貫性，問題的層次性，以構(gòu)建系統(tǒng)的完整性.“快速發(fā)現(xiàn)性質(zhì)+大量練習(xí)跟進(jìn)”的模式，似乎在應(yīng)試的層面更為高效，但是，做練習(xí)的目的是什么？無非是加深了對知識的理解，建立知識間的聯(lián)系，鍛煉學(xué)生的思維，拓展與提升學(xué)生的思維品質(zhì)，等等.故獲得一個數(shù)學(xué)概念是練習(xí)；發(fā)現(xiàn)證明一個數(shù)學(xué)定理也是練習(xí)；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題還是練習(xí)；研究一個新的問題更是練習(xí)，而且是更好的練習(xí)；……

3.提出問題

如果說，之前兩次學(xué)生在學(xué)習(xí)單上的書寫（抽象定義、探索性質(zhì)），是在教師引領(lǐng)下的任務(wù)驅(qū)動，那么，第三次學(xué)習(xí)單的書寫——“同學(xué)們還有什么問題呢？”就是讓學(xué)生更加自由、無拘束地提出自己的疑惑、問題乃至困難，也是教師引導(dǎo)學(xué)生走向明天的一個教學(xué)行為，更是一段意蘊(yùn)悠長開拓性的學(xué)習(xí)過程.教育理念說發(fā)現(xiàn)問題、提出問題比分析問題、解決問題更重要，那么這個教學(xué)環(huán)節(jié)，正是希望能起到能力養(yǎng)成的作用.

學(xué)生提出的問題，十分有趣味性、有價值，令人眼前閃亮、滿心歡喜.列舉若干如下.

何為有價值的數(shù)學(xué)問題？

如何找到一個圓的圓心？如何用尺規(guī)作圖將一個圓7等分？

圓與橢圓有什么區(qū)別和聯(lián)系？性質(zhì)和圓一樣嗎？球的體積公式如何得到？

如何在平面直角坐標(biāo)系中表示一個圓？垂徑定理有什么用？

圓心角、圓周角、圓內(nèi)角、圓外角分別和相關(guān)的弧有什么關(guān)系？

弦的長度、弧的長度可求嗎？圓內(nèi)接正多邊形的內(nèi)角和邊有什么關(guān)系？

圓心角和圓周角與圓弧圍成的圖形的面積和周長如何計算？

都說是分割，無限接近，那就說明圓周長不等于正多邊形的周長，則π是不是不準(zhǔn)確啊？有沒有比割圓術(shù)更好的求π的方法？托勒密定理怎么證明？微積分是什么？……

【教學(xué)反思】何為有價值的數(shù)學(xué)問題？在筆者眼里，能提出這樣的問題的學(xué)生，已經(jīng)在用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的思維思考、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá).如何用尺規(guī)作圖將一個圓7等分？那是一個可以講述數(shù)學(xué)家高斯的故事.圓與橢圓有什么區(qū)別和聯(lián)系？那是可以將圓中的定長線段固定在兩個定點(diǎn)的故事.無限接近、極限思想、托勒密定理、微積分……好的教與學(xué)，是教師與學(xué)生的彼此成就、共同成長.惜緣感恩！

這節(jié)課的最后，教師如此說：今天我們開啟了圓的新篇章，在接下來的日子里，我們將在這片廣袤的“森林”中，領(lǐng)略各種奇花異草.

三、教學(xué)點(diǎn)評

圓是區(qū)別于直線型的最具有對稱美的平面曲線圖形，由直線型到圓，開辟了初中推理幾何研究的新的領(lǐng)域.作為新領(lǐng)域的起始課，有著學(xué)習(xí)“怎樣研究一類幾何圖形的基本套路”的育人價值，因此需要通過具體的教學(xué)活動，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和引入“圓”這類新圖形并抽象其概念，需要知道圓是怎樣定義的，以這一定義為邏輯起點(diǎn)可以研究什么、怎樣研究等.

作為知名的特級教師，授課教師的課堂如天馬行空，自由馳騁在數(shù)學(xué)王國.站在高處，引領(lǐng)學(xué)生用高觀點(diǎn)整體、系統(tǒng)地經(jīng)歷圓的概念的抽象過程，圓的性質(zhì)的初步探索過程，以及基于具體情境發(fā)現(xiàn)和提出問題的過程.這樣的課堂如一幅畫卷徐徐展開，主題清晰，內(nèi)容詳實生動，重視學(xué)生的“三會”“四能”發(fā)展，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的理想課堂.

首先，課堂充滿著生成的精彩.授課教師追求的數(shù)學(xué)教育是“隨物賦形，循天而事”，也就是說隨著學(xué)生思考而進(jìn)行教學(xué)，充分尊重學(xué)生的思考過程，利用學(xué)生的思想作為課堂教學(xué)的有效資源.這樣的課堂充滿著生成性.例如，授課教師用了23分鐘時間讓學(xué)生經(jīng)歷圓的定義的形成過程，讓學(xué)生通過畫圖、觀察、想象、歸納，自己說出圓的特征.盡管開始學(xué)生給出的圓的特征描述有這樣或那樣的缺陷，如“由與圓心距離相等的許多點(diǎn)構(gòu)成的封閉曲線”“一條線段一個端點(diǎn)不動另一個端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，圍起來”“將一條線段首尾連接起來，線上的點(diǎn)到一個點(diǎn)的距離相等”“在平面內(nèi)，一條固定了一端的線段，圍繞一周無數(shù)點(diǎn)組成的圖形”等，授課教師能在肯定各自合理成分的基礎(chǔ)上，概括出描述圓的特征的關(guān)鍵詞“（1）定點(diǎn)、定長、集合——（靜態(tài)看）；（2）線段OA、點(diǎn)O、點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)——（動態(tài)看）”，舉出學(xué)生所在班級為例說明“集合的含義”，并最終得到圓的兩種定義.

其次，彰顯整體教學(xué)的思想.能站在系統(tǒng)的高度，從圓的構(gòu)成要素——圓上的點(diǎn)的關(guān)系及其與定點(diǎn)（圓心）的關(guān)系出發(fā)比較自然、有序地給出“半徑、直徑”“弧、弦”“圓心角”等相關(guān)概念.進(jìn)一步，讓學(xué)生自己探索，寫出可能具有的性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生說出點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系等.

最后，重視問題提出教學(xué).在形成圓的概念，初步討論了圓中可能的性質(zhì)和位置關(guān)系后，專門設(shè)計了一個讓學(xué)生提出需要研究問題的教學(xué)環(huán)節(jié)，充分體現(xiàn)了授課教師對問題提出教學(xué)價值的深刻理解和發(fā)展學(xué)生“四能”的數(shù)學(xué)教育價值追求.