張青云

（廣東省東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的生長點(diǎn)與延伸點(diǎn)，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解.日常教學(xué)中，一個(gè)個(gè)地教概念，一個(gè)個(gè)地學(xué)定理，容易迷失在局部，見木不見林.長此以往就會(huì)出現(xiàn)坐井觀天、思路狹窄、思維呆板的現(xiàn)象，局限于一招一式的雕蟲小技而不能自拔.怎樣在教學(xué)中把握好知識的整體性，引導(dǎo)學(xué)生“既見樹木，又見森林”呢？筆者結(jié)合人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊“13.3.1等腰三角形”的內(nèi)容，闡述整體構(gòu)建本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)立意，并給出教學(xué)建議與思考.

一、“等腰三角形的性質(zhì)與判定”教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理.

（2）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、論證的認(rèn)識圖形的全過程，為進(jìn)一步整合實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何積累經(jīng)驗(yàn).

（3）進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的整體性，了解研究一個(gè)平面圖形的一般套路.

2.教學(xué)重點(diǎn)

等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理.

3.教學(xué)準(zhǔn)備

各小組準(zhǔn)備一個(gè)等腰三角形紙片模型.

4.教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：憶舊迎新.

問題1：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些關(guān)于三角形的知識，你能總結(jié)一下研究思路嗎？

問題2：你能類比抽象三角形概念的過程，給出完整的等腰三角形概念嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考，并進(jìn)行交流發(fā)言.當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生說出定義、組成要素和相關(guān)要素，梳理三角形的研究思路，即定義—性質(zhì)（判定）—應(yīng)用，并用文字語言描述等腰三角形的定義，結(jié)合圖形所給的組成要素命名.

【設(shè)計(jì)意圖】等腰三角形是特殊的三角形，對它的研究是以一般三角形為基礎(chǔ)的，其研究思路與一般三角形的研究思路一致.回顧三角形的研究思路是為研究等腰三角形搭建一個(gè)研究框架，進(jìn)一步完善學(xué)生的知識體系.同時(shí)，從三角形分類的角度引出等腰三角形的定義及組成要素的命名.

環(huán)節(jié)2：探究新知.

問題3：等腰三角形有什么性質(zhì)？折疊等腰三角形紙片，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形有什么特殊性質(zhì)？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考，并相互交流.教師引導(dǎo)學(xué)生有序思考，從一般性質(zhì)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形具有一般三角形在邊、角、“三線”方面的所有性質(zhì).之后，借助于等腰三角形紙片模型的折疊，從軸對稱角度，思考等腰三角形所具有的特殊性質(zhì).

特殊性質(zhì)1：等腰三角形兩底角相等.

問題4：如何證明發(fā)現(xiàn)的等腰三角形性質(zhì)？

（1）根據(jù)命題，你能畫出圖形，寫出已知、求證嗎？

（2）你認(rèn)為證明等腰三角形兩個(gè)底角相等的思路是什么？

（3）如何在等腰三角形中構(gòu)造全等三角形？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷命題證明的全過程，即畫出圖形，寫出已知、求證，并結(jié)合問題串，啟發(fā)使學(xué)生獲得證明思路，即若構(gòu)造全等三角形，可以證明兩個(gè)底角所在的三角形全等.一名學(xué)生板書一種證法，其他學(xué)生在學(xué)案上完成，學(xué)生交流，教師反饋.在學(xué)生板書的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)精講構(gòu)造全等三角形的另外兩種不同方法.

已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC.

求證：∠B=∠C.

證法1：作底邊中線AD.

……

證法2：作頂角∠BAC的平分線AD.

證法3：作底邊BC上的高線AD.

圖1

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、證明的認(rèn)識圖形的全過程，為逐步從實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何過渡積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).同時(shí)，詳略得當(dāng)?shù)爻尸F(xiàn)三種不同的構(gòu)造全等三角形的方法，為發(fā)現(xiàn)特殊性質(zhì)2做鋪墊.

問題5：折疊等腰三角形紙片，使兩部分重合，你發(fā)現(xiàn)折痕在等腰三角形中的特殊性了嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考交流，結(jié)合特殊性質(zhì)1的論證過程，歸納出線段AD集“三線”于一身，即等腰三角形的底邊中線、頂角平分線、底邊上的高線重合.等腰三角形的對稱軸為“三線”所在的直線.

特殊性質(zhì)2：等腰三角形的“三線合一”，即底邊上的中線、頂角平分線、底邊上的高線相互重合.

【設(shè)計(jì)意圖】通過對線段AD的反芻，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)線段AD的特殊性，歸納、總結(jié)出特殊性質(zhì)2.

問題6：接下來，我們還需要研究等腰三角形的哪些問題？根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)提出猜想.

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生由性質(zhì)定理得到逆命題，猜想判定三角形是等腰三角形的命題.

【設(shè)計(jì)意圖】分類是為了理順后續(xù)研究的邏輯順序.從一般到特殊地研究等腰三角形的判定方法.而判定方法是由性質(zhì)定理得到的，幫助學(xué)生理解性質(zhì)與判定之間的互逆關(guān)系.

問題7：根據(jù)命題證明的形式，證明猜想.

師生活動(dòng)：學(xué)生畫出圖形，寫出已知、求證，借助于證明性質(zhì)定理的經(jīng)驗(yàn)，思考證明方法，并在學(xué)案上寫出證明過程.學(xué)生相互交流，反饋不同的證明方法.若有學(xué)生思考作底邊上中線這一證法，可能會(huì)出現(xiàn)運(yùn)用“邊邊角”來證明三角形全等的錯(cuò)誤，此時(shí)需要教師點(diǎn)撥指導(dǎo).

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生再一次經(jīng)歷命題證明的全過程，發(fā)展學(xué)生的推理論證能力.同時(shí)，通過一題多解發(fā)散學(xué)生的思維，體現(xiàn)學(xué)生在探究活動(dòng)中的自主性.

環(huán)節(jié)3：鞏固應(yīng)用.

練習(xí)1：如圖2，∠A=36°，∠DBC=36°，BD=BC，則∠C的度數(shù)為______，∠ABD的度數(shù)為______，圖中是等腰三角形的有______.

圖2

圖3

練習(xí)2：如圖3，AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB∥CD，OA=OB，求證：OC=OD.

師生活動(dòng)：讓學(xué)生先獨(dú)自完成，再小組交流互教.在解決練習(xí)1時(shí)，判斷哪些是等腰三角形，鼓勵(lì)學(xué)生先直觀觀察，再思考論證，口述其判斷依據(jù)；對于練習(xí)2，學(xué)生完成證明后，教師要規(guī)范學(xué)生的證明過程，最后視時(shí)間情況進(jìn)行教學(xué).如果時(shí)間允許，可以展開圖形變式，如將圖3變?yōu)槿鐖D4所示的形式，再讓學(xué)生思考，并口述表達(dá).

圖4

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在學(xué)習(xí)性質(zhì)定理和判定定理之后，通過兩道練習(xí)題鞏固所學(xué)知識.解決兩道練習(xí)題時(shí)，都需要用到等腰三角形的性質(zhì)與判定，從而使訓(xùn)練更具高效性.

環(huán)節(jié)4：小結(jié)提升.

問題8：本節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了哪些知識？你能用一個(gè)框架圖描述一下嗎？

問題9：你能說說等腰三角形的研究思路、研究內(nèi)容和研究方法嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生先自己歸納，然后教師請學(xué)生回答，梳理本節(jié)課所學(xué)的知識，最終形成如圖5所示的框架式知識結(jié)構(gòu)圖.

圖5

研究思路：定義→性質(zhì)→判定→應(yīng)用.

研究內(nèi)容：從圖形的組成要素和相關(guān)要素出發(fā)，研究等腰三角形的邊、角、“三線”方面的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

研究方法：運(yùn)用從一般到特殊的方法，通過直觀觀察、實(shí)驗(yàn)操作發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并提出猜想，通過演繹推理證明猜想，通過考查性質(zhì)定理的逆命題提出判定，通過演繹推理證明判定.

【設(shè)計(jì)意圖】通過小結(jié)梳理知識，使學(xué)生從整體上看待本節(jié)課的內(nèi)容，形成一個(gè)完整的研究圖形的認(rèn)識套路.

二、教學(xué)思考

1.用數(shù)學(xué)整體觀整合教材

數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，思維是一個(gè)系統(tǒng)，課堂教學(xué)應(yīng)注重整體性設(shè)計(jì)，提升學(xué)生的系統(tǒng)思維水平.系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識對象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考查認(rèn)識對象的一種思維方法，可以使人具有整體觀、全局觀，是邏輯抽象能力強(qiáng)的集中表現(xiàn).基于這種理念，有很多教師開始著力整合教學(xué)內(nèi)容，開展單元教學(xué).根據(jù)知識發(fā)生的規(guī)律、內(nèi)在的聯(lián)系、學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)、可以達(dá)到的高度將教材進(jìn)行有機(jī)整合，編制成一個(gè)個(gè)學(xué)習(xí)單元.本節(jié)課的設(shè)計(jì)就是基于數(shù)學(xué)整體觀理念，打破通常一節(jié)課講性質(zhì)、一節(jié)課講判定的習(xí)慣定勢，將等腰三角形的性質(zhì)與判定融合在同一個(gè)課時(shí)中進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，展現(xiàn)了等腰三角形在三角形知識體系中的內(nèi)在聯(lián)系，凸顯了知識的發(fā)生、發(fā)展路徑，使學(xué)生的思維得到自然生長，使學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)得到進(jìn)一步發(fā)展和提升.

2.知識沒有鞏固好，行嗎？

數(shù)學(xué)教材是按知識塊螺旋上升的模式編排教學(xué)內(nèi)容的，教學(xué)又把每個(gè)知識塊切分成若干個(gè)知識點(diǎn)安排在每一個(gè)課時(shí)中，其學(xué)習(xí)路徑可以用如圖6所示的模型呈現(xiàn).

圖6

在這樣的設(shè)計(jì)中，知識點(diǎn)與對應(yīng)鞏固練習(xí)呈串聯(lián)方式展開，使得課堂結(jié)構(gòu)通常就以一兩個(gè)知識點(diǎn)為主體，分為探究新知、鞏固運(yùn)用兩大板塊，看起來很符合循序漸進(jìn)的教學(xué)原則，小步穩(wěn)走，步步為營.但是在這樣的課堂中，知識點(diǎn)與知識點(diǎn)之間因?yàn)殪柟踢\(yùn)用，被人為地阻隔，“連線”拉長，難以形成有效的溝通.課堂上所學(xué)知識只是零散的局部知識，學(xué)生很難較好地感受到知識之間的聯(lián)系，難以形成一個(gè)有效的知識網(wǎng)絡(luò)和系統(tǒng).

數(shù)學(xué)整體觀的教學(xué)設(shè)計(jì)就是要改變這種現(xiàn)狀，強(qiáng)化知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建一個(gè)前后一致、邏輯連貫、遷移能力強(qiáng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，將彼此有緊密聯(lián)系的等腰三角形的定義、性質(zhì)、判定知識，并聯(lián)在同一節(jié)課中學(xué)習(xí)探究，而將知識的訓(xùn)練鞏固后置，其呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)路徑可以用如圖7所示的模型表示.

圖7

一節(jié)沒有鞏固運(yùn)用環(huán)節(jié)的探究課，是一節(jié)不完整的、有缺陷的課嗎？融合課時(shí)教學(xué)內(nèi)容，將認(rèn)識圖形的全過程作為一個(gè)整體，適當(dāng)延展深入探究活動(dòng)的時(shí)間，讓學(xué)生充分經(jīng)歷探究的過程，其立意就是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問題的習(xí)慣，避免“只見樹木，不見森林”，進(jìn)而使他們在面對數(shù)學(xué)問題時(shí)，能把解決問題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過程、解決過程的優(yōu)化，以及對問題的拓展、深化等作為一個(gè)整體進(jìn)行研究.只有這樣的課堂教學(xué)，才能將“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識和解決問題的人才”這一理念落到實(shí)處.

這樣的課時(shí)設(shè)計(jì)，只是等腰三角形知識學(xué)習(xí)的一段歷程.課時(shí)的結(jié)束，并不意味著學(xué)習(xí)的結(jié)束.知識的鞏固訓(xùn)練，并不是不需要，當(dāng)堂訓(xùn)練并不是一定要永遠(yuǎn)遵循的原則，后置下一課時(shí)，進(jìn)行有層次的綜合訓(xùn)練教學(xué)也未嘗不可.

3.重視等腰三角形的對稱性

幾何中，空間基本性質(zhì)的刻畫工具有兩個(gè)：一是空間的平直性；二是空間的對稱性.在人教版教材八年級上冊配套的教師教學(xué)用書中指出：等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了具有三角形的一般性質(zhì)外，還具有一些特殊性質(zhì).因?yàn)榈妊切问禽S對稱圖形，所以，借助于軸對稱來研究等腰三角形的一些特殊性質(zhì).這也正是教材把等腰三角形的相關(guān)內(nèi)容編排在軸對稱內(nèi)容之后的重要原因.教學(xué)中，教師要充分注意這一點(diǎn)，將圖形的變化與圖形的性質(zhì)有機(jī)整合，利用圖形的變化得到圖形的性質(zhì)，再通過推理證明這些結(jié)論.我們贊成這個(gè)觀點(diǎn)，甚至認(rèn)為，學(xué)習(xí)軸對稱這種圖形變化，本質(zhì)上就是為學(xué)習(xí)三角形特例——等腰三角形的學(xué)習(xí)而做準(zhǔn)備的.在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，我們也以此為研究等腰三角形性質(zhì)的起點(diǎn)，通過引導(dǎo)學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作，折疊等腰三角形紙片，發(fā)現(xiàn)邊、角等組成要素的等量關(guān)系，并以對折痕（對稱軸）的追問，發(fā)現(xiàn)“三線合一”的特征.這個(gè)探究過程，就是在深刻理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出來的.

總之，在教學(xué)中，我們要敢于打破舊有觀念，從“培育學(xué)生的理性精神，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力為核心，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的過程中，成為善于發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的人才”要求出發(fā)，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)和定理、公式、法則等原理的教學(xué)中，樹立數(shù)學(xué)整體觀，使學(xué)生“既見樹木，又見森林”，使課堂成為落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的主陣地.