殷 爍，于梅菊，叢玉華，陳衍峰，許 晶，張洪為，葛金輝

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是高校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)、統(tǒng)計學專業(yè)的基礎必修課程，也是其他理工科專業(yè)學生的必修課程，對學生的后續(xù)學習十分重要.但是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程理論知識難度較大，學生學習吃力，學習興趣不高，如何在這種情況下提高學生學習的興趣尤為重要，翻轉(zhuǎn)課堂的引入是解決這一問題的“密鑰”.

1 運用翻轉(zhuǎn)課堂教學的可行性分析

目前各高校配有專業(yè)的計算機機房，各二級學院也擁有自己的實訓室等場所.移動、聯(lián)通光纖網(wǎng)在校園內(nèi)全面覆蓋，為學生順利進行翻轉(zhuǎn)課堂學習提供了硬件設備保障，學生在教室和宿舍都能夠使用電腦、手機隨時上網(wǎng)學習.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程多在大學二年級開設，這一階段的學生已經(jīng)適應了大學的學習生活，自主學習能力在不斷地提升中，已經(jīng)能夠接受在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學中應用翻轉(zhuǎn)課堂教學方式［1］.實用性和應用性強是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的突出特點.通過學習，讓學生掌握概率、統(tǒng)計的基礎知識，訓練學生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計思維，提升學生解決問題的能力，培養(yǎng)學生的綜合素質(zhì)，一直是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的目標.筆者結合現(xiàn)代教育理論和相關學習理論，發(fā)現(xiàn)對于像概率論與數(shù)理統(tǒng)計這種實踐應用性很強的課程，將理論與實踐結合的“學做結合”是非常理想的學習方式.在該課程中實施翻轉(zhuǎn)課堂教學，可以結合討論式教學、問題式教學，在制作教學視頻時，做好相關設計，讓學生在學中做，在做中學，通過視頻制作增強學生的學習興趣.

綜上，高校概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程實施翻轉(zhuǎn)課堂教學主客觀條件兼?zhèn)洌瑫r，概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的實用性和應用性強的特點也決定了在該課程教學中實施翻轉(zhuǎn)課堂是切實可行的.

2 翻轉(zhuǎn)課堂在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學設計中的應用

概率論與數(shù)理統(tǒng)計的重要研究課題之一，是從已知的簡單事件的概率來推算未知的復雜事件的概率.對于一個復雜事件，有時不能直接求出它的概率，這就需要將其轉(zhuǎn)化為若干個易于計算的簡單事件，由加法和乘法公式得到復雜事件的概率，全概率公式正好起到這個作用.全概率公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的一個重要公式，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學中的一個重點，也是一個難點.如果在教學過程中直接給出全概率公式，學生往往無法接受，更不會分析求解.要使學生深刻理解全概率公式，教師就要下功夫講明白公式的來龍去脈，適當展開［2］.文章以人民大學出版社2016年出版的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（第二版）［3］一書中的“全概率公式”為例，就如何運用翻轉(zhuǎn)課堂進行全概率公式教學設計展開探索.

2.1 課前預習階段

（1）教學視頻的制作.先將要在課堂上講授的內(nèi)容進行結構化處理，分解出本節(jié)課要講授哪些內(nèi)容.全概率公式教學中需要選取恰當?shù)睦?，從實例分析中掌握全概率公式，在視頻設計時要注意引入實例的邏輯順序［4-5］.任何一門學科或新知識的教學，引入都是非常重要的.在全概率公式教學中，如果直接介紹樣本空間的劃分及全概率公式，學生不能理解公式的本質(zhì)內(nèi)涵，所以要用生活中淺顯易懂的取球和擲骰子實例引出樣本空間的構成及劃分，將其制成教學視頻，供學生課前預習使用.選取案例見例1、例2.

例1一袋中有10個球，其中3個黑球，7個白球，從中先后隨意各取一球（取后不放回），求第二次取到黑球的概率.

分析：不放回的取兩次，求第二次必須取到黑球的概率，而第一次可能取到黑球，也可能取到白球，是兩個互不相容的事件.若設B表示“第二次取到的是黑球”，A表示“第一次取到的是黑球”，則表示“第一次取到的是白球”，要求P(B)，由題意知上例中事件B的發(fā)生受到第一次實驗結果（兩個）的影響，也即是第一次實驗的兩個結果構成了整個樣本空間.

由此引出樣本空間的劃分（或完備事件組），即任一樣本空間Ω總能被一事件組A1,A2,…,An所劃分，且這個事件組恰為一完備事件組，即，且AiAj=?(i≠j,i,j=1,2,…,n).需要強調(diào)樣本空間的劃分并不是唯一的.

例2拋擲一枚骰子，觀察其朝上的點數(shù)，則樣本空間Ω={1，3，4，5，6}.對于樣本空間的劃分可以取A1={1點朝上}={1}，A2={大于等于2且小于等于3的點數(shù)朝上}={2，3}，A3={大于等于4的點數(shù)朝上}={4，5，6}，從而A1,A2,A3構成一個完備事件組.同樣也可以選取A1={奇數(shù)點朝上}={1，3，5}，A2={偶數(shù)點朝上}={2，4，6}，則A1,A2構成一個完備事件組.每一組事件都是互不相容且其和構成整個樣本空間.

本視頻制作可以在網(wǎng)上下載視頻進行后期加工，也可以利用錄屏軟件+PPT制作，還可以用攝像機和手機錄制.學生通過視頻學習，很容易理解樣本空間的構成及劃分，并加深對全概率公式的理解.

（2）學習卡的編制.學生的學習卡是與教學視頻配套使用的，應包含學習指南、“我的問題”、預習檢測三個組成部分.學習指南的作用是幫助學生對相關內(nèi)容進行有針對性的自主學習.全概率公式學習卡的編制，要體現(xiàn)公式的引入及分析過程，應能夠?qū)W生分析、綜合、判斷、推理思維活動過程進行引導和記錄，對其中涉及的結論性問題進行歸納和總結.“我的問題”是引發(fā)學生對視頻中相關問題進行思考并大膽質(zhì)疑.編制學習卡時，要預留空白處供學生提出質(zhì)疑問題或其他相關問題.預習檢測的作用是確定學生的原有基礎，檢測學生對視頻內(nèi)容的學習情況.教師在設定檢測題時要圍繞教學重點和教學難點進行，控制好試題的難度和數(shù)量，減輕學生的學習負擔.

（3）課前學習.教師在進行新課教學的前幾天上傳教學視頻，發(fā)放學習卡，并對課前預習提出要求.學生課前預習的總體情況記入平時成績.學生利用課余時間觀看教學視頻，完成學習卡.遇到弄不清楚的問題，要填寫在學習卡的空白處，上課時由老師和同學共同討論，共同學習.最后，完成學習卡上“預習檢測”部分的題目.

2.2 課堂學習階段

（1）課堂教學的設計.處理各類問題.學習卡納入學生考核評價中，既可以激勵學生課前預習，又可以讓教師掌握學生的學習情況.教師需要檢查、批改學生的學習卡，發(fā)現(xiàn)學生在學習過程中存在的問題，并對收集到的問題進行分類處理，歸納提煉出課堂教學時要解決的問題.對學生在學習卡中提出的與本節(jié)課關系不大的問題或現(xiàn)階段暫不需要解決的問題，留待以后解決.而與課堂教學內(nèi)容緊密相關的，如“第一次取球的結果是否是第二次取球發(fā)生的全部原因”這一問題，則是課堂教學中真正需要解決的問題.對于個別學生提出的很簡單的問題，在學習卡上給予答復即可.而大多數(shù)學生關注的問題則需要在課堂教學中解決.

（2）課堂教學活動.教師在進行課堂教學設計時，可以將課前預習中提煉出來的問題納入鞏固深化教學內(nèi)容，重新整合，整體規(guī)劃教學活動安排.教師要根據(jù)教學內(nèi)容和學生的學習情況，確定一兩個重點.課堂教學基本按照情景導入、獨立思考、協(xié)作探索等環(huán)節(jié)進行，即根據(jù)學生的學習需要安排相適應的教學組織方式.學生在課堂學習中要進行課堂合作學習，以最大限度地發(fā)揮學生的主動性和學生潛能.但在學生進行合作學習時，切記在提出問題后，讓學生獨立思考，給學生預留思考時間.

①情境導入.教師創(chuàng)設具體的學習環(huán)境，生成一系列任務.學生通過完成這些任務，解決課前預習中存在的問題.比如前面提到的樣本空間的劃分標準，可以讓學生理清任一事件B與完備事件組A1,A2,…,An的關系.

任一事件總是由樣本空間Ω中若干個基本事件構成，而當Ω被A1,A2,…,An劃分時，所有的基本事件無一例外地被歸類于A1,A2,…,An中，所以B中的基本事件也必然屬于完備事件組A1,A2,…,An，這樣A1,A2,…,An劃分樣本空間時也劃分了事件B.如上所述拋擲一枚骰子，取事件B={2，4，5}，則事件B被第一組中的A2,A3劃分了，被第二組中的A1,A2劃分了，從中我們也發(fā)現(xiàn)，B中的元素不一定是劃分者的全部元素，所以B不能用它們的和表示，只能用積表示.比如，被第一組劃分的情況下B=BA1?BA2?BA3，這里BA1=?.被第二組劃分的情況下B=BA1?BA2.

課本上都有關于樣本空間的劃分的圖形，復雜事件B的發(fā)生與一系列互不相容的事件有關，需要說明的是，互不相容事件本身并不一定完全構成樣本空間Ω，往往需要添加某些事件后才能構成樣本空間Ω，而添加的這些事件對復雜事件B被完備事件組中的部分事件劃分了，可以廣義地認為是被全部事件劃分了，只是沒參與劃分的事件沒分著B的任何元素，與B的積為不可能事件.

②獨立思考.獨立思考是合作學習的前提，只有大家集思廣益，積極努力，才能在互助學習中獲得最大的收獲.能力強的同學針對課前的視頻學習，情境導入的問題分析，可以總結出一些規(guī)律性的結論.能力差的同學很難從總體上把握所要學習的內(nèi)容，只可能有一個大致的思路，但是具體問題不知道如何解決，合作學習可以使他們在同學那里得到啟發(fā)，學會解決問題的方法.

③協(xié)作探索.首先，學生們經(jīng)過思考之后，小組討論，分工合作，共同完成教師布置的任務.然后，教師拋出學生們在課前預習時錯誤率較高的題目，請學生再次嘗試解決.最后，教師拓展這部分內(nèi)容，提出更高要求的任務，即引出全概率公式，強化應用.

理清事件B與完備事件組A1,A2,…,An的關系后，可由加法和乘法公式引出全概率公式P(B)=P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn)，P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)，從而得經(jīng)過理論分析之后，學生對公式有了初步的認識，要熟練應用公式，還需要加大練習，教師在舉例時要注意由易到難，選取例題的難易度要適當拉開，考慮到授課對象的基礎，在課堂上選講的題型都是較容易的，要求的事件與已知事件之間的關系也是明了的，對于稍微復雜的題型，選作練習題，讓學生自己動手解決，基礎好的學生很快解決，基礎不好的學生可能解答不出來，可以和老師、學生互相討論，經(jīng)過提示，大多數(shù)學生還是迎刃而解的.少部分基礎太差的，對其要進行個別輔導，這樣可以保證每位學生都有所學.這部分內(nèi)容要求對問題進行求解并推廣到一般情形，強調(diào)化整為零、化繁為簡的思想.學生通過學習，強化了對全概率公式的理解，完備事件組A1,A2,…,An中的任一原因都有可能導致事件B的發(fā)生，事件B發(fā)生的概率是完備事件組A1,A2,…,An中各原因引起事件B發(fā)生概率的總和，實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用.

2.3 課后學習階段

課后學習階段主要包括自主作業(yè)、交流討論、反饋評價三個環(huán)節(jié).

（1）自主作業(yè)和交流討論.當解決完課前預習、課堂教學中的所有問題后，教師要精心編制課堂作業(yè)——注意事件描述的準確性（見例3），讓學生完成，鞏固全概率公式的全部內(nèi)容.

教學中發(fā)現(xiàn)有的學生使用全概率公式時，對于事件的表示描述不確切，思路混亂，只會將數(shù)據(jù)代入公式，沒有真正理清事件間的關系，遇到稍微復雜的問題無從下手.

例3已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性概率.有的學生設B1={男性色盲}，B2={女性色盲}，A={此人是色盲}，這樣的話，代入公式后解釋不清，說明沒有領會如何選取完備事件組.為解決這個問題，在教學中要強調(diào)事件描述的準確性.我們可以選取B1={男性}，B2={女性}，這樣B1，B2構成一個完備事件組，問題迎刃而解.學生在完成這個作業(yè)時遇到困惑，可以和小組內(nèi)的同學商量，也可以和老師討論.并針對此類題型進行專門的練習，重點練習用字母表示各事件的描述方法.

交流討論的主題還可以是：全概率公式在軍事方面的應用，全概率公式在經(jīng)濟管理方面的應用等.

（2）反饋評價.教師對學生在課堂活動中的表現(xiàn)進行歸納和總結，結合課前預習中存在的問題，肯定學生的進步.翻轉(zhuǎn)課堂中的評價方式是多維的，評價內(nèi)容包括：針對性練習的成績，提出問題的情況，課堂獨立解決問題的表現(xiàn)，在小組協(xié)作中的表現(xiàn)等多方面，教師要及時給予評價.

3 結論

翻轉(zhuǎn)課堂是一種新型的教學方式，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學中采用翻轉(zhuǎn)課堂教學方式，學生在課堂上，目的明確，思路清晰，對前面的理論內(nèi)容有了更加深刻的理解和體會，真正成為學習的主人，學習興趣明顯增強.翻轉(zhuǎn)課堂拉長了課程學習的時間跨度，學生在參與課堂活動時有比較充分的準備，教師在教學視頻中有充分的時間使學生理解所要學習的主要內(nèi)容，學生在課堂學習中參與度加深，有較多的時間進行師生、生生之間的交流，針對難度較大的知識模塊，學生都能很快完成，討論熱烈，能夠開展高階思維的交流，學習氛圍濃厚，課堂學習效率明顯提高.