朱炎

摘要：本文探討了數(shù)學(xué)理解測(cè)試法的利弊和發(fā)展，以期幫助人們更好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，強(qiáng)化人們的認(rèn)知能力。

關(guān)鍵詞：理解測(cè)試? ?數(shù)學(xué)本質(zhì)? ?方法

2008年，中國學(xué)者楊教授和林教授在測(cè)試數(shù)學(xué)本質(zhì)方面做出了重大的貢獻(xiàn)，他們引進(jìn)了一種幾何證明的閱讀理解測(cè)試。這種方法包含四個(gè)層次：第一個(gè)層次，是學(xué)生需要具備基礎(chǔ)的知識(shí);第二個(gè)層次，被稱為認(rèn)知元素，是學(xué)生應(yīng)該能夠辨認(rèn)出證明過程中或明確或暗含的知識(shí)點(diǎn);第三個(gè)層次，是學(xué)生應(yīng)該明白證明過程的內(nèi)在邏輯關(guān)系;第四個(gè)層次，是學(xué)生應(yīng)該內(nèi)化證明，從而達(dá)到運(yùn)用自如的境界。兩位教授一直專注于前三個(gè)層次，并稱他們的這個(gè)模型并不是為了檢測(cè)學(xué)生是否達(dá)到第四個(gè)層次，而是希望能幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)。這種被稱作RCGP的模型對(duì)我們引進(jìn)深度理解測(cè)試十分有幫助，因?yàn)樗c其他的探究成果不同，以前的研究方向都是數(shù)學(xué)理解測(cè)試的簡(jiǎn)單運(yùn)用問題，而RCGP模型已經(jīng)構(gòu)成了一套完整的系統(tǒng)，將數(shù)學(xué)理解測(cè)試上升為理論的高度，為我們后續(xù)的深入研究打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

一、深度理解測(cè)試方法概述

傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法往往存在一些問題，如學(xué)生吃不透概念的推導(dǎo)，于是采取死記硬背的學(xué)習(xí)方法。第一，由于學(xué)生沒有在大腦中形成推理思維，所以這樣的記憶效果不理想;第二，課后的作業(yè)過多，學(xué)生做起題目來不求甚解，只在乎能夠按時(shí)完成，學(xué)生不僅浪費(fèi)了時(shí)間，還沒有學(xué)到知識(shí);第三，個(gè)別題目看起來很簡(jiǎn)單，于是學(xué)生一掃而過，實(shí)際做起來卻很困難。

因此，教師引進(jìn)了創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法——深度理解測(cè)試方法。這種方法最早起源于美國，朱莉·康雷迪教授和約翰·費(fèi)思思教授對(duì)這種方法進(jìn)行了初步探究，但對(duì)這一方法的利弊分析和發(fā)展藍(lán)圖還有待深入研究。深度理解測(cè)試方法能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生更好地掌握知識(shí)。在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往是給出一道或證明或計(jì)算的題目，要求學(xué)生解答，而深度理解測(cè)試方法是教師同時(shí)給出題目和答案，然后根據(jù)答案的細(xì)節(jié)設(shè)置更多的問題，且題目按照由易到難的順序設(shè)置，學(xué)生需要做的是解答這些問題。這樣一來，教師將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題化解為多道閱讀理解題，學(xué)生就可以循序漸進(jìn)地測(cè)試知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。

深度理解測(cè)試方法能使學(xué)生對(duì)每道題目有話可說，不會(huì)產(chǎn)生無法下手的感覺。在答題時(shí)，學(xué)生可以復(fù)習(xí)這些知識(shí)點(diǎn)，從而有效測(cè)試學(xué)生掌握這些知識(shí)點(diǎn)的程度，檢測(cè)出學(xué)生數(shù)學(xué)水平的高低。同時(shí)，這種方法能使學(xué)生更好地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，在課后溫習(xí)時(shí)加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶，并將數(shù)學(xué)題當(dāng)作閱讀理解題，極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、深度理解測(cè)試方法舉例

一個(gè)數(shù)如果能表示成4a+1就稱作一元數(shù)，如果能表示成4b+3就稱作三元數(shù)，（a，b∈Z），求證命題：存在無數(shù)個(gè)三元素?cái)?shù)。

證明：

步驟1：假設(shè)有一個(gè)數(shù)，它由兩個(gè)一元數(shù)相乘：（4a+1）（4b+1）=

16ab+4a+4b+1=4（4ab+a+b）+1，它也是一元數(shù)。

步驟2：同理，任意一元數(shù)的積都是一元數(shù)。

步驟3：假設(shè)命題是錯(cuò)誤的，即只有有限個(gè)三元素?cái)?shù)，假設(shè)為C1，C2，……，Cn。

步驟4：使M=4C2……Cn+3，C1=3。

步驟5：M不能整除C2，C3，

……，Cn，余數(shù)為3;因?yàn)?C2……Cn不能整除3，所以M也不能整除3。

步驟6：我們得出M不能整除任何三元素?cái)?shù)。

步驟7：因?yàn)镸是奇數(shù)所以不能整除2。

步驟8：所以M也一定是一元的。

步驟9：但是M很明顯是三元數(shù)，得出矛盾。

命題得證。

教師可以將這道題目分成多個(gè)問題，如①素?cái)?shù)的含義？②三元數(shù)的特征是什么？③1，3，5，17，33，47，89，199這些數(shù)中，哪些是三元數(shù)？哪些是一元數(shù)？④這道題運(yùn)用了什么證明方法？⑤步驟5中為什么4C2……Cn不能整除3？⑥步驟6中M為什么不能整除任何三元素?cái)?shù)？⑦步驟8中M為什么一定是一元的？⑧520是一元數(shù)嗎？為什么？

三、例題分析

這道題目給出了兩個(gè)新概念，考查的卻是一些基礎(chǔ)知識(shí)，有素?cái)?shù)、整除等。然而，要做好這道題目，學(xué)生需要掌握迅速吸收和處理新信息的能力。

問題①至問題③是最基本的，只是要求學(xué)生寫出數(shù)學(xué)中基本概念的定義，另外加了一些原命題的舉例，學(xué)生很快就做出來了。題目所需要的只是最基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和概念的運(yùn)用能力，所以沒有什么難度。

對(duì)于問題④，學(xué)生很快聯(lián)想到了常用的方法，如分析法、歸納法、反證法等。加之在證明過程中有一句話“假設(shè)命題是錯(cuò)誤的”，這就提醒我們，這道題目很可能用的是反證法。再看證明結(jié)尾是“得出矛盾”，便能確定是反證法。所以說，這道題難度也不大。

然而，問題⑤至問題⑧就不一樣了。學(xué)生用了較長(zhǎng)的思考時(shí)間，答案仍然不盡如人意。

問題⑤本來并不難。根據(jù)假設(shè)可知，從C1到Cn全部都是素?cái)?shù)，而C1=3，于是C2……Cn只能分解為素?cái)?shù)的乘積，而且沒有3，于是C2……Cn很明顯不能整除3，于是4C2……Cn不能整除3。一個(gè)學(xué)生是這樣做的：“因?yàn)镃2……Cn為三元素?cái)?shù)的積，可推得兩個(gè)三元數(shù)的積為一元數(shù)，可知不能整除?！边@種方法十分簡(jiǎn)便，巧妙地運(yùn)用了三元數(shù)和一元數(shù)的兩個(gè)定義，過程簡(jiǎn)潔，一目了然。而另一個(gè)學(xué)生用反證法來解釋：“假設(shè)4C2……Cn能整除3，則M能整除3，從而C2……Cn也能整除3，M與C2……Cn有公因子3，且C2，……，Cn均為素?cái)?shù)，故知3必為其一，矛盾。”這種做法用的是同一種思想，但是過于復(fù)雜，耗費(fèi)了較多的時(shí)間。其實(shí)，學(xué)生只需要很好地把握已知條件，明白什么叫作不能整除3，就能很好地解答問題，所以這道題目解答起來并不復(fù)雜。

問題⑥也不難。根據(jù)假設(shè)我們已經(jīng)知道，三元素?cái)?shù)只有3，C2，……，Cn，已經(jīng)證明M不能整除，又因?yàn)镸除以從C2到Cn的任意一個(gè)數(shù)都會(huì)有余數(shù)3，所以很明顯M不能整除任何三元素?cái)?shù)。但學(xué)生做這道題目用了很長(zhǎng)時(shí)間，這看起來很奇怪。仔細(xì)想來，還是因?yàn)樗麄儧]有很好地瀏覽證明過程，沒有跟著證明過程走?？吹絾栴}⑥會(huì)聯(lián)想到其他一些東西，比如，會(huì)直接考慮M÷（4Z+3）等于多少，這樣的思考就過于刻板了，并在這種想法上停留很長(zhǎng)時(shí)間后，才發(fā)現(xiàn)行不通，此時(shí)已經(jīng)浪費(fèi)了大量時(shí)間了。因此，學(xué)生要讓自己很快地進(jìn)入證明過程的意境。首先從步驟4和步驟5進(jìn)行思考，從而很快得出結(jié)論。由此可見，這個(gè)問題考查的是學(xué)生快速學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力，盡管看起來并不復(fù)雜。

根據(jù)前面的許多步驟，問題⑦便能迎刃而解。M不是三元數(shù)，也不是二元數(shù)，更不會(huì)是4的倍數(shù)，因?yàn)?的倍數(shù)能整除2，所以自然是一元的。學(xué)生很快解答出來了。

問題⑧則是一道發(fā)散型的題目，解法多種多樣。問題也可以改成520-1能不能被4整除。但答題時(shí)，學(xué)生也用了不少時(shí)間，可以看出，他們數(shù)學(xué)的思維不夠靈活。實(shí)際上，學(xué)生既可以將520-1分解為（510+1）（5^5+1）（5^5-1），也可以將520=（4+1）20=4N+1（N為某個(gè)整數(shù)），還可以將520=

4（5^19+5^18+……+5+1）+1。

四、結(jié)語

深度理解測(cè)試方法可以減少學(xué)生對(duì)知識(shí)本身的關(guān)注，而只注重解答出設(shè)置的題目。但是如果學(xué)生認(rèn)為只要將題目做出來就理解了知識(shí)點(diǎn)，那么他們就陷入了思維誤區(qū)。假如問題的設(shè)置并不是那么完善，或不能完全檢測(cè)出知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，那么這樣設(shè)置的題目反而會(huì)導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不佳。因此，筆者認(rèn)為深度理解測(cè)試本來只是幫助學(xué)生更好地掌握和消化知識(shí)點(diǎn)，但如果把它當(dāng)作唯一的數(shù)學(xué)方法，就本末倒置了。

深度理解測(cè)試方法和其他許多方法一樣，存在許多弊端，所以我們應(yīng)理性地看待它，不能將其視為一種偷懶的方法。同時(shí)，深度理解測(cè)試方法的確可以幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，有助于記憶知識(shí)點(diǎn)，但是如果學(xué)生太過依賴這一方法，通過大量的練習(xí)深度理解測(cè)試題目，那么可能不會(huì)取得很好的學(xué)習(xí)效果。因此，要想更好地利用深度理解測(cè)試方法，學(xué)生必須取其精華，去其糟粕。只有這樣，才能最大限度地提高教學(xué)效率。

參考文獻(xiàn)：

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（作者單位：鄭州市商業(yè)貿(mào)易高級(jí)技工學(xué)校）