李勇

摘要：數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)思想中非常重要的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)原則，也是全面提高學(xué)生素質(zhì)的重要方法之一，掌握好數(shù)形結(jié)合的思想是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有至關(guān)重要作用和地位。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的思想是解決高考數(shù)學(xué)試題的基本方法之一，它是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖象結(jié)合起來(lái)，可以實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化抽象為具體，從而達(dá)到簡(jiǎn)潔明了的解題效果。尤其在高中數(shù)學(xué)中的集合、函數(shù)、方程、幾何、復(fù)數(shù)等問(wèn)題中有著非常重要的應(yīng)用。

一、數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的一種非常重要的思想方法

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：數(shù)與形，本是相依倚，焉能分作兩邊飛；數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫分離。 這就說(shuō)明數(shù)與形是緊密聯(lián)系、不可分割的。數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如通過(guò)觀察函數(shù)的圖象來(lái)直觀的研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值等；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如借助曲線(xiàn)的方程來(lái)精確的闡明曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)。實(shí)際上就是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)抽象概念具體化。在解析幾何中，我們充分強(qiáng)調(diào)了用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的解析法，它解決了許多緊靠圖形無(wú)法精確討論的問(wèn)題，顯示“數(shù)”的巨大威力。同時(shí)我們也看到許多問(wèn)題若從“形”的角度去思考，可以找到直觀、簡(jiǎn)捷的解題方案，這充分展現(xiàn)了“形”的無(wú)窮力。

二、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題時(shí)，要遵循三個(gè)原則

1、等價(jià)性原則

利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題時(shí)，代數(shù)和幾何的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞。有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，要注意其帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)。

2、雙方性原則

既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)。

3、簡(jiǎn)單性原則

不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合。具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)。

三、數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí)，需要做到以下四點(diǎn)：

1、要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線(xiàn)的代數(shù)特征；

2、要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

3、要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；

4、精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化，以便于問(wèn)題求解。

很多數(shù)學(xué)概念都具有明顯的幾何意義，如果能善于利用這些幾何意義，往往能收到事半功倍的效果。數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來(lái)定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來(lái)定義的。

四、下面我們從幾個(gè)方面談?wù)勗鯓佑脭?shù)形結(jié)合的思想方法解題

（一）數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，集合知識(shí)非常重要，在高考中占一定的比例。所以學(xué)好這部分的知識(shí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常重要的。單純的講解會(huì)讓學(xué)生感受不到數(shù)學(xué)的真實(shí)存在性，這樣也會(huì)使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中存在這樣或那樣的問(wèn)題。所以在集合運(yùn)算問(wèn)題中，當(dāng)所給問(wèn)題的數(shù)量比較復(fù)雜，不好找線(xiàn)索時(shí)，我們常常要借助數(shù)軸、韋恩圖來(lái)處理集合中的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，利用直觀的圖形，從而使問(wèn)題更加簡(jiǎn)化，運(yùn)算更加快捷。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

利用函數(shù)圖像來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)是一般常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法之一。函數(shù)圖像的幾何特征和數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征和方法。 利用函數(shù)圖像的直觀性來(lái)討論函數(shù)的最值問(wèn)題，求解變量的取值范圍，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想考察學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，邏輯思維能力，是高中函數(shù)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一。

（三）數(shù)形結(jié)合思想在方程中的應(yīng)用

1.用函數(shù)的圖象討論方程（特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程）的解的個(gè)數(shù)的問(wèn)題是一種非常重要的思想方法，其根本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)表達(dá)式（不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)），然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)。

2.函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性；最值（值域）經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

（四）數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用

復(fù)數(shù)的幾何意義用向量表示，把復(fù)數(shù)與平面幾何和解析幾何有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，復(fù)數(shù)幾何意義充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。所以在解決一些復(fù)數(shù)問(wèn)題時(shí)可以借助復(fù)數(shù)的幾何意義，從而輕松簡(jiǎn)潔的解決問(wèn)題。

經(jīng)常教導(dǎo)學(xué)生在以上領(lǐng)域運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高解題能力是很有幫助的，凡是涉及到幾何圖形或具有幾何意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以讓學(xué)生考慮先從幾何圖形的關(guān)系上分析問(wèn)題，養(yǎng)成從“形數(shù)”結(jié)合上逐步推理的好習(xí)慣。這樣做既可以培養(yǎng)對(duì)“形數(shù)”兩方面的分析能力又可迅速的估計(jì)出答案或答案的大致情形以尋找并發(fā)現(xiàn)解答問(wèn)題的途徑，有時(shí)還可以防止和糾正某些計(jì)算錯(cuò)誤。高考十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，我們要有意識(shí)的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，形成能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量的精確刻化與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決。所以數(shù)形結(jié)合思想必須引起高中生的重視。

參考文獻(xiàn)：

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[2]孔令偉.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用[D].遼寧師范大學(xué)，2012.