徐 洋, 王皓輝, 盛曉偉

(東華大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 201620)

蜂窩板特點是強度高、剛度高、質(zhì)量輕、隔熱性能好，且在受到高強度沖擊載荷時其胞壁結(jié)構(gòu)發(fā)生彈性和塑性變形的同時可吸收沖擊能量，是一種具有良好力學(xué)特性的輕量化結(jié)構(gòu)，因此被廣泛地應(yīng)用于航空航天結(jié)構(gòu)等各個領(lǐng)域。在工程領(lǐng)域中，對于蜂窩板這樣的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，通常是借助計算機利用有限元方法對結(jié)構(gòu)進行分析，其優(yōu)勢是能夠精確地處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)問題，但缺點是需要過多的時間成本。因此，如何快速高效的建立蜂窩板模型是分析結(jié)構(gòu)特性的前提條件。

迄今為止，已經(jīng)有很多學(xué)者研究了蜂窩板等效理論，如：Boudjemai等[1]利用了各向同性的整塊板等效方法，方法雖可行實用，但卻只能從宏觀上描述其特性，無法從微觀上進行有效分析——即無法反應(yīng)蜂窩板蒙皮與蜂窩芯子之間的影響。董彥鵬等[2]提出了一種結(jié)構(gòu)相似有限元模型等效方法，等效性得到了驗證，但是建模過程仍然非常復(fù)雜，并沒有得到有效簡化。蔡園武等[3]提出了一種周期性板件剛度等效方法，但是其計算結(jié)果誤差相對較大，只能在相對狹小的特定范圍內(nèi)才能使用。Allen[4]建立的蜂窩板模型忽略了面內(nèi)剛度和彎曲剛度，雖然蜂窩芯層很軟，但是對于蒙皮而言具有較大的厚度，所以忽略面內(nèi)剛度和彎曲剛度必然導(dǎo)致明顯的誤差。Ha等[5-6]通過將蜂窩芯層視為服從剪切變形理論的正交異性層建立了分析模型，在部分領(lǐng)域內(nèi)效果很好。Gisbon等[7-8]通過理論方法給出了蜂窩材料的等效參數(shù)公式，雖然其解析形式便于應(yīng)用，但是也有缺點，在推導(dǎo)過程中僅僅只考慮了蜂窩板的彎曲變形，而沒有考慮蜂窩胞元壁板的伸縮變形，因此其公式帶有一定的誤差。Xia等[9]將蜂窩板各種等效方法進行計算并將計算結(jié)果進行了比較，但是卻沒有具體介紹等效方法。

為了快速準確分析蜂窩板材力學(xué)特性，本文提出了一種基于Hypermesh的鋪層等效有限元建模方法，其計算結(jié)果與目前常用有限元建模方法比較可知，該方法具有更高的效率且準確可靠。

1 蜂窩板的建模方法

1.1 蜂窩板結(jié)構(gòu)介紹

在大多數(shù)工程應(yīng)用中，蜂窩板是由上、下蒙皮和中間的蜂窩芯子構(gòu)成，蒙皮與芯子采用黏結(jié)劑進行連接。通常六邊形單胞構(gòu)成的周期性板是用來作為蜂窩板芯層，具體結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 蜂窩板結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 蜂窩板常用建模方法

目前，蜂窩板的有限元建模方法大致可分為兩種[10-11]：全實體建模方法和等效板建模方法。

(1) 全實體建模：其本質(zhì)是將蜂窩板按照實體模型建模，蒙皮、芯子等全部構(gòu)建，如圖2所示。

圖2 蜂窩板全實體建模

該方法對于單塊的蜂窩板件研究可以達到不錯的效果與精度，但是在實際工程應(yīng)用中，這樣的建模方法所耗費的計算資源與時間成本非常巨大。

(2) 等效板的建模：是目前使用最為廣泛的方法，其特點是將蜂窩板等效為一塊連續(xù)的各向同性/異性的板件，如圖3所示。

等效板建模雖然可以節(jié)省計算成本與時間，但在計算精度方面隨著階數(shù)的增加誤差會越來越明顯。另外，使用等效板方法建模只能得到宏觀的力學(xué)響應(yīng)結(jié)果，對于板件內(nèi)部的微觀性能是無法得到的(比如蒙皮與芯子的相互作用)，通常需要設(shè)計師的經(jīng)驗才能進行判斷。

圖3 等效板結(jié)構(gòu)示意圖

1.3 蜂窩板鋪層等效有限元模型建模

本文在前兩種建模方法的基礎(chǔ)上提出了鋪層等效有限元模型建模方法。其原理是：通過材料鋪層將蜂窩板等效為一種鋪層性質(zhì)的材料。不僅能實現(xiàn)層與層的共節(jié)點，而且還可以輸出層與層之間的響應(yīng)，如圖4所示。同時在分析過程中將胞壁縱向受載時的伸縮變形考慮在內(nèi)，使得結(jié)果更為精確。

圖4 鋪層等效示意圖

建立如圖5所示的理論模型，考慮蜂窩材料在橫向受載時的材料性質(zhì)，假設(shè)等效后的勻質(zhì)材料為均勻的單項拉伸狀態(tài)(見圖6)，可得

(1)

P=σ1(H+Lsinθ)b

(2)

式中：b為壁板寬度，通過彎曲理論，AB的撓度是

(3)

(4)

等效應(yīng)變?yōu)?/p>

(5)

(6)

等效泊松比μ1為

(7)

通過式(2)和式(5)可得橫向楊氏模量為

(8)

圖5 蜂窩胞元

圖6 蜂窩胞元的橫向變形

對于縱向受載時的力學(xué)特性分析(見圖7)，同樣假設(shè)等效后的勻質(zhì)材料為均勻的單項受力狀態(tài)，與橫向受載不同的是將BC段的伸縮變形考慮在內(nèi)，因此可得

(9)

W=Lσ2sinθ

(10)

由彎曲理論AB的撓度為

(11)

負載W引起壁板AB的伸長量為

(12)

BC的伸長量為

(13)

等效應(yīng)變?yōu)?/p>

(14)

(15)

等效泊松比μ2為

(16)

則縱向楊氏模量為

(17)

圖7 蜂窩胞元的縱向變形(考慮伸縮變形)

因此蜂窩材料參數(shù)為

(18)

對于a?1，可以有近似公式

(19)

在公式中可以注意到t2/L2是很小的，湖忽略高階無窮小量o(t2/L2)。對于正六邊形H=L,θ=π/6，式(18)可以簡化為

(20)

考慮蜂窩胞元壁板(BC段)的伸縮變形對于高精度工程應(yīng)用領(lǐng)域(如精編紡織機械、航天衛(wèi)星部分結(jié)構(gòu)等)效果比較明顯，因為這類設(shè)備通常前幾階模態(tài)以伸縮扭轉(zhuǎn)為主，而對于其他大型工程應(yīng)用領(lǐng)域(如工程機械、海洋平臺等)計算結(jié)果區(qū)別并不明顯。

將等效參數(shù)輸入鋪層等效模型中，獲得的計算結(jié)果相比于用實體網(wǎng)格建模的全實體建模方法，該方法計算規(guī)模得到大幅縮減。而相比于同樣采用Shell單元建模的等效板建模方法，該方法可使層與層之間的響應(yīng)輸出，準確性得到極大提高。蜂窩材料的鋪層等效有限元模型構(gòu)建方法能夠反應(yīng)板件的宏觀、微觀力學(xué)特性，但由于蜂窩芯層的等效層與原六邊形芯層有差異，因而不適用于胞元的微觀變形分析。

2 具體算例

以某衛(wèi)星的一塊長方形承重板為例進行計算。文中為證明鋪層等效有限元法效果，依據(jù)“全實體建模的蜂窩板與實際蜂窩板有極高的一致性”結(jié)論，特將蜂窩板全實體有限元模型計算結(jié)果作為進行比較的基準[12-14]。

該板具體示意圖，如圖8所示。長為250 mm，寬為200 mm，蜂窩板總厚度為15 mm，上下蒙皮厚度均為0.3 mm，正六邊形鋁制蜂窩胞元厚度為0.04 mm，邊長為4 mm。材料彈性模量72 GPa，密度2.8×103kg/m3，泊松比為0.3。

約束條件分別如下：

在計算模態(tài)時，AB與A1B1固支；

計算靜力分析時，A，B，C，D與A1，B1，C1，D1固定；

計算沖擊時A，B，C，D與A1，B1，C1，D1為載荷加載點。

圖8 算例示意圖

2.1 固有頻率計算結(jié)果

經(jīng)計算，可得蜂窩板固有頻率計算結(jié)果，如表1所示。模型前5階振型圖，如圖9所示。

分析圖9與表1可知，三種方法獲得的前5階振型基本一致。但鋪層等效法的第1、第2、第4、第5階誤差明顯要小于等效板(<5%)，第3階模態(tài)誤差有所增加，近5%。其誤差來自于兩個方面：①忽略膠黏層所帶來的影響增大；②由來自于殼單元與上、下蒙皮夾緊系統(tǒng)引起差異的邊界條件。此外，隨著頻率段的增大，誤差會逐漸明顯。為了更進一步體現(xiàn)誤差，在0～5 000 Hz范圍內(nèi)將計算結(jié)果進行比較，如圖10所示。從圖10可知，鋪層等效模型的計算結(jié)果是更加可靠。

表1 前5階固有頻率

2.2 靜力計算結(jié)果

(1)位移計算

選擇板的中心點作為位移參考點，(載荷為Fy=7.5g、Fz=1.2g)具體結(jié)果見表2。

分析表2的數(shù)據(jù)可知鋪層等效模型的計算結(jié)果相較于等效板精度有明顯提高，最大誤差為-3.1%，而等效板誤差最大達到6.25%。

(2) 應(yīng)力計算

選擇板的中心作為應(yīng)力參考點，具體結(jié)果見表3。

分析表3的數(shù)據(jù)可知鋪層等效模型的計算結(jié)果相較于等效板精度有明顯提高，但是由于等效過程中邊界條件的差異，絕對誤差仍達到了5.3%。

2.3 沖擊譜計算結(jié)果

沖擊響應(yīng)分析屬于峰值類的分析，一般只關(guān)注響應(yīng)的峰值是多少，所以設(shè)置的工況大多為極限工況，主要關(guān)注變化趨勢，其結(jié)果相當(dāng)保守。本算例沖擊加速度響應(yīng)譜為100～1 500 Hz是80g，1 500～5 000 Hz是2 000g，加載方向是y方向。分析比較板的最大位移輪廓以及應(yīng)力分布云圖，如圖11、圖12所示。

從圖中分析可知，面板的變形特性稍有差別，靠近夾層結(jié)構(gòu)邊緣處的位移偏差有所增加，原因是結(jié)構(gòu)邊緣主要反應(yīng)為蜂窩材料胞元的局部結(jié)構(gòu)特性對面板的影響。但是面板變形的總體一致性較好。應(yīng)力分布基本能夠相互對應(yīng)，在極限載荷工況下的沖擊響應(yīng)，應(yīng)力的大小不關(guān)注。另外，沖擊響應(yīng)是運用模態(tài)疊加法進行計算的，在高階頻段下模態(tài)頻率的誤差會越來越明顯，這樣的影響在沖擊響應(yīng)中會進一步體現(xiàn)[15]。

(a) 全實體有限元模型(b) 等效板有限元模型(c) 鋪層等效板有限元模型

圖9 前五階振型圖

Fig.9 Various shape modes

圖10 結(jié)果對比圖

參數(shù)/mm方法全實體蜂窩板等效板鋪層等效板Y方向0.033 890.035 130.033 15Z方向0.000 480.000 510.000 465 1Mag方向0.033 910.035 140.033 16最大誤差/%--6.25-3.1

表3 應(yīng)力計算結(jié)果

3 胞元尺寸與固有頻率函數(shù)關(guān)系

對于蜂窩板這類的多孔板材，其均勻程度對板件的力學(xué)性能有著重要的影響，需要保證足夠多的胞元數(shù)量以滿足均勻性要求。而胞元尺寸對胞元數(shù)量有著決定性影響[16]。目前大部分有關(guān)于蜂窩板優(yōu)化方面的文獻很少有將胞元尺寸作為參數(shù)變量。其原因是胞元尺寸作為參數(shù)有其特殊性，與一般的形狀變量不同，胞元尺寸的每一次改變都會牽涉到蜂窩芯子的重新布局，相當(dāng)于每一次迭代都需要重新建模[17-18]?，F(xiàn)有的有限元分析軟件很難做到這一點[19-20]。

(a) 全實體有限元模型(b) 等效板有限元模型

(c) 鋪層等效板有限元模型

基于鋪層等效有限元模型，將鋪層等效有限元模型的材料參數(shù)作為變量，由文獻[9]可知等效參數(shù)公式是線性可逆的，胞元尺寸的每一次變化都會帶動鋪層板材料參數(shù)的變化，由此可以間接的知道胞元尺寸與固有頻率之間的關(guān)系，為今后的蜂窩板優(yōu)化提供了參考依據(jù)。

頻率與多參數(shù)方程可以簡單地表示為

fi=f(h,l,t,tcell)i=1，2，3，4，5

(21)

(a) 全實體有限元模型(b) 等效板有限元模型

(c) 鋪層等效板有限元模型

圖12 沖擊響應(yīng)應(yīng)力云圖

Fig.12 Stress of shock response

式中：h為蜂窩芯子高度；l為胞元尺寸；t為蒙皮厚度；tcell為胞元厚度。

對式(21)進行全微分得到如下方程

(22)

式(22)可以近似地表達為

(23)

式(23)為蜂窩板固有頻率的變化是由蜂窩板內(nèi)部其中一個或多個參數(shù)變化的結(jié)果。本次僅針對胞元尺寸與固有頻率的關(guān)系，因此，保持其他參數(shù)不變，而胞元尺寸從l=1 mm到l=10.5 mm每隔0.5 mm取點進行計算，總共選取20個點，將計算結(jié)果導(dǎo)入MATLAB畫出關(guān)系圖并擬合出函數(shù)，如表4與圖13。

圖13 胞元厚度與頻率關(guān)系圖

參數(shù)常數(shù)項的確定依賴于一定區(qū)域范圍內(nèi)參數(shù)與頻率的關(guān)系式，對于同一范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)點可能不止一種函數(shù)關(guān)系表達式，但是這些函數(shù)表達式在這一區(qū)域所表達的參數(shù)意義是相同的，因此在確定參數(shù)范圍所導(dǎo)出的數(shù)據(jù)點以擬合的方程中只需要選擇形式簡便連續(xù)性好的方程即多項式形式。

表4 函數(shù)關(guān)系

根據(jù)圖13的計算結(jié)果可知在胞元尺寸增大的情況下，第1、第2階固有頻率變化并不明顯，從第3階開始，固有頻率的變化逐漸增大，第5階固有頻率初始變化最明顯，但是隨著尺寸的增大逐漸趨于平穩(wěn)?？傮w而言，胞元尺寸對第3、第4、第5階的固有頻率影響要大于對第1、第2階固有頻率的影響[21-24]，主要原因有兩方面：①對于有限元模型，網(wǎng)格劃分對計算頻率結(jié)果較敏感，因此不同的網(wǎng)格劃分方法會直接影響到計算頻率；②第1、第2階模態(tài)主要以彎曲變形為主，而第3、第4、第5階模態(tài)則以伸縮、扭轉(zhuǎn)為主，由前文分析考慮了蜂窩伸縮變形使得結(jié)果更精確，所以對于以伸縮、扭轉(zhuǎn)為主的第3、第4、第5階模態(tài)影響更大。

4 結(jié) 論

(1) 通過鋪層等效法獲得的模態(tài)分析、靜力分析和沖擊譜分析計算結(jié)果表明，與常用有限元建模方法相比，該方法能夠在保證計算效率的前提下最大限度地兼顧計算精度。

(2) 蜂窩胞元尺寸對各階模態(tài)固有頻率的影響程度主要取決于網(wǎng)格的劃分方法以及各階模態(tài)的振型，將胞壁伸縮變形考慮在內(nèi)使得結(jié)果更精確。

(3) 基于該鋪層等效有限元模型所建立蜂窩胞元尺寸與前5階模態(tài)頻率的函數(shù)關(guān)系，可直觀地反映出胞元尺寸對前五階固有頻率的影響程度，為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)。