郭文杰, 李天勻, 朱 翔, 林子欽

(1.華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074； 2. 華東交通大學 鐵路環(huán)境振動與噪聲教育部工程研究中心, 南昌 330013； 3.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240； 4.船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢 430074)

近水面有限長諧振動圓柱輻射聲波時，由于界面的反射作用，反射聲波會在結構表面發(fā)生剛性散射，而散射聲觸及界面又會形成回波，繼而在結構表面產(chǎn)生多次散射和在自由液面產(chǎn)生多次反射，并最終形成穩(wěn)態(tài)聲場。(反射是一種特殊的散射，因此該問題也稱之為互散射問題)

半空間結構聲振問題的研究多采用數(shù)值方法，尤其是邊界元方法運用最為廣泛。通過和鏡像原理的結合，即對三維聲學Helmholtz方程基本解的修正[1-3]，實現(xiàn)計及界面影響的耦合振動及聲輻射性能計算。鄒元杰等[4-5]基于有限元-邊界元耦合計算方法分析了自由液面和剛性壁面對水下方箱振動頻率的影響。此外邊界積分方法也是比較常用的方法，Liu等[6]應用邊界積分方法對半空間內(nèi)聲輻射和聲散射問題進行研究。類似于半空間邊界元方法的處理思路，Seybert等[7]通過修正Helmholtz方程基本解來消除無窮邊界積分的難點，并將邊界積分方法推廣到1/4空間域。

對于半空間問題的解析方法研究較少，且研究的結構較為簡單，多為球或者二維圓柱。由于輻射聲和散射聲數(shù)學表達式的相似性，多數(shù)文獻將其統(tǒng)一表示，并不加以區(qū)分。基于鏡像原理，反射聲均可認為由虛源發(fā)出，故將所有輻射聲和散射聲及其反射聲分為兩類，即實源聲和虛源聲。依照此類思路，Huang等[8-9]研究了平面波入射下半空間球殼和二維圓柱的散射聲場，Hasheminejad等[10-11]開展了有限空間簡諧振動二維圓柱的聲學特性研究工作。Avital等[12]通過施加分布載荷來控制結構振動從而改變半空間球殼的散射聲場，即從主動控制的角度出發(fā)來進行減振降噪。

此外也有學者將聲波分為四類：①實源彈性輻射聲；②實源剛性散射聲；③虛源彈性輻射聲；④虛源剛性散射聲。白振國等[13]由此建立了有限水深環(huán)境中二維圓柱殼的振動聲學物理模型，考慮了散射聲的影響并探討了潛深對聲場分布和衰減特性的影響規(guī)律；以白振國的模型為基礎，張林根等[14]建立了近水面雙二維圓柱殼聲散射模型，并對片體間的相互聲遮擋問題進行分析。由于劃分聲波時區(qū)分了輻射和散射的成分，有利于研究互散射效應與浸沒深度的關系，這對研究有限域聲學問題中關于結構與界面的互散射問題有重要意義。

目前多數(shù)文獻[15-16]在分析有限半空間或波導環(huán)境目標散射問題時，通常都要忽略目標與邊界的互散射(稱之為單體散射模型)，比如文獻[17]提到目標應不十分靠近波導邊界時才可忽略目標與邊界的互散射。因此究竟浸沒深度是如何影響目標與邊界的互散射，以及頻率是否也是影響因素均值得深入研究。

此外，對于有限長圓柱結構，由于結構軸向有限而流體域軸向是無限的，難以得到聲壓的解析表達式，因此半空間有限長圓柱簡諧振動時聲場的解析研究尚屬空白。本文通過傅里葉變換，將軸向坐標變換為波數(shù)域，易于得到聲壓的波數(shù)域表達式，并由此可通過傅里葉逆變換及穩(wěn)相法推導出遠場聲壓的表達式，實現(xiàn)了此類問題的解析求解。此外，本文方法是考慮了聲波在結構表面與自由液面之間的互散射效應，即使靠近液面，計算結果也是準確可靠的。

1 理論分析

圓柱長度為L，半徑為R，浸沒深度為H。取圓柱正中心點為坐標原點O，對應直角坐標(x,y,z)以及柱坐標系(x,r,φ)，其中x表示軸向，r表示徑向，φ為周向角(與y軸夾角)。P點為空間任意觀測點，定義在球坐標(R0,θ,φ)下，其中R0為距離坐標原點距離，θ為觀測角(OP向量與x軸空間夾角)，如圖1所示。

圖1 模型及坐標系

由于自由液面的存在，可以借鑒鏡像原理進行分析，所有反射聲可認為由虛源發(fā)出。虛源坐標系(x′,f′,φ′)與實源坐標系關于自由液面對稱，如圖2所示。

圖2 鏡像原理坐標系

本文采用傅里葉變換方法，將軸向x變換到波數(shù)域，構建新的壁面連續(xù)條件(因為結構在軸向有限但流體在軸向無限，為建立結構表面振速與流體在其表面速度的連續(xù)條件，需要假設圓柱兩端有兩個半無限長聲障柱)，再進行逆變換即可求得聲壓表達式。

定義傅里葉變換及逆變換如下形式

(1)

1.1 模型一

聲壓可劃分為實源聲壓Pr和虛源聲壓Pi，根據(jù)分離變量法，實源聲壓可以表示為

(2)

波數(shù)域流體聲壓滿足Helmholtz方程

(3)

由式(3)可得到實源傅氏聲壓如式(4)的解

(4)

同理，虛源傅氏聲壓可以表示為

(5)

Bn(k)=-A-n(k)

(6)

為實現(xiàn)耦合方程的解析求解，需要將虛源聲壓由虛源坐標系遷移到實源坐標系。根據(jù)柱貝塞爾函數(shù)的Graf加法原理[18]可實現(xiàn)坐標遷移

(7)

式中：Jn()為第n階第一類貝塞爾函數(shù)。

對于諧振動圓柱，徑向位移有如下形式

(8)

同理將結構徑向位移w變換到波數(shù)域，有

(9)

對于脈動振動，若脈動速度為v0，由于是簡諧振動，速度幅值為位移幅值的倍，則

(10)

根據(jù)壁面處連續(xù)條件，變換到波數(shù)域，有

(11)

式中：ρf為流體密度。

將虛源傅氏聲壓遷移到實源坐標系下，因為r=R<2H，有

(12)

交換積分順序后

(13)

(14)

通過傅里葉逆變換即可求出任意場點聲壓

(15)

對于遠場聲壓，可以采用穩(wěn)相法求解。穩(wěn)相法是一種采用穩(wěn)定相位點將無窮積分化簡為簡單的線性運算的數(shù)學方法，常用于物理學波場的無窮積分運算中。穩(wěn)相法廣泛的應用于聲波[19]、光波[20]、電磁波[21]等相關問題的研究，適用條件是高頻或遠場。因為本文研究的是遠場聲輻射，因此穩(wěn)相法也是適用的。限于篇幅，本文略去詳細推導過程，直接給出球坐標系下聲壓表達式

(16)

式中：{An(kfcosθ)}可由式(14)求得。

1.2 模型二

(17)

式中：{En(k)}和{Fn(k)}可根據(jù)自由液面聲壓為零條件由{Cn(k)}和{Dn(k)}進行替換，如式(6)。

對于模型二，入射聲Pinc可認為是由虛源發(fā)出，即

(18)

剛性散射聲和入射聲在結構表面處滿足剛性散射條件，在波數(shù)域表示為

(19)

由上式可以得到聲壓幅值向量{Cn(k)}和{Dn(k)}之間的轉(zhuǎn)換關系

{Dn(k)}=[Link]{Cn(k)}

(20)

其中[Link]為輻射聲壓幅值和散射聲壓幅值的遷移矩陣。

再根據(jù)彈性輻射條件

(21)

正交化處理后可以得到

(21)

同理可以根據(jù)穩(wěn)相法求出四類聲壓表達式，形式如式(16)。代入Cn(kfcosθ)和Dn(kfcosθ)具體結果可以求出遠場四類聲壓值。

2 數(shù)值計算

計算模型參數(shù)：圓柱總長L=1 m，半徑R=0.2 m，流體密度ρf=1 025 kg/m3，流體聲速cf=1 500 m/s。

2.1 收斂性分析

從式(14)和式(16)可知，要使得數(shù)值計算成為可能，需要對周向展開項數(shù)進行有限截斷，因此需要對其進行收斂性分析。假設計算模型脈動速度10-6m/s，計算了R0=1 000 m，θ=π/3和φ=π/6時聲壓級隨頻率以及浸沒深度的變化規(guī)律，如圖3所示。

(a) f=200 Hz(b) f=500 Hz(c) f=1 250 Hz

圖3 聲壓級收斂性分析

Fig.3 The convergence curves of the sound pressure level

從圖3可知， 隨著截斷數(shù)N的增大，聲壓級均會趨于收斂。但是N取值大小與浸沒深度H以及激勵頻率f有關。

此外，通過大量的試算發(fā)現(xiàn)截斷項數(shù)N近似的與激勵頻率f和浸沒深度H的乘積相關，具體的規(guī)律，如表1所示。

表1 需要的截斷項數(shù)N

2.2 準確性驗證

前文提及邊界元方法可通過修正Helmholtz方程基本解進行半空間聲學分析。因此，本文通過對比模方法準確性。半空間邊界元方法基本思路如下。

Helmholtz半空間積分方程如下所示

(23)

取浸沒深度H=4R、頻率f=100 Hz和浸沒深度H=2R、頻率f=1 000 Hz兩組工況，圓柱殼表面為脈動速度(表面法向速度均為10-6m/s)，觀測點半徑R0=1 000 m，觀測角θ=π/4，周向角φ取-π/2～π/2。兩類方法下計算結果對比，如圖4所示。定義聲壓級SPL=20lg(|P|/P0)，單位dB，其中|P|為聲壓絕對值，P0=10-6Pa。

圖4 本文方法和BEM計算結果對比

由圖4可知，本文方法和邊界元方法計算的聲壓指向性曲線吻合的很好，說明本文方法準確可靠。

2.3 兩類模型統(tǒng)一性分析

為定量說明這個問題，取浸沒深度H=2R和4R，頻率f分別為100 Hz和1 000 Hz的脈動圓柱(表面法向速度均為10-6m/s)，計算兩類模型在球坐標系(1 000，π/2，0)處場點的總聲壓。

從表2可知，模型一和模型二計算的總聲壓級一致，這也驗證了兩類模型本質(zhì)是相同的。從公式推導可知，將所有速度連續(xù)條件或者剛性散射條件相加，都可以得到總聲壓引起的法向速度和結構表面法向速度相等這個條件。從物理意義上講，模型二是將聲壓的彈性與剛性部分拆分。聲波的兩類劃分方式本質(zhì)是一樣的，但是后者由于劃分的更為細致，區(qū)分了輻射和散射的成分，有利于研究不同工況下結構與自由液面之間的互散射效應。

表2 兩類模型總聲壓級對比

2.4 散射聲與輻射聲分析

對于給定的結構尺寸以及速度分布形式，聲場散射聲和輻射聲與浸沒深度以及頻率有關?？梢圆捎媚Ｐ投治龃祟悊栴}，將實源散射聲和其反射聲之和定義為總散射聲壓Ps，將輻射聲和其反射聲之和定義為總輻射聲壓Pe，總聲壓Pt=Pe+Ps，聲場中總散射聲壓Ps相比總輻射聲壓Pe越大，互散射效應越顯著。

模型參數(shù)和速度分布不變，為使計算結果盡量與模型尺度無關，頻率和浸沒深度均無量綱化，定義無量綱頻率為kfR，無量綱浸沒深度為H/R。分別取kfR=0.1、0.5、2.5，H/R=1.25、5、20共9組工況，分析聲壓Ps、Pe、Pt的指向性。聲場觀測點：R0=1 000 m，觀測角θ=π/4，周向角φ取-π/2～π/2，如圖5所示。

由圖5可知，頻率一定時，隨著浸沒深度的增大，各類聲壓指向性圖分瓣(極大值)越多；浸沒深度一定時，隨著頻率增大，分瓣越多。這是因為虛源和實源聲壓在遠場疊加會發(fā)生干涉，以兩振幅相同而振動相位相反的脈動小球源為例[22]，中垂線即相當于自由液面(聲壓為零)。由激勵頻率和兩球距離的乘積決定其指向性(分瓣特征)，而且乘積越大，分瓣越顯著。

從圖5還可知，盡管整體上輻射聲量級明顯大于散射聲，但在浸沒深度較小時(H/R=1.25)，散射聲對聲場的影響不可忽視，當浸沒深度較大時(H/R=20)，散射聲對聲場幾乎沒有影響。此外，同一浸沒深度下(比如H/R=5)，頻率越低，散射聲對聲場影響越?。活l率越高，散射聲影響越大。

為進一步研究浸沒深度如何影響場點聲壓，取模型參數(shù)和速度分布不變，場點位于球坐標系(1 000，π/2，0)處，分別取頻率kfR=0.25、0.5、1和2，H/R從1取到20，分析總散射聲Ps、總輻射聲Pe、總聲壓Pt的聲壓級曲線隨浸沒深度的變化規(guī)律，如圖6所示。

由圖6可知，由于自由液面的存在使聲波與其反射聲發(fā)生干涉，出現(xiàn)類偶極子效應。若將問題簡化為點源問題，在場點(1 000，π/2，0)處，虛、實源輻射聲波的波程差為2H，若波程差為聲波波長整數(shù)倍則聲壓趨于零，即kfH為π的整數(shù)倍時出現(xiàn)谷值，總輻射聲壓隨浸沒深度增大呈周期變化(無衰減)。散射聲波也以相同的周期波動，不同的是，總散射聲壓隨浸沒深度增大而波動衰減，并且谷值點與總輻射聲不同，存在相位差。這是因為散射聲產(chǎn)生的根源是輻射聲受到液面的反射而后作用到結構表面，因此散射聲與輻射聲相位并不一致，此外距離自由液面越遠，虛源輻射聲到達結構表面時量級越小，但是由于散射聲也有干涉效應，因此是波動衰減。

此外，通過圖6還可知，一方面在結構貼近自由液面時(H/R<2)，散射聲相對量級比較大，互散射效應比較強烈。另一方面無量綱頻率較低時，散射聲隨浸沒深度增大衰減得很快，比如kfR=0.25時，浸沒深度超過5倍半徑以后總輻射聲曲線與總聲壓曲線貼合得很好，散射聲的影響幾乎可以忽略，這與圖4結論是一致的。

圖5 散射聲、輻射聲、總聲壓指向性曲線

圖6 散射聲、輻射聲、總聲壓隨浸沒深度變化曲線

水下結構輻射噪聲時，高頻聲波由于波長較短，極容易受海洋環(huán)境影響而迅速衰減，因此本文主要針對低頻互散射效應進行分析。定義指針互散射效應的參數(shù)η=|Ps/Pe|，當η<0.05時聲場中散射聲成分很少，認為互散射效應可以忽略。

取模型參數(shù)同上，場點處于(1 000，π/4，π/4)，分別取頻率f=30 Hz、100 Hz、300 Hz(無量綱頻率0.251)，計算互散射因子隨無量綱浸沒深度變化規(guī)律。

圖7 不同頻率下互散射效應因子隨浸沒深度變化曲線

Fig.7 Curves of the mutual scattering effect factors with the immersion depth change at different frequencies

從圖7可知，隨著浸沒深度的增大，互散射因子很快降至<0.05以內(nèi)，而且頻率越低，互散射效應衰減得越快。當頻率為30 Hz時，浸沒深度>3.2倍半徑散射效應可忽略不計；當頻率為100 Hz時，浸沒深度>3.4倍半徑散射效應可以忽略不計；當頻率為300 Hz時，這一數(shù)據(jù)則為4.1倍半徑。因此對于低頻問題，浸沒深度在5倍半徑以后，互散射效應可以忽略。

3 結 論

本文建立了半空間有限長脈動圓柱殼的兩類數(shù)學物理模型，提出了其遠場聲壓求解的解析方法。通過解析方法辨析研究了兩類數(shù)學物理模型的異同，同時針對模型二開展了互散射效應研究，具體結論如下：

(1) 兩類數(shù)學物理模型本質(zhì)是一樣的，但是后者區(qū)分了輻射和散射的成分，可針對互散射效應進行研究。

(2) 由于自由液面會帶來類偶極子效應，隨著浸沒深度或者頻率的增大，遠場聲壓指向性圖分瓣越多；場點的輻射聲、散射聲均會隨浸沒深度增大呈周期波動，但是散射聲會波動衰減。

(3) 浸沒深度<2倍半徑時，互散射效應很強烈，散射聲不可忽略。此外，頻率較低時，浸沒深度>5倍半徑以后，互散射效應可以忽略。