孫琴風(fēng)

摘要：數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基本研究對(duì)象，如果在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中缺乏數(shù)形結(jié)合，那么對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知必然出現(xiàn)問題，數(shù)學(xué)思想方法也無法形成有效記憶。新課程標(biāo)準(zhǔn)開始實(shí)施之后，教師需要逐步地轉(zhuǎn)變思想觀念，重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，從解決問題的過程中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升專業(yè)素養(yǎng)。所以本次研究的核心問題也在于如何幫助小學(xué)教師通過數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用來促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，提升學(xué)生的主動(dòng)性與積極性。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；應(yīng)用研究

0.引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出了數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于讓學(xué)生獲取適應(yīng)生活和發(fā)展所需要具備的數(shù)學(xué)知識(shí)與應(yīng)用技能，這也充分說明了數(shù)學(xué)思想方法的重要性。一直以來，課程教學(xué)重視雙基的局面普遍存在，如何轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)也成為了主要的教學(xué)目標(biāo)。旨在讓學(xué)生通過體驗(yàn)和感知讓他們獲取記憶，更好地處理數(shù)學(xué)元素之間的關(guān)系。

1.數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵與特征

1.1 內(nèi)涵

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科來說，概念建立在幾何學(xué)的模式之上，數(shù)形結(jié)合可以被理解為是將數(shù)量關(guān)系與圖形連接并對(duì)應(yīng)起來的一種模式，并借助圖形來研究數(shù)學(xué)思想方法的措施，讓抽象的數(shù)學(xué)概念變得更加具體，將復(fù)雜的問題簡單化。這兩種概念相互獨(dú)立，相互統(tǒng)一，包含“以形助數(shù)”與“以數(shù)解形”兩個(gè)方面，借助于圖形的生動(dòng)性與數(shù)據(jù)的精確性特征，來解決難以解決的數(shù)學(xué)問題。但是在實(shí)際的教學(xué)工作中，主要研究方向仍然偏向于如何融入思想方法與解題應(yīng)用，在未來的研究工作中，還應(yīng)該分析如何在運(yùn)用過程中選擇合理的方法和策略。

1.2 特征

由于在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，很多數(shù)量關(guān)系的表現(xiàn)形式非常抽象，學(xué)生在理解時(shí)的難度較大，而數(shù)形結(jié)合思想就可以將一些復(fù)雜的問題濟(jì)寧簡化，例如將抽象的代數(shù)語言轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形，這也是數(shù)學(xué)教師重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的能力。如百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中就可以借助線段圖還分析數(shù)量關(guān)系。在實(shí)際的解題過程中，小學(xué)生由于自身的能力差異，很容易將一些內(nèi)容混淆或遺漏，此時(shí)也需要借助數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢來分析數(shù)學(xué)信息的性質(zhì)與幾何意義，分析圖形中所包含的內(nèi)部條件，利用量化，在數(shù)的精確性與合理性支持下，通過圖形來彌補(bǔ)抽象思維的缺陷，讓思維模式更加嚴(yán)謹(jǐn)。

2.數(shù)形結(jié)合教學(xué)的功能

2.1 提升解決問題的有效性

在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，教師可以通過數(shù)形結(jié)合思想來引導(dǎo)學(xué)生將靜態(tài)的思維方式轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的思維方式，將其視作是相同事物在不同時(shí)間段的位置差異，以培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力，更好地理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)[1]。例如下題。

某平行四邊形與梯形的高都是5cm，梯形上底和平行四邊形的底為10cm，梯形上底比下底少3cm，那么梯形的面積比平行四邊形的面積多多少平方厘米？

一般情況下，多數(shù)學(xué)生在解決這一問題時(shí)，都會(huì)先計(jì)算出梯形的面積與平行四邊形的面積。梯形面積為：（10+10+3）×5÷2=57.5，平行四邊形的面積為10×5=50，所以兩者之間的差異為57.5-50=7.5，單位為平方厘米。雖然這種解題方法沒有任何錯(cuò)誤，但是所耗費(fèi)的時(shí)間相對(duì)較長。如果我們利用數(shù)形結(jié)合的思想，在解體過程中進(jìn)行繪圖，就可以通過簡單的步驟獲取結(jié)果，例如下圖所示。

實(shí)際上，我們不難看出，利用圖形進(jìn)行描述之后，梯形面積比平行四邊形面積多出來的部分即為部分的直角三角形，三角形的底為3cm，高為5cm，因此這一部分的面積為3×5÷2=7.5平方厘米。可以看出用圖形表示數(shù)量關(guān)系時(shí)能夠更加清晰直觀，也能簡化運(yùn)算步驟，降低解題難度，激發(fā)學(xué)生的思維能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)當(dāng)中，也會(huì)有相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，數(shù)形結(jié)合教學(xué)功能也在這一時(shí)刻得到了發(fā)揮。

2.2 強(qiáng)化知識(shí)結(jié)構(gòu)

小學(xué)階段是積累知識(shí)并強(qiáng)化知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要階段，學(xué)生在這階段的學(xué)習(xí)過程中會(huì)接觸到從平面圖形向立體圖形的過渡。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多學(xué)生在形體知識(shí)的使用上存在著明顯缺陷，但其實(shí)只要能根據(jù)題目要求繪制出圖形，就能快速地幫助學(xué)生了了解圖形的特征。例如在學(xué)習(xí)到長方體與正方體的相關(guān)知識(shí)時(shí)，就可以加以利用。例如：

一個(gè)長方體在高增加2cm的同時(shí)，表面積增加了56平方厘米，求原長方體的體積是多少？

雖然學(xué)生對(duì)于長方體的體積計(jì)算與表面積的計(jì)算公式已經(jīng)非常熟練，但是在問題的解決過程中仍然會(huì)感到迷茫，無法有效辨別去尋找長方體的長、寬、高，無從下手。所以，應(yīng)該讓學(xué)生根據(jù)要求畫出相關(guān)圖形，就可以利用圖形和數(shù)據(jù)進(jìn)行思考。例如下圖。

根據(jù)圖中說明，我們可以得到的信息就變得更多了。在表面積計(jì)算方面，額外增加的長方體四個(gè)面都是相同面積的長方形，其寬為2cm，面積總和為56平方厘米，我們根據(jù)這一條件可以計(jì)算出單獨(dú)一個(gè)面的面積為14平方厘米，所以長為7cm，原長方形的高為7-2=5cm，因此體積為：7×7×5=245立方厘米?？梢钥吹?，在充分利用圖形后，問題變得非常簡單，學(xué)生也可以快速地尋找出問題的解決方法。雖然這道例題具有抽象性，但將其轉(zhuǎn)化為圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想，就能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的理解，直接利用長方體的表面積與體積計(jì)算公式來得出最終結(jié)果，其效果也更加顯著。

2.3 激發(fā)思維能力

在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，數(shù)形結(jié)合思想的重要價(jià)值在于讓學(xué)生具備數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握能力，重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)解決問題的能力，將數(shù)學(xué)課程充滿樂趣，豐富課堂內(nèi)容與課堂規(guī)劃。新課程標(biāo)準(zhǔn)改革之下，課標(biāo)由以前的雙基變?yōu)樗幕?，其中的變化在于?shù)學(xué)思想的地位得到了穩(wěn)定提升。在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)當(dāng)中，數(shù)學(xué)思想并不是主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，但是在現(xiàn)代教學(xué)過程中，需要大膽地將其作為主流教學(xué)內(nèi)容，讓教師引導(dǎo)學(xué)生展開知識(shí)教學(xué)工作。換言之，教育不應(yīng)該只注重眼前的利益，而應(yīng)該注重思維能力的發(fā)展與學(xué)習(xí)能力的提升[2]。即便是以后學(xué)生進(jìn)入初中、高中，數(shù)形結(jié)合也可以將代數(shù)問題幾何化；集合問題代數(shù)化。比如在求空間立體幾何以及圓錐曲線的時(shí)候我們往往會(huì)建立空間或平面直角坐標(biāo)系。這其實(shí)就是集合問題代數(shù)化。這樣計(jì)算大大降低了難度。而代數(shù)問題集合化則可聯(lián)想到函數(shù)、向量等。

3.小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的教學(xué)應(yīng)用現(xiàn)狀

面對(duì)新課標(biāo)的要求，傳統(tǒng)的雙基局面被打破，作為教師也需要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，重視思想方法的教學(xué)。為了了解教學(xué)現(xiàn)狀，對(duì)我市X學(xué)校的小學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了問卷調(diào)查，深入了解教學(xué)過程中數(shù)形結(jié)合的相關(guān)內(nèi)容，以便于更好地展開研究工作。從教師的年齡與職稱來看，基本都是具備5年以上經(jīng)驗(yàn)的高級(jí)教師，說明教師具備足夠的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與教育能力。從問卷調(diào)查的問題來看，主要集中于幾個(gè)不同方面，即數(shù)形結(jié)合的思想觀念、數(shù)學(xué)思想方法分析、課后練習(xí)與數(shù)形結(jié)合思想、學(xué)生態(tài)度等。從問卷結(jié)果來看，大多數(shù)教師都能在教學(xué)過程中涉及到數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容，也愿意主動(dòng)地利用這一思想方法展開教學(xué)，但是實(shí)際情況下利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行方法教學(xué)的情況并不顯著，這說明教師尚未對(duì)數(shù)形結(jié)合形成系統(tǒng)化理解，對(duì)于方法教學(xué)的重視程度還有待提升[3]。另一方面，如果教師對(duì)數(shù)形結(jié)合的掌握程度非常熟練，也會(huì)在教學(xué)過程中進(jìn)行使用，讓學(xué)生更好地體會(huì)這些思想方法的優(yōu)越性。所以從問卷調(diào)查的結(jié)果來看，教師還不熟悉如何利用數(shù)形結(jié)合思想更好地引導(dǎo)學(xué)生，對(duì)于這一方面的研究具有顯著的教學(xué)價(jià)值。

從學(xué)生的角度來看，學(xué)生在分析數(shù)量關(guān)系的過程中，也更傾向于直接進(jìn)行問題思考，而不是通過圖形來分析解決問題。隨著時(shí)代的發(fā)展，教育教學(xué)模式也會(huì)有新的發(fā)展理念，如何讓學(xué)生養(yǎng)成良好的習(xí)慣，掌握正確的數(shù)學(xué)思想方法，也成為了當(dāng)前教學(xué)的重點(diǎn)，學(xué)生也應(yīng)該適當(dāng)調(diào)整自己的學(xué)習(xí)方式。

4.數(shù)形結(jié)合的教學(xué)應(yīng)用策略分析

4.1 以形助數(shù)

以形助數(shù)的模式在代數(shù)領(lǐng)域中得到了廣泛使用，能夠讓學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解更加深刻，并掌握正確的學(xué)習(xí)方法。例如在學(xué)習(xí)到分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，在學(xué)生掌握了分?jǐn)?shù)單位與分?jǐn)?shù)計(jì)算模式的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生了解真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的特征，從而讓學(xué)生更好地進(jìn)行理解和掌握，了解真分?jǐn)?shù)小于1，假分?jǐn)?shù)大于等于1的基本原則，便于對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行概括。在教學(xué)過程中，可以通過繪制正方形的方式鞏固分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)感性認(rèn)識(shí)，并且啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，比較分子、分母之間的數(shù)量關(guān)系。此外，通過數(shù)軸也同樣能達(dá)到這一目標(biāo)，利用數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生比較真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)和1之間的關(guān)系，結(jié)合具體情境展開思考。這樣一來學(xué)生也不會(huì)死記硬背地區(qū)理解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，符合小學(xué)生的思維特征，以形象直觀的思維為主，逐步地從抽象邏輯思維能力方面展開過度，充分理解在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用[4]。

當(dāng)然，圖形與幾何之間的關(guān)系同樣密切，空間形式可以用圖像、曲線、數(shù)量關(guān)系等進(jìn)行表述，這些數(shù)學(xué)語言共同構(gòu)建了數(shù)學(xué)的抽象特征，并從中尋找合理表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系。例如前文提到過的三角形面積計(jì)算方案，將其轉(zhuǎn)化為多邊形的面積計(jì)算方式，然后從引導(dǎo)中進(jìn)行指導(dǎo)，教師通過巡視指導(dǎo)的方案來讓學(xué)生掌握面積的計(jì)算方法。在此案例之中，抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)合，利用“形”將抽象的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，讓學(xué)生主動(dòng)參與到思考的過程當(dāng)中，培養(yǎng)其空間感與邏輯分析能力。在未來的幾何領(lǐng)域房中，也能夠利用這一思想更好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念，如公式定理等[5]。

4.2 以數(shù)解形

以下題為例。

一個(gè)邊長20cm的正方形，如圖所示，圖中兩個(gè)直角梯形的高相等，但面積相差了10平方厘米，那么圖中A的長度為多少cm？

在思考過程中，我們可以將問題轉(zhuǎn)化成為圖形來進(jìn)行解決，而利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行思考，問題也可以變得迎刃而解。可以看到，兩個(gè)直角梯形的面積相差10平方厘米，但是底有共同的一條底，高相同，則差的那一部分底也就是我們需要計(jì)算的A邊長度。所以，可以通過增設(shè)輔助線的方式，來將其轉(zhuǎn)化為三角形面積的計(jì)算方式，三角形面積為10平方厘米，高為5cm，所以A邊即為三角形的底，所以A長度為：10×2÷（10÷2），結(jié)果為4cm。從這一案例當(dāng)中，體現(xiàn)了以數(shù)解形的思想，按照圖形結(jié)構(gòu)關(guān)系特征尋找到了恰當(dāng)?shù)慕怏w方式，將代數(shù)的算法進(jìn)行優(yōu)勢化處理，將抽象的數(shù)以直觀清晰的幾何圖形來分析題目所給的條件，讓學(xué)生的思維能力得到了有效鍛煉。

在統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識(shí)當(dāng)中，也有著數(shù)形結(jié)合思想的用武之地。例如兩幅統(tǒng)計(jì)圖選擇了不同的縱軸單位，可以更好地了解數(shù)據(jù)的變化趨勢，也能了解在統(tǒng)計(jì)概率的相關(guān)知識(shí)當(dāng)中應(yīng)該注重對(duì)數(shù)據(jù)的分析，對(duì)“數(shù)”進(jìn)行的針對(duì)性研究。如果僅僅只有形而沒有數(shù)，那么無法發(fā)揮形的生動(dòng)性，也無法體現(xiàn)數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性，無法做到揚(yáng)長避短[6]。在未來的綜合實(shí)踐工作當(dāng)中，教師也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生更細(xì)致地區(qū)觀察形，從中獲取需要的數(shù)據(jù)信息，將其進(jìn)行結(jié)合分析，才能更準(zhǔn)確地去看待問題。換言之，對(duì)于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)思想方法并不是短期內(nèi)能夠形成的能力，就像游泳一樣，需要有一套系統(tǒng)化的游泳技巧訓(xùn)練，才能在水中避免被水淹沒，通力，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)也應(yīng)在潛移默化中進(jìn)行積累，以提升學(xué)生素養(yǎng)為根本目的，達(dá)到提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有效性的重要目標(biāo)。

5.結(jié)語

數(shù)形結(jié)合思想作為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的重要思想，在教材內(nèi)容中涉及到了多個(gè)方面，對(duì)于教師來說也需要深入分析教材，充分掌握屬性結(jié)合的思想。從實(shí)際的教學(xué)工作來看，需要更加具有針對(duì)性，以提升學(xué)生的邏輯思維能力與教師自身發(fā)展作為主要目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)共同進(jìn)步。本文首先針對(duì)數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵與特征展開了分析，并從其功能性過渡到現(xiàn)階段的教學(xué)現(xiàn)狀，最終以實(shí)際的教學(xué)現(xiàn)狀分析了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用策略，旨在讓教師對(duì)其有更加深刻的認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，更好地貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)要求，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)能力穩(wěn)定提升，具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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