肖占魁

摘要：本文以《高等代數(shù)》中的多項(xiàng)式為例，探討突出數(shù)學(xué)思維方式，特別是代數(shù)學(xué)思維方式的教學(xué)設(shè)計(jì)。以中學(xué)知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，以多項(xiàng)式分解為目標(biāo)將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)體系化。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；數(shù)學(xué)思維；多項(xiàng)式

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）49-0067-02

一、引言

《高等代數(shù)》是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)在一年級(jí)開設(shè)的核心基礎(chǔ)學(xué)位課之一，與《數(shù)學(xué)分析》一起構(gòu)成了整個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)體系的基石。然而這兩門課具有知識(shí)點(diǎn)多、難度大、要求高等特點(diǎn)，從我們的實(shí)際教學(xué)效果來(lái)看，很多同學(xué)都是從這兩門課開始恐懼?jǐn)?shù)學(xué)的。為提高教學(xué)質(zhì)量，當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)趨勢(shì)就是以中學(xué)知識(shí)點(diǎn)和實(shí)際例子出發(fā)，用數(shù)學(xué)思維循序漸進(jìn)地推進(jìn)知識(shí)點(diǎn)，最終形成知識(shí)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)體系。這樣便于學(xué)生在初學(xué)時(shí)有熟悉感和自信心，在知識(shí)點(diǎn)的推進(jìn)過(guò)程中又有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力。

“代數(shù)學(xué)是研究代數(shù)對(duì)象的結(jié)構(gòu)理論與表示理論的一門學(xué)科”[1]。這里結(jié)構(gòu)理論我們理解為以分類與分解兩種方式呈現(xiàn)出來(lái)，而表示理論更傾向于工具，即用一些簡(jiǎn)單的、熟悉的代數(shù)對(duì)象反映出復(fù)雜代數(shù)對(duì)象的某些性質(zhì)。本文以多項(xiàng)式為例說(shuō)明我們是如何突出數(shù)學(xué)思維來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)方案的。

二、針對(duì)多項(xiàng)式的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.知識(shí)點(diǎn)的引入。中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)是二次多項(xiàng)式的根的分布（稱為韋達(dá)公式），等價(jià)的描述就是將一個(gè)二次多項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的乘積。因此教學(xué)中明確告訴學(xué)生我們的目標(biāo)就設(shè)定為如何把一個(gè)n次多項(xiàng)式的根全部找到，或者說(shuō)如何將它分解成一次因式的乘積。由于實(shí)二次多項(xiàng)式可能有一對(duì)共軛的復(fù)根，因此這個(gè)問題的解答必定涉及到具體的數(shù)域。

2.建立運(yùn)算。數(shù)域F上的多項(xiàng)式全體F[x]是我們現(xiàn)在需要研究的代數(shù)對(duì)象，由于“代數(shù)對(duì)象是在一個(gè)集合上定義若干運(yùn)算，且滿足若干公理所構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)”[1]，所以多項(xiàng)式作為研究的目標(biāo)對(duì)象，我們首先要考慮其上的運(yùn)算規(guī)則。多項(xiàng)式集合F[x]關(guān)于加法和數(shù)乘構(gòu)成一個(gè)線性空間，然后引入乘法構(gòu)成一個(gè)F-代數(shù)；這樣就自然的引出一個(gè)問題：除法如何推廣？

結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)的具體例子，這個(gè)問題有兩條解決途徑。一是直接定義除法為乘法的逆運(yùn)算，即設(shè)f（x），g（x）∈F[x]如果f（x）g（x）=1，那么f（x）稱為g（x）的逆。容易計(jì)算得到f（x），g（x）都是非零常數(shù)，所以為了運(yùn)算的封閉性，我們以整數(shù)集合為模板做適當(dāng)調(diào)整，這樣就引入了第二種途徑：稱f（x）除以g（x），或g（x）整除f（x），如果存在h（x）∈F[x]使得f（x）=h（x）g（x）。到這里我們就可以詳細(xì)介紹帶余除法了，根據(jù)學(xué)生能力情況，如需為后續(xù)《近世代數(shù)》的學(xué)習(xí)做一些鋪墊時(shí)，強(qiáng)調(diào)帶余除法與數(shù)域的擴(kuò)大無(wú)關(guān)，把帶余除法抽象成公理可以定義歐式整環(huán)。

3.不可約多項(xiàng)式的出現(xiàn)與應(yīng)用。我們已經(jīng)知道求多項(xiàng)式的根或者說(shuō)多項(xiàng)式的因式分解依賴于具體的數(shù)域，當(dāng)固定一個(gè)數(shù)域F時(shí)，自然需要考慮這樣的多項(xiàng)式，它或者在F中沒有根，或者在F[x]中不可分解為兩個(gè)次數(shù)更小的多項(xiàng)式的乘積（不妨稱為不可分解）。通過(guò)介紹余數(shù)定理可得a∈F是f（x）的根當(dāng)且僅當(dāng)（x-a）整除f（x），所以我們可以發(fā)現(xiàn)f（x）在F中沒有根與在F[x]中不可分解不是等價(jià)的。對(duì)次數(shù)大于等于1的多項(xiàng)式f（x）在F[x]中如果不可分解為兩個(gè)次數(shù)更小的多項(xiàng)式的乘積，那么定義f（x）為不可約多項(xiàng)式。

對(duì)次數(shù)做簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)歸納法可以證明任何一個(gè)次數(shù)大于等于1的多項(xiàng)式都可以分解為不可約多項(xiàng)式的乘積。一個(gè)數(shù)學(xué)的自然思維就是：?jiǎn)栠@樣的分解是否唯一？假如有兩個(gè)分解表達(dá)式，這時(shí)就需要了解不可約多項(xiàng)式作為因子是如何出現(xiàn)在這兩個(gè)表達(dá)式中的，這時(shí)最大公因式和互素的相關(guān)知識(shí)就自然出現(xiàn)了。

4.唯一分解定理與重因式。經(jīng)過(guò)上述研究工具的準(zhǔn)備之后，我們可以證明唯一分解定理了，這時(shí)回答了我們最初關(guān)心的多項(xiàng)式分解的問題，盡管我們并不能在任意數(shù)域上達(dá)到分解成一次因式的乘積這樣的理想目標(biāo)（這里根據(jù)學(xué)生能力情況可以介紹唯一分解整環(huán)的基本思想）。將唯一分解定理寫成如下的標(biāo)準(zhǔn)分解式：

f（x）=cp■■（x）p■■（x）…P■■（x）

其中c是f（x）的首項(xiàng)系數(shù)，p■（x）是首一的兩兩互素的不可約多項(xiàng)式，r■是正整數(shù)。從這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分解式可以知道我們需要確定全部不可約多項(xiàng)式，并且給出計(jì)算不可約多項(xiàng)式重?cái)?shù)的算法。先從較容易的問題入手，可以證明：不可約多項(xiàng)式p（x）是f（x）的k重因式當(dāng)且僅當(dāng)p（x）是（f（x），f′（x））的k-1重因式。從而利用輾轉(zhuǎn)相除法我們就可以給出一個(gè)封閉的算法來(lái)確定不可約多項(xiàng)式的重?cái)?shù)。

5.唯一分解定理在復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域、有理數(shù)域中的具體形式。接下來(lái)我們來(lái)解決困難的問題——確定某個(gè)數(shù)域上的全部不可約多項(xiàng)式，即不可約多項(xiàng)式的分類。遺憾的是這個(gè)問題到目前為止沒有辦法解決[2]。我們轉(zhuǎn)而研究三個(gè)熟悉的數(shù)域，即在復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域、有理數(shù)域上確定全部不可約多項(xiàng)式，通過(guò)例子積累研究經(jīng)驗(yàn)。

復(fù)數(shù)域上我們介紹代數(shù)基本定理：每個(gè)復(fù)數(shù)域上次數(shù)大于零的多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中至少有一個(gè)根。從而我們可以得到復(fù)數(shù)域上的全部不可約多項(xiàng)式，只能是一次多項(xiàng)式；進(jìn)而理論上找到復(fù)多項(xiàng)式的全部根，解決了最初提出的求根問題。實(shí)數(shù)域上可以證明不可約多項(xiàng)式要么是一次的，要么是判別式小于零的二次多項(xiàng)式。從而理論上解決了實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的求根問題。

有理數(shù)域上的情況就變得異常復(fù)雜起來(lái)，這里將出現(xiàn)一個(gè)有跳躍度的知識(shí)點(diǎn)：本原多項(xiàng)式，證明整系數(shù)多項(xiàng)式關(guān)于本原多項(xiàng)式的唯一分解定理。既然我們無(wú)法給出全部的不可約本原多項(xiàng)式，或者說(shuō)無(wú)法給出全部的不可約整系數(shù)多項(xiàng)式，那么退而求其次，尋找一些方法來(lái)判斷整系數(shù)多項(xiàng)式的不可約性就變得有意義起來(lái)。這時(shí)介紹Eisenstein（艾森斯坦）判別法作為研究公開問題的一種數(shù)學(xué)思維來(lái)引入是合適的。

三、彩蛋

第二部分我們用數(shù)學(xué)思維循序漸進(jìn)的完成了多項(xiàng)式這一章的知識(shí)體系的建立。在不同的教材中，處理多項(xiàng)式時(shí)會(huì)安排一些有趣或者有歷史淵源的彩蛋，以提升學(xué)生的興趣或應(yīng)用能力等。例如，介紹Lagrange（拉格朗日）插值公式和中國(guó)剩余定理（如文獻(xiàn)[1]），介紹代數(shù)基本定理的復(fù)變函數(shù)論證明方法（如文獻(xiàn)[2]）。這些彩蛋是學(xué)生可以理解的，同時(shí)在體現(xiàn)多項(xiàng)式的應(yīng)用時(shí)反映出數(shù)學(xué)的美感。

參考文獻(xiàn)：

[1]林亞南.高等代數(shù)[M].高等教育出版社，2013.

[2]丘維聲.高等代數(shù)（第二版）[M].高等教育出版社，2003.

[3]林亞南，陳健敏.突出數(shù)學(xué)思想觀點(diǎn)下的教學(xué)方法——以線性空間的同構(gòu)為例[C].“第四屆大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇”論文集，2013：48-53.