汪千凱

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,蕪湖 241000)

大多數(shù)物質(zhì)都具有熱脹冷縮的特性，物質(zhì)的熱脹冷縮特性直接與物質(zhì)內(nèi)部的原子及分子的熱運(yùn)動(dòng)特性有關(guān)。文獻(xiàn)[1]論述了物質(zhì)的膨脹系數(shù)與物質(zhì)的化學(xué)成份、物質(zhì)結(jié)構(gòu)、結(jié)合能、熔點(diǎn)、熱容量、磁性以及熱應(yīng)力等化學(xué)及物理特性的關(guān)系，文獻(xiàn)[2-3]從雙原子模型出發(fā)，推出了金屬線膨脹系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式，但對(duì)具有復(fù)雜化學(xué)結(jié)構(gòu)的物質(zhì)不容易給出定量的關(guān)系。

物體在一維方向上的膨脹特性用線膨脹系數(shù)來(lái)定量表述，線膨脹系數(shù)分為微分線膨脹系數(shù)以及平均線膨脹系數(shù)[1-11]，因?yàn)閼?yīng)用方便大多數(shù)的實(shí)際應(yīng)用都采用線平均膨脹系數(shù)，所以研究線平均膨脹系數(shù)的變化規(guī)律對(duì)實(shí)際應(yīng)用具有重要的意義。因?yàn)槲矬w的長(zhǎng)度與溫度的關(guān)系一般是非線性的，所以線平均膨脹系數(shù)與物體的初始平衡溫度以及溫度變化的溫差有關(guān)。理論上給出具有復(fù)雜化學(xué)結(jié)構(gòu)的物質(zhì)線膨脹系數(shù)的表達(dá)式是很困難的，對(duì)于給定材料的物體，利用實(shí)驗(yàn)測(cè)量的數(shù)據(jù)以及擬合方法獲得線膨脹系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式是很方便并且實(shí)用的，本文利用物體的長(zhǎng)度與溫度的非線性經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，在二級(jí)近似情況時(shí)，推出線平均膨脹系數(shù)與測(cè)量采樣的初始平衡溫度及采樣溫差之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，利用文獻(xiàn)[11]的實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)，擬合出鋼45、合金銅H62以及透明石英的線平均膨脹系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式，計(jì)算線平均膨脹系數(shù)與初始平衡溫度及溫差之間的關(guān)系，并且與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，對(duì)結(jié)果以及理論方法的實(shí)用性將進(jìn)行討論。

1 理 論

固體的長(zhǎng)度L與熱平衡溫度t的關(guān)系經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式為

L=L0[1+α′(t-t0)+β′(t-t0)2+γ′(t-t0)3+…)],

(1)

其中L0是物體在熱平衡溫度t0時(shí)的長(zhǎng)度，α′是線性項(xiàng)系數(shù)，β′、γ′…是非線性項(xiàng)系數(shù)。若在(1)式中忽略三級(jí)及以上部分項(xiàng)，則

L≈L0[1+α′(t-t0)+β′(t-t0)2]。

(2)

物體的平均線膨脹系數(shù)α定義式為[3,6,11]

(3)

其中t1是物體的初始的熱平衡溫度，L1是物體在熱平衡溫度t1時(shí)的長(zhǎng)度，t2是物體溫度變化以后的熱平衡溫度，L2是物體在熱平衡溫度t2時(shí)的長(zhǎng)度。在此必須說(shuō)明的是目前關(guān)于平均線膨脹系數(shù)的定義并不一致，某些參考文獻(xiàn)中L1不是物體在熱平衡溫度t1時(shí)的長(zhǎng)度，而是在常溫或者溫度為20℃時(shí)的長(zhǎng)度，但因?yàn)槲矬w的熱膨脹一般是微量的，所以L1的取值對(duì)物體的長(zhǎng)度膨脹量的計(jì)算影響甚微。為了與文獻(xiàn)[11]的定義式一致，本文設(shè)為熱平衡溫度t1時(shí)的長(zhǎng)度。根據(jù)(2)式物體在熱平衡溫度t1時(shí)的長(zhǎng)度為

L1=L0[1+α′(t1-t0)+β′(t1-t0)2]，

(4)

物體在熱平衡溫度t2時(shí)的長(zhǎng)度為

L2=L0[1+α′(t2-t0)+β′(t2-t0)2]，

(5)

利用公式(3)及(4)(5)式可推得平均線膨脹系數(shù)表達(dá)式為

(6)

公式(6)中倘若

t1=t0

(7)

則

α=α′+β′(t2-t0)。

(8)

2 實(shí)驗(yàn)與理論結(jié)果以及討論

文獻(xiàn)[11]測(cè)量了材料鋼45在t1=t0=0℃以及溫度范圍在-50～70℃時(shí)的線膨脹系數(shù)α，利用公式(8)以及文獻(xiàn)[11]中的測(cè)量數(shù)據(jù)擬合得系數(shù)α′及β′為[12-13]

α′=11.28×10-6/℃，

(9)

β′=8.58×10-9/℃2。

(10)

則在溫度范圍-50～70℃內(nèi)鋼45的長(zhǎng)度與溫度的表達(dá)式為

L=L0(1+11.28×10-6×t+8.58×10-9×t2)，

(11)

其中L0是鋼45在熱平衡溫度0℃時(shí)的長(zhǎng)度。根據(jù)公式(6)以及公式(11),鋼45在溫度范圍-50～70℃時(shí)的線平均膨脹系數(shù)近似表達(dá)式為

圖1 鋼45的線膨脹系數(shù)α隨溫差Δt的變化圖線A:t1=0℃，符號(hào)°為實(shí)驗(yàn)結(jié)果；C:t1=-13.3℃Fig.1 The curves of linear expansion coefficient α of steel 45 with the variation of temperature difference ΔtA:t1=0℃，the sign ° represents the experimental results ；C:t1=-13.3℃

(12)

其中Δt=t2-t1。因?yàn)楣?12)中的系數(shù)α′及β′是利用鋼45在溫度范圍-50～70℃的數(shù)據(jù)擬合獲得的，所以公式(12)的適用溫度范圍為-50～70℃。利用(12)式可以計(jì)算出線平均膨脹系數(shù)α隨溫度t1及溫差Δt的變化圖線。圖1是溫度t1取定值時(shí)線平均膨脹系數(shù)α隨溫差Δt的變化圖線，A線是t1=0℃時(shí)α隨溫差Δt的變化圖線，符號(hào)°代表實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從圖中可以看出(12)式的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很符合，C線是t1=-13.3℃時(shí)線平均膨脹系數(shù)α隨溫差Δt的變化圖線，從圖中可以看出在t1取定值時(shí)，α與溫差Δt近似呈線性關(guān)系。根據(jù)文獻(xiàn)[11]測(cè)量的合金銅H62在t1=t0=0℃以及在溫度范圍-50～70℃時(shí)的線膨脹系數(shù)α的數(shù)值，利用公式(8)以及文獻(xiàn)[11]中的數(shù)據(jù)擬合得系數(shù)α′及β′為[12-13]

α′=19.03×10-6/℃，

(13)

β′=3.28×10-9/℃2。

(14)

利用(13)、(14)、(6)可得到合金銅H62在溫度范圍-50～70℃內(nèi)的線平均膨脹系數(shù)近似表達(dá)式為

(15)

圖2 合金銅H62的線膨脹系數(shù)α隨溫差Δt的變化圖線A:t1=0℃，符號(hào)°為實(shí)驗(yàn)結(jié)果；C:t1=36℃Fig.2 The curves of linear expansion coefficient α of copper alloy H62 with the variation of temperature difference ΔtA:t1=0℃，the sign ° represents the experimental results；C:t1=36℃。

利用公式(15)可以計(jì)算出線平均膨脹系數(shù)α隨溫度t1及溫差Δt的變化圖線。圖2是溫度t1取定值時(shí)線平均膨脹系數(shù)α隨溫差Δt的變化圖線，A線是t1=0℃時(shí)α隨溫差Δt的變化圖線，符號(hào)°代表實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從圖中可以看出式(15)的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很符合，C線是t1=36℃時(shí)線平均膨脹系數(shù)α隨溫差Δt的變化圖線，從圖中可以看出在t1取定值時(shí)，α與溫差Δt近似呈線性關(guān)系。根據(jù)文獻(xiàn)[11]測(cè)量的透明石英在t1=t0=0℃以及在溫度范圍-50～70℃時(shí)的線膨脹系數(shù)α的數(shù)值，利用公式(8)以及文獻(xiàn)[11]中的數(shù)據(jù)擬合得系數(shù)α′及β′為[12-13]

α′=0.369×10-6/℃,

(16)

β′=2.71×10-9/℃2。

(17)

利用公式(16)、(17)及(6)可得到透明石英在溫度范圍-50～70℃內(nèi)的線平均膨脹系數(shù)近似表達(dá)式為

(18)

圖3 透明石英的線膨脹系數(shù)α隨溫差Δt的變化圖線A:t1=0℃，符號(hào)°為實(shí)驗(yàn)結(jié)果；C:t1=30℃Fig.3 The curves of linear expansion coefficient α of transparent silica with the variation of temperature difference ΔtA:t1=0℃，the sign ° represents the experimental results；C:t1=30℃

利用(18)式可以計(jì)算出線平均膨脹系數(shù)α隨溫度t1及溫差Δt的變化圖線。圖3是溫度t1取定值時(shí)線平均膨脹系數(shù)α隨溫差Δt的變化圖線，A線是t1=0℃時(shí)α隨溫差Δt的變化圖線，符號(hào)°代表實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從圖中可以看出(18)式的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很符合，C線是t1=30℃時(shí)線平均膨脹系數(shù)α隨溫差Δt的變化圖線，從圖中可以看出在t1取定值時(shí)，α與溫差Δt近似呈線性關(guān)系。

從以上數(shù)據(jù)分析可以看出，線平均膨脹系數(shù)α(t1,Δt)同采樣溫度t1及采樣溫差Δt有關(guān)，公式(6)具有重要的應(yīng)用價(jià)值，根據(jù)此公式可計(jì)算物體在一定溫度范圍內(nèi)不同溫度t1以及溫差Δt的線平均膨脹系數(shù)，從而根據(jù)公式(3)計(jì)算物體的熱膨脹長(zhǎng)度。很顯然物體的線膨脹系數(shù)與物體的熱膨脹程度有關(guān)，線膨脹系數(shù)越大，表明物體在溫度變化之后其長(zhǎng)度伸縮量越大，因而計(jì)算物體在不同的t1及Δt值時(shí)的線平均膨脹系數(shù)，便可知道物體在不同的t1及Δt值時(shí)的熱膨脹程度。另外根據(jù)公式(1)測(cè)量ΔL=L-L0隨溫差t-t0的變化數(shù)值，也可以擬合出α′、β′以及γ′等項(xiàng)系數(shù)，再根據(jù)公式(3)可得到物體的平均線膨脹系數(shù)的表達(dá)式。其他材料的線膨脹系數(shù)可采用類似的方法利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合獲得。

3 結(jié) 論

物體的線平均膨脹系數(shù)與物體的初始平衡溫度及溫度變化的溫差有關(guān)，根據(jù)物體的長(zhǎng)度與溫度的非線性關(guān)系經(jīng)驗(yàn)公式，并利用實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)很容易擬合出物體的線平均膨脹系數(shù)與物體的初始平衡溫度及溫差的關(guān)系公式。這種方法特別適用于具有復(fù)雜化學(xué)結(jié)構(gòu)的物質(zhì)以及不易得到線膨脹系數(shù)定量理論表達(dá)式的情形。