杜紫紅

什么是數(shù)感？從字面上來(lái)理解，就像樂(lè)感、空間感那樣，可以理解為人們對(duì)數(shù)與運(yùn)算的感覺(jué)。數(shù)感的建立使人們遇到一些具體問(wèn)題時(shí)，能透過(guò)繁雜的現(xiàn)象，簡(jiǎn)化思考過(guò)程，自然地或有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法來(lái)處理和解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。但是，數(shù)感并不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)公式或一種觀念，有時(shí)教師沒(méi)能意識(shí)到數(shù)感培養(yǎng)的重要性。因此，本文從四個(gè)方面進(jìn)行論述，談數(shù)感培養(yǎng)特別需要注意的四個(gè)問(wèn)題。

一、積累數(shù)感——強(qiáng)化感知

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感就是要讓學(xué)生感知周?chē)氖澜缇哂辛炕囊馕?，要讓學(xué)生更多地接觸和理解現(xiàn)實(shí)生活，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)各種數(shù)學(xué)知識(shí)的生活感知，使學(xué)生獲得鮮明的知覺(jué)形象，積累相關(guān)知識(shí)的豐富外延，深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，進(jìn)而抽象出各種數(shù)學(xué)知識(shí)。但是，實(shí)際教學(xué)中，有些教師忽視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的具體感知，滿(mǎn)足于學(xué)生會(huì)回答、會(huì)解題，這樣，在看似提高效率的同時(shí)，失卻了學(xué)生對(duì)基本數(shù)感的積累。

例如，大部分學(xué)生在入學(xué)前對(duì)5以?xún)?nèi)各數(shù)已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，因此有些教師教學(xué)時(shí)只是關(guān)注學(xué)生是否會(huì)認(rèn)讀寫(xiě)1～5各數(shù)，這樣會(huì)使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只是停留在操練層面上。實(shí)際上，數(shù)字的基數(shù)含義是對(duì)實(shí)物進(jìn)行分類(lèi)，把每一類(lèi)看作一個(gè)集合，然后依次使集合中的每一個(gè)元素分別同自然數(shù)中的1、2、3……一一對(duì)應(yīng)，最后一個(gè)元素所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)就是這個(gè)集合中元素的個(gè)數(shù)，也就是物體的總數(shù)。如何讓一年級(jí)的學(xué)生理解這么“晦澀”的含義呢？教學(xué)時(shí)應(yīng)注意什么呢？這就要求教師強(qiáng)化生活感知教學(xué)，給學(xué)生呈現(xiàn)多樣的數(shù)數(shù)對(duì)象，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)物中抽象出數(shù)字的過(guò)程，豐富學(xué)生的認(rèn)知表象，為建立學(xué)生的數(shù)感打基礎(chǔ)。

如認(rèn)識(shí)1時(shí)，讓學(xué)生懂得數(shù)的對(duì)象都是在一個(gè)“圈”內(nèi)，即在一定范圍；認(rèn)識(shí)2時(shí)數(shù)河馬，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到河馬有大有小，數(shù)數(shù)時(shí)不分大??；認(rèn)識(shí)3時(shí)數(shù)長(zhǎng)頸鹿，可以用長(zhǎng)頸鹿的頭來(lái)代替，即數(shù)數(shù)時(shí)可以用部分表示整體；認(rèn)識(shí)5時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)天空中有幾個(gè)物體，圖中有幾個(gè)人，使其意識(shí)到“不同類(lèi)”的物體可以放在一定的范圍內(nèi)計(jì)數(shù)。在這一基礎(chǔ)上，讓學(xué)生舉例5可以表示什么，從一些給定的對(duì)象中找到5。

這樣，通過(guò)一個(gè)個(gè)具體情境抽象出數(shù)字，并調(diào)動(dòng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生多角度尋找數(shù)學(xué)原型，拓展了數(shù)字的外延，同時(shí)在抽象數(shù)字的過(guò)程中對(duì)用數(shù)字表示物體個(gè)數(shù)的內(nèi)涵進(jìn)行了逐層深入的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生形成數(shù)感。

數(shù)概念本身是抽象的，學(xué)生從整數(shù)中認(rèn)識(shí)完整的個(gè)數(shù)，逐漸拓展到分?jǐn)?shù)、小數(shù)等，這些數(shù)概念的建立，依托于一個(gè)個(gè)具體可感的現(xiàn)實(shí)背景，只有將這些數(shù)概念與它們所表示的實(shí)際含義建立起聯(lián)系，不斷地感知與體驗(yàn)數(shù)的具體數(shù)量，學(xué)生才有可能真正理解數(shù)，在繁雜的客觀現(xiàn)實(shí)中把握數(shù)的應(yīng)用，從而建立數(shù)感。

二、建立數(shù)感——重視體驗(yàn)

“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行?！睌?shù)感看不見(jiàn)、摸不著，學(xué)生經(jīng)歷豐富的活動(dòng)，才能形成自己的體驗(yàn)，更好地發(fā)展數(shù)感。但是，這樣的體驗(yàn)，需要教師創(chuàng)設(shè)許多的時(shí)間、空間，有時(shí)還會(huì)造成課堂上無(wú)法按時(shí)完成相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。因此，實(shí)際上課中，有的教師以介紹代替活動(dòng)，以講授代替體驗(yàn)。

例如，教學(xué)《秒的認(rèn)識(shí)》時(shí)，有的教師以認(rèn)識(shí)鐘面為主要教學(xué)內(nèi)容，滿(mǎn)足于學(xué)生知道時(shí)針走一大格是一小時(shí)，分鐘走一小格是一分鐘，會(huì)看鐘面說(shuō)出時(shí)刻，而將學(xué)生1秒、1分的體驗(yàn)以作業(yè)的方式布置學(xué)生回家完成。殊不知，這樣看似節(jié)約課堂時(shí)間的行為，卻可能扼殺學(xué)生對(duì)時(shí)間的感悟。教學(xué)初，“秒”這個(gè)詞學(xué)生在生活中就經(jīng)常碰到，但是對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)，這個(gè)詞可能只是一個(gè)無(wú)明顯意義的時(shí)間概念，學(xué)生對(duì)秒所代表的時(shí)間長(zhǎng)度并沒(méi)有深刻理解；教學(xué)中，時(shí)間長(zhǎng)短的體驗(yàn)、估測(cè)是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。而重視體驗(yàn)的教學(xué)又可以怎樣設(shè)計(jì)呢？

首先，體驗(yàn)5秒。請(qǐng)學(xué)生們選擇自己喜歡的方法，如點(diǎn)頭、拍手、數(shù)數(shù)……感受5秒的時(shí)間。在這一過(guò)程中，秒針伴隨聲音走動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生感受體驗(yàn)1秒的節(jié)奏。其次，體驗(yàn)10秒（前5秒有秒針走動(dòng)的聲音，后5秒是靜音）。學(xué)生們閉上眼睛感覺(jué)有聲音的5秒，當(dāng)聲音關(guān)掉時(shí)，大家用自己的方法感覺(jué)剩下的5秒，感覺(jué)10秒的時(shí)間，認(rèn)為時(shí)間到了就舉手?；顒?dòng)之后，交流、提煉方法：我們可以用和秒針走的節(jié)奏差不多的動(dòng)作、聲音來(lái)估測(cè)一秒的時(shí)間，如數(shù)數(shù)、點(diǎn)頭、拍手等方法。最后，估測(cè)系紅領(lǐng)巾的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用剛剛學(xué)過(guò)的方法計(jì)量1秒，有節(jié)奏地估測(cè)系紅領(lǐng)巾的時(shí)間。

這樣，通過(guò)“扶—半扶—放”的三個(gè)階段，學(xué)生反復(fù)看秒針走動(dòng)，聽(tīng)、說(shuō)秒針走動(dòng)的聲音，伴隨鐘面秒針的走動(dòng)點(diǎn)頭、拍手、數(shù)數(shù)，說(shuō)、演、動(dòng)手，體驗(yàn)“秒”的時(shí)間長(zhǎng)度。這樣，“秒”的認(rèn)識(shí)有了具體而鮮明的情境支撐，當(dāng)再次碰到“秒”的時(shí)候，學(xué)生能夠與數(shù)數(shù)、眨眼、拍手等具體操作聯(lián)系在一起，逐步熟練、自覺(jué)準(zhǔn)確地運(yùn)用自己的方法去感覺(jué)時(shí)間、計(jì)量時(shí)間、體驗(yàn)時(shí)間，從而達(dá)到內(nèi)化，提高對(duì)時(shí)間的估測(cè)能力。其實(shí)，像時(shí)間、重量、長(zhǎng)度等這些量的知識(shí)，看似簡(jiǎn)單，但是，往往需要提供學(xué)生大量的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷豐富的體驗(yàn)，形成相應(yīng)的認(rèn)識(shí)。

引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，親身感受數(shù)學(xué)、經(jīng)歷數(shù)學(xué)是建立學(xué)生數(shù)感的有效方式之一。因?yàn)槌橄笮?、概括性和邏輯性是?shù)學(xué)知識(shí)具有的本質(zhì)特點(diǎn)，抽象的知識(shí)要內(nèi)化為學(xué)生可感、可接受的內(nèi)容，就必須借助“物化”的過(guò)程，將數(shù)學(xué)知識(shí)概念與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)及知識(shí)的背景聯(lián)系起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行具體實(shí)踐活動(dòng)，不斷地動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，多種感官參與學(xué)習(xí)，能引導(dǎo)學(xué)生更深層次地理解和感悟數(shù)學(xué)知識(shí)，建立數(shù)感。

三、提升數(shù)感——加強(qiáng)對(duì)比

對(duì)比是一切理解和思維的基礎(chǔ)，人類(lèi)正是通過(guò)對(duì)比來(lái)了解世界的一切的。小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容既有聯(lián)系又有區(qū)別，教師在教學(xué)中充分運(yùn)用對(duì)比的方法，有助于學(xué)生接受新知識(shí)，深化對(duì)新知的認(rèn)識(shí)，提高辨別能力，從而提升學(xué)生的數(shù)感。而有時(shí)一個(gè)小小對(duì)比環(huán)節(jié)的失卻，會(huì)使得原本豐滿(mǎn)而精彩的一節(jié)課頓時(shí)索然無(wú)味。

例如，《分?jǐn)?shù)的意義》是五年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，有的教師這么教學(xué)：學(xué)生依賴(lài)于動(dòng)手實(shí)踐和實(shí)例，知道了把一個(gè)蘋(píng)果平均分成4份，其中的一份占這個(gè)蘋(píng)果的，把一筐蘋(píng)果平均分成4份，其中的一份占這筐蘋(píng)果的。這時(shí)，教師便引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)：一個(gè)物體、一些物體都可以看作單位“1”，“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示”，接著，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，學(xué)生完成練習(xí)的正確率也挺高。教學(xué)很順暢，學(xué)生看起來(lái)也都掌握了，但實(shí)際上，缺乏對(duì)分?jǐn)?shù)實(shí)質(zhì)的深入思考，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解是膚淺的，無(wú)法形成關(guān)于分?jǐn)?shù)真正的認(rèn)知。在這里，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比就顯得很重要。在學(xué)生初步概括出分?jǐn)?shù)的意義后，教師引發(fā)學(xué)生針對(duì)兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行比較思考：①為什么單位“1”不一樣，都可以用表示？②都是一份，為什么個(gè)數(shù)會(huì)不同？在問(wèn)題所引發(fā)的兩次比較中，包含著教師的暗示與啟發(fā)，學(xué)生從具體實(shí)例的觀察比較中抽象出單位“1”， 明白了一個(gè)分?jǐn)?shù)的表示關(guān)鍵看兩個(gè)要素：首先，看單位“1”平均分成幾份；其次，看取其中的幾份。這樣，學(xué)生思考問(wèn)題時(shí)才會(huì)擺脫對(duì)具體實(shí)物的依賴(lài)。而“都是一份，為什么個(gè)數(shù)不同”？因?yàn)閱挝?“1”的數(shù)量多少影響著每一份的大小。以問(wèn)題激發(fā)思考，為學(xué)生深入理解分?jǐn)?shù)意義打開(kāi)了一扇智慧之門(mén)，學(xué)生在比較思辨中提升數(shù)感。

四、完善數(shù)感——回歸應(yīng)用

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是單純地為了計(jì)算，更多是為了解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，就像荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾說(shuō)的那樣：“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，寓于現(xiàn)實(shí)，用于現(xiàn)實(shí)?！蹦敲矗趯W(xué)生數(shù)感的完善中，教師要如何引導(dǎo)學(xué)生再現(xiàn)和理解現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題與數(shù)量關(guān)系建立起聯(lián)系，用數(shù)學(xué)的方法和數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題？筆者認(rèn)為，教師創(chuàng)設(shè)一定的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象、建模的過(guò)程，使學(xué)生在頭腦中形成與具體事物相聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型，才能更好地完善學(xué)生的數(shù)感。

如學(xué)習(xí)《有余數(shù)的除法》，孤立地以除法豎式引入，學(xué)生也能掌握有余數(shù)除法的計(jì)算，但是卻缺乏現(xiàn)實(shí)意義的體會(huì)。教學(xué)中教師可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境： 36個(gè)人要過(guò)河，每條船最多可乘7人，至少需要幾條船？怎樣乘船才合理？這個(gè)問(wèn)題不是簡(jiǎn)單地計(jì)算36÷7=5……1就可以解決的，學(xué)生必須了解除法算式中每一部分的意義，進(jìn)一步理解商5和余下的1各是什么意思。如果5條船上都坐滿(mǎn)7個(gè)人就是35人，還剩1個(gè)人也需要1條船，因此需要6條船。那怎樣乘船才合理？學(xué)生可以根據(jù)自己的認(rèn)識(shí)，給出認(rèn)為合適的方法。學(xué)生在生活實(shí)踐的背景中解決問(wèn)題，既能不斷完善對(duì)原有知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)，又能體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)數(shù)感。

另外，在實(shí)際的問(wèn)題情境中，很多時(shí)候并不需要進(jìn)行精確計(jì)算，只要估算就能順利地解決問(wèn)題，因此，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)估算意識(shí)，掌握估算的方法。比如四舍五入法，估算8.98×4.1，可以看因數(shù)接近整數(shù)幾，8.98接近9，4.1接近4，所以積在36左右。教師在教學(xué)中要善于抓住各種有利時(shí)機(jī)，讓學(xué)生估算并交流，增強(qiáng)估算意識(shí)。通過(guò)教師不斷設(shè)置估算情境，學(xué)生將估算內(nèi)化為一種自覺(jué)、自主的意識(shí)，進(jìn)而形成一種習(xí)慣，在不斷估算中發(fā)展自己的數(shù)感。

五、結(jié)語(yǔ)

數(shù)感的形成是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，要在感知中積累，在體驗(yàn)中建立，在對(duì)比中發(fā)展，在實(shí)踐中完善，經(jīng)過(guò)一系列有序的滲透和強(qiáng)化，逐步形成。培養(yǎng)數(shù)感不在于教給學(xué)生多少“規(guī)范”的數(shù)學(xué)題，而要引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)背景中“看到”數(shù)學(xué)，能數(shù)學(xué)地思考。教學(xué)中教師創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，充分地將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題與學(xué)習(xí)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，把學(xué)習(xí)活動(dòng)置于豐富的問(wèn)題情境中進(jìn)行，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷體驗(yàn)“學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)”，而這正是形成數(shù)感的前提。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中更多地接觸和經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，不斷內(nèi)化認(rèn)識(shí)，從而產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深刻的理解，充實(shí)自己的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，才能真正發(fā)展數(shù)感。

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