李白露

摘 要：檢視當(dāng)下學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的培育，不難發(fā)現(xiàn)碎片化、標(biāo)準(zhǔn)化、線性化的問題現(xiàn)象。學(xué)生數(shù)學(xué)思考力必須在數(shù)學(xué)教學(xué)中落地、生根、發(fā)芽。基于數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”視角，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考從封閉、囚禁、固化走向動態(tài)、結(jié)構(gòu)、本質(zhì)，能夠不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考水平。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思考力；教學(xué)策略

作為一種深層次、全面性的思維活動，數(shù)學(xué)思考力是一種隱性學(xué)力。在商務(wù)印書館第六版的《現(xiàn)代漢語詞典》中，對于“思考”一詞是這樣闡釋的：比較深刻、周到的思維活動。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，也將“數(shù)學(xué)思考”明確列為數(shù)學(xué)學(xué)科四大目標(biāo)之一。因此，培育學(xué)生數(shù)學(xué)思考力既是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的客觀要求，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的內(nèi)在需求。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該而且必須萌發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的種子，蓄積學(xué)生數(shù)學(xué)思考的潛質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考。

一、數(shù)學(xué)思考力：問題的檢視

數(shù)學(xué)是面向“思”的學(xué)科。著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾這樣說，“數(shù)學(xué)教學(xué)說到底是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)”。發(fā)展并提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求。但檢視當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，不能說忽視、缺失了數(shù)學(xué)思考，但在培育學(xué)生數(shù)學(xué)思考力過程中確實也存在不少的問題。考量這些問題，有助于歸正數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)路向。

1. 碎片化思考：有部分卻沒整體。

數(shù)學(xué)思考應(yīng)該既關(guān)照思考細(xì)節(jié)，更關(guān)照思考整體，應(yīng)該倡導(dǎo)一種結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性的思維方式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，一些教師仍然用“對不對”“是不是”等簡單、零碎的方式啟迪學(xué)生，缺少來自學(xué)生內(nèi)部的“是什么”“為什么”“怎么辦”等高階思維方式。比如，教學(xué)蘇教版四年級下冊的《加法交換律》，有教師喜歡用“朝三暮四”啟發(fā)學(xué)生，導(dǎo)致學(xué)生對交換律的理解停留在字面意義上，即交換兩個數(shù)的位置，和不變。如此，當(dāng)學(xué)生遇到這樣一些習(xí)題時總是這樣計算：125-12+75=125-75+12。教師埋怨學(xué)生，其實學(xué)生很無辜。因為，教師沒有從交換律的結(jié)構(gòu)、整體上進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生對算式缺乏結(jié)構(gòu)性認(rèn)識，不理解交換律本質(zhì)，即交換是“同級運(yùn)算之間運(yùn)算順序的交換”。

2. 標(biāo)準(zhǔn)化思考：有答案卻沒創(chuàng)新。

數(shù)學(xué)思考應(yīng)該既關(guān)注統(tǒng)一性、普適性、標(biāo)準(zhǔn)性的數(shù)學(xué)問題解決策略，更要呵護(hù)、關(guān)懷學(xué)生的個性化思考、另類性思維。當(dāng)下，學(xué)生數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化思考有余而創(chuàng)新化思考不足，導(dǎo)致學(xué)生有答案而沒創(chuàng)新。學(xué)生表面上的沒問題，實質(zhì)上潛藏著許多問題。在標(biāo)準(zhǔn)化思考的教學(xué)價值取向下，學(xué)生的許多靈性數(shù)學(xué)思考蛻變成公式堆積。比如，圓環(huán)面積公式、半圓周長公式、半圓面積公式，等等。一位教師教學(xué)《圓的面積》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊），由于學(xué)生缺少一個“轉(zhuǎn)化”思想的感悟，同時由于教師過度強(qiáng)調(diào)了已知半徑求面積，導(dǎo)致學(xué)生在知道了半徑平方后，還“一意孤行”地想求出圓的半徑。標(biāo)準(zhǔn)化的思考戕害了學(xué)生思維，讓學(xué)生數(shù)學(xué)思考變得僵化。當(dāng)數(shù)學(xué)思考淪落為“照這樣”時，淪為枯燥推導(dǎo)與符號游戲時，“公式”就空有其“殼”，拖累了學(xué)生的思與行。

3. 線性化思考：有組織但沒開放。

傳統(tǒng)教學(xué)大都以“小步子、低坡度、分散難點(diǎn)”的方式展開教學(xué)。學(xué)生在教師設(shè)計好的問題鏈、任務(wù)鏈下進(jìn)行學(xué)習(xí)，呈現(xiàn)出明顯的線性特征。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由此被束縛在狹小的空間內(nèi)，數(shù)學(xué)思考有組織但缺乏開放度、發(fā)散度。具體表現(xiàn)為：學(xué)生在解答一些熟悉的習(xí)題時往往能夠駕輕就熟，而在遭遇未見的習(xí)題時常常顯得一籌莫展。比如，教學(xué)《異分母分?jǐn)?shù)相加減》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊），教師通常出示這樣幾組習(xí)題，即前幾題是同分母分?jǐn)?shù)相加減，然后出示一些異分母分?jǐn)?shù)相加減習(xí)題，啟迪學(xué)生運(yùn)用“通分”方法解決問題。這樣組織有序的線性教學(xué)，囚禁了學(xué)生思考路向，剝奪了學(xué)生開放性思考的機(jī)會。由此導(dǎo)致學(xué)生在進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)相加減計算時往往缺乏靈活性，不能根據(jù)題目中的數(shù)字特點(diǎn)進(jìn)行計算。

碎片化、標(biāo)準(zhǔn)化、線性化的數(shù)學(xué)思考讓學(xué)生“只見樹木不見森林”，學(xué)生數(shù)學(xué)思維在教師割裂于整體知識的教學(xué)中狹隘、片面地生長。由此導(dǎo)致學(xué)生結(jié)構(gòu)性、開放性、創(chuàng)新性思維的不足。學(xué)生數(shù)學(xué)思考缺乏應(yīng)有的深度、廣度，缺乏應(yīng)有的靈活性、靈動性，缺乏應(yīng)有的自主性、能動性。

二、數(shù)學(xué)思考力：路徑的審視

所謂“數(shù)學(xué)思考力”，是指人們在問題情境中能夠主動從數(shù)學(xué)視角去進(jìn)行觀察、分析，探尋其中存在的數(shù)學(xué)信息，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題。數(shù)學(xué)思考力是一種邏輯運(yùn)用、本質(zhì)探尋、信息建立的能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須追問數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，厘清學(xué)生數(shù)學(xué)思考的方向，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中落地、生根、發(fā)芽。

1. 動態(tài)化，激活學(xué)生數(shù)學(xué)思考。

克萊茵說，“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性精神?！边@種理性精神充分體現(xiàn)在能從“變”中把握“不變”，從“不變”中看出“變化”出來。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要創(chuàng)設(shè)動靜相宜的情境，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

比如，江蘇省著名特級教師、東臺師范第一附屬小學(xué)校長周衛(wèi)東執(zhí)教《三角形的三邊關(guān)系》一課時，用動態(tài)變化的素材，引導(dǎo)學(xué)生不斷打破既定的思考格局，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行動態(tài)化的數(shù)學(xué)思考。有兩根小棒，一根小棒的長度為9厘米，另一根小棒的長度為7厘米，將其中一根小棒分成整厘米數(shù)的兩段，讓它們能夠圍成三角形，一共有多少種不同的可能？學(xué)生展開數(shù)學(xué)化的操作活動后，發(fā)現(xiàn)將第二根小棒分成兩段，無論怎樣分都不能圍成三角形；將第一根小棒分成兩段后，都可以圍成三角形。據(jù)此，學(xué)生展開數(shù)學(xué)化的思考：三角形的兩條邊之和小于第三條邊時就不能圍成三角形。于是，有學(xué)生將9厘米的小棒分為4厘米和5厘米，3厘米和6厘米，2厘米和7厘米，有學(xué)生還將9厘米分成了1厘米和8厘米。在這個基礎(chǔ)上，周老師讓學(xué)生展開討論：當(dāng)兩根小棒的和等于第三根小棒時能否圍成三角形？在學(xué)生通過小組交流形成共識后，周老師又將問題變?yōu)椋喝绻紤]小棒的長度可以是小數(shù)，又有多少種可能？

問題的一次次變換，讓學(xué)生的思維始終處于活躍狀態(tài)。學(xué)生的數(shù)學(xué)思考不再固著，而是在周老師的問題變式中形成動態(tài)性的思考。他們不僅理解了三角形三邊關(guān)系，更為重要的是經(jīng)歷一次科學(xué)的理性精神的深度體驗，自然地受到了極限、對應(yīng)、函數(shù)思想的浸潤。

2. 結(jié)構(gòu)化，生長學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行串式、鏈?zhǔn)剿伎?，更要引?dǎo)學(xué)生進(jìn)行整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的思考。所謂結(jié)構(gòu)化思考，是指學(xué)生不僅能將數(shù)學(xué)知識串起來、連起來，更能將數(shù)學(xué)知識聯(lián)起來、合起來。結(jié)構(gòu)化思考能讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在之魂，獲得一種整體性學(xué)習(xí)遷移力和感悟力。

比如，教學(xué)《長方體和正方體的表面積》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊），教參要求分兩課時進(jìn)行教學(xué)。其中，第一課時教學(xué)“長方體和正方體完全的表面積”，第二課時教學(xué)“長方體和正方體不完全的表面積”。顯然，這樣分開的教學(xué)是不利于學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的思考能力的。為此，筆者在教學(xué)中將這兩課時整合起來進(jìn)行教學(xué)。一方面是長方體和正方體的表面積；另一方面是常見的長方體和正方體的材料用量。結(jié)構(gòu)化教學(xué)讓學(xué)生在遭遇不同類型習(xí)題（如金魚缸、落水管、煙囪等）時能靈活進(jìn)行問題解決。再如，蘇教版六年級上冊《分?jǐn)?shù)乘法》《分?jǐn)?shù)除法》與《分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算》單元間是分開的，這樣不利于學(xué)生形成分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解決的結(jié)構(gòu)化思路。為此，筆者在教學(xué)中對之進(jìn)行整合，學(xué)生能夠整體性、系統(tǒng)性地對分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題的解題思路展開結(jié)構(gòu)化思考，形成結(jié)構(gòu)化思路。

立足于結(jié)構(gòu)，學(xué)生才能自由穿行在觀察、感知、發(fā)現(xiàn)、歸納、演繹、構(gòu)建等思維過程中。立足于結(jié)構(gòu)，不僅僅是讓數(shù)學(xué)知識從點(diǎn)狀走向塊狀，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化，更為重要的是讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考從線性走向平面，從平面走向立體，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化。

3. 本質(zhì)化，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

古希臘著名哲人柏拉圖這樣說：“我們應(yīng)該區(qū)分兩種不同的存在——經(jīng)驗的存在和理性的存在。經(jīng)驗的存在是有缺陷的，理性的存在才是完美的?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力，關(guān)鍵在于讓學(xué)生超越生活化、經(jīng)驗化的現(xiàn)象認(rèn)知，形成對知識的數(shù)學(xué)化、形式化、公理化的本質(zhì)認(rèn)識。本質(zhì)化思考，能夠讓數(shù)學(xué)教學(xué)走向深刻和智慧。

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊的《三角形的穩(wěn)定性》教學(xué)為例，生活經(jīng)驗中三角形的穩(wěn)定性一般都是指“拉不動”。許多教師在教學(xué)中也將數(shù)學(xué)意義上的三角形的穩(wěn)定性降格到生活經(jīng)驗的層面，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)不斷弱化著學(xué)生數(shù)學(xué)思考的理性與深刻性。筆者在教學(xué)中，從學(xué)生生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生拉三角形，從中得到“三角形穩(wěn)定性”的生活化理解。接著，筆者讓學(xué)生拉焊接過的四邊形框架，學(xué)生發(fā)現(xiàn)四邊形同樣具有“拉不動”特性。“難道四邊形也具有穩(wěn)定性嗎？”學(xué)生思維開始從生活、經(jīng)驗層面步入數(shù)學(xué)理性層面。然后，筆者給學(xué)生提供了學(xué)具小棒，讓學(xué)生擺三角形和四邊形。經(jīng)過交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)彼此擺的三角形形狀、大小都是相同的，但四邊形大小、形狀各不相同。據(jù)此，學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)高度認(rèn)識到三角形的穩(wěn)定性：圍成三角形的三根小棒的長度確定了，三角形的形狀和大小也就確定了。本質(zhì)化的操作、思考形成對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)化認(rèn)知。

在運(yùn)用學(xué)具小棒對三角形和四邊形進(jìn)行操作的過程中，學(xué)生對“三角形的穩(wěn)定性”的認(rèn)識由淺入深，在不斷去除對三角形穩(wěn)定性的非數(shù)學(xué)化、非本質(zhì)化認(rèn)識后，形成對三角形大小、形狀唯一性的理性認(rèn)識。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生不斷地發(fā)掘知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)，數(shù)學(xué)思考不斷走向深入。

英國迪士尼樂園的路徑是游客“走”出來的，學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的形成也必定要“在游泳中學(xué)會游泳”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要預(yù)留學(xué)生數(shù)學(xué)思考的時空，組織學(xué)生數(shù)學(xué)思考的活動，提供學(xué)生數(shù)學(xué)思考的技巧，延展學(xué)生數(shù)學(xué)思考的觸角。不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)思考的水平，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考走出狹隘、封閉、固化，走向本質(zhì)、結(jié)構(gòu)、開放。