陳怡農(nóng)

摘 要：本文以認(rèn)識小數(shù)教學(xué)點再設(shè)計為例，探討了基于MPCK視角下，小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的切入點，提出了MPCK視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的建議。

關(guān)鍵詞：MPCK；數(shù)學(xué)概念教學(xué)；認(rèn)識小數(shù)

一、何為MPCK理論

美國著名教育家舒爾曼在20世紀(jì)80年代提出了教師的專業(yè)知識結(jié)構(gòu)理論，其核心要素是學(xué)科教學(xué)內(nèi)容（Pedagogical Content Knowledge），簡稱PCK。香港學(xué)者黃毅英在此基礎(chǔ)上提出把數(shù)學(xué)教師從事專業(yè)教學(xué)所應(yīng)具備的核心知識成為（Mathematic Pedagogical Content Knowledge），簡稱MPCK。MPCK是由數(shù)學(xué)學(xué)科知識（MK）、一般教學(xué)法知識（PK）、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識（CK）以及教育技術(shù)知識（TK）融合而成的。

簡單來說，MPCK就是數(shù)學(xué)內(nèi)容和教育學(xué)、心理學(xué)、學(xué)習(xí)論的有關(guān)原理融合而成的，與教學(xué)相關(guān)的綜合性知識，是關(guān)于某一領(lǐng)域的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容該如何進(jìn)行表達(dá)、呈現(xiàn)和解釋，從而轉(zhuǎn)化成使學(xué)生更容易接受和理解的知識。核心就是如何將數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)及學(xué)生的學(xué)習(xí)形態(tài)，以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。就教師的教學(xué)設(shè)計與課堂教學(xué)而言，MPCK理論是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計和課堂教學(xué)的基礎(chǔ)，教師對教學(xué)內(nèi)容的理解和把握程度，運用教學(xué)方法的適當(dāng)程度以及課堂教學(xué)的效果如何，很大程度上取決于教師的MPCK。

二、MPCK視角下的概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。我們知道，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點，是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)模式，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，是形成數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)，所以數(shù)學(xué)概念教學(xué)作為小學(xué)數(shù)學(xué)知識教學(xué)中最為基礎(chǔ)和重要的部分，在課程教學(xué)中應(yīng)給予充分的重視。在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)設(shè)計時，教師可以運用MPCK理論突出概念的內(nèi)涵、價值、本質(zhì)，以此來指導(dǎo)概念的教學(xué)，評估概念的教學(xué)過程和教學(xué)效果。

基于PMCK視角的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，教師應(yīng)該思考“為什么要學(xué)？概念內(nèi)涵是什么？其核心內(nèi)容是什么？它又有哪些價值？學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能存在哪些困惑？如何有針對性地解決？”諸如此類的問題。

三、小數(shù)數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計中存在的問題

小學(xué)階段，學(xué)生處于抽象思維能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力發(fā)展的初期，掌握集概括性和抽象性于一體的數(shù)學(xué)概念具有相當(dāng)?shù)碾y度。在實際教學(xué)中，小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在這些問題：

1. 少理解，注重死記硬背。根據(jù)小學(xué)生思維的特點，他們對抽象的數(shù)學(xué)概念理解起來還是困難的，但小學(xué)生記憶能力卻非常強(qiáng)，教師往往采用熟記背誦的方法讓學(xué)生快速掌握概念。但由于學(xué)生沒能理解概念的真正含義，所以無法正確運用。

2. 不具體，缺乏深層挖掘。小學(xué)階段數(shù)學(xué)概念多采用描述性定義，看似簡單容易，卻缺乏對內(nèi)涵的深層挖掘，不講知識的來龍去脈，忽視概念的發(fā)展演化，把大量時間和精力放在練習(xí)上，所以導(dǎo)致學(xué)生反復(fù)做題卻也反復(fù)出現(xiàn)錯題，難以找出真正的錯因，當(dāng)遇到更難的題目時就會束手無策。

3. 難聯(lián)系，無法互通連接。數(shù)學(xué)概念的建立主要有兩種形式，即概念形成與概念同化的過程。我們應(yīng)該知道，新概念是在舊概念的基礎(chǔ)上引出的，建立概念時要把概念形成和概念同化結(jié)合起來，促進(jìn)新概念和原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識聯(lián)系。數(shù)學(xué)教材采用單元排列，各成篇章，例如“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”分散于三年級上冊《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）》認(rèn)識一個物體、一個圖形的幾分之一和幾分之幾，三年級下冊《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）》把若干個相同的物體看成一個整體，認(rèn)識整體的幾分之一和幾分之幾，五年級下冊《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》則系統(tǒng)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義和基本性質(zhì)。教師如果不注意將這些知識串線組面成體，形成整體有序、聯(lián)系明晰清楚的體系，學(xué)生學(xué)到的也將是一些孤立、分散的知識，學(xué)習(xí)效果將大打折扣。

以“認(rèn)識小數(shù)”一課為例，三（下）“認(rèn)識小數(shù)”內(nèi)容是學(xué)生認(rèn)識小數(shù)的開端，是對數(shù)系認(rèn)識的一次重要擴(kuò)展，由易到難、由簡到繁的小數(shù)學(xué)習(xí)為學(xué)生第二學(xué)段系統(tǒng)教學(xué)小數(shù)的知識打下基礎(chǔ)。雖說是初步認(rèn)識，但我們還是著重于會認(rèn)、會讀、會寫小數(shù)這些零碎的知識的“點”嗎？我們也知道沒有正式接觸這部分內(nèi)容的孩子，已經(jīng)對小數(shù)知識有了較為豐富的生活中的感性認(rèn)知。面對這樣的情形，如果目光僅僅局限于這些知識點的認(rèn)知，學(xué)生所獲得的也不過是些基礎(chǔ)性的知識，其豐厚的數(shù)學(xué)內(nèi)涵會大大縮水。我們可以更深入地思考，為什么要學(xué)習(xí)小數(shù)？它與分?jǐn)?shù)、整數(shù)有什么聯(lián)系與區(qū)別？小數(shù)本身的特點與價值在哪里？除了面對數(shù)學(xué)本質(zhì)的一些根源性問題，面對數(shù)學(xué)教育，我們也不禁要問：關(guān)于教學(xué)中知識的掌握、數(shù)學(xué)經(jīng)驗的提升、數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)等目標(biāo)性問題，我們又有怎樣的深入思考和深刻領(lǐng)悟呢？又如何在教學(xué)中突破數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實呢？

四、基于MPCK視角下案例的教學(xué)設(shè)計及思考

1. 認(rèn)識小數(shù)概念的地位與作用

小數(shù)的產(chǎn)生在于測量實際的需要，需要聯(lián)系生活中應(yīng)用小數(shù)的實際事例，感受小數(shù)的意義。認(rèn)識小數(shù)是認(rèn)數(shù)的一次重要擴(kuò)展，小數(shù)是十進(jìn)制計數(shù)向相反方向延伸的結(jié)果，我們要通過十進(jìn)位分?jǐn)?shù)的模型來進(jìn)一步理解小數(shù)。在認(rèn)識小數(shù)之前，學(xué)生學(xué)習(xí)的幾乎都是整數(shù)知識，“以前學(xué)過的表示物體個數(shù)的1、2、3……是自然數(shù)，0也是自然數(shù)，它們都是整數(shù)”。這部分內(nèi)容則首次用列舉的方式給出了自然數(shù)和整數(shù)的概念，這是對以前認(rèn)數(shù)的一次歸納，也是學(xué)生“接受”小數(shù)的認(rèn)知背景。與此相對的是，教材指出“0.5、0.4、1.2、3.5都是小數(shù)”也用列舉的方式第一次給出“小數(shù)”這個名詞及其含義。初步學(xué)習(xí)小數(shù)的知識為第二學(xué)段系統(tǒng)學(xué)習(xí)小數(shù)的知識打下基礎(chǔ)。

2. 運用MPCK理論進(jìn)行認(rèn)識小數(shù)再設(shè)計的幾個基本環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)1：透過小數(shù)，我們看到的是一種“需要”。

（1）出示直尺上能丈量出整分米數(shù)的長與寬的長方形。

（2）對比出示另一個長與寬略小的長方形，用直尺丈量不夠整分米，試著把分米改為厘米作為單位，分別用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示。

【設(shè)計意圖】學(xué)習(xí)小數(shù)是需要鏈接生活的，鏈接生活的目的不僅是要喚起孩子已有的經(jīng)驗，更是需要制造心理沖突，只有讓學(xué)生在解決問題中感受到認(rèn)知矛盾，才能真切體會小數(shù)出現(xiàn)的必然性。我們安排了“由圖形的長與寬用尺量得整數(shù)的長度數(shù)據(jù)”到“圖形‘不好丈量了，怎么辦”，學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗會想到繼續(xù)更小地分，由此我們可以看到小數(shù)是計數(shù)沿向內(nèi)方向的延伸，我們再通過引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分米與厘米之間的換算，讓學(xué)生較容易找到小數(shù)十進(jìn)制的來源。

環(huán)節(jié)2：通過小數(shù)，我們獲得的是一種“溝通”。

（1）從三個長方形中選擇一個你認(rèn)為適合用陰影表示出0.4分米的圖形。（圖1）

（2）出示下面的圖形讓學(xué)生嘗試用小數(shù)表示。（圖2）

【設(shè)計意圖】 小數(shù)和整數(shù)都符合“十進(jìn)制計數(shù)法”的計算規(guī)則，是十進(jìn)位制計數(shù)向相反方向的延伸；小數(shù)即是由分母是10、100、1000……的一類特殊的分?jǐn)?shù)改寫成的，分?jǐn)?shù)和小數(shù)也都是以平均分為基礎(chǔ)的，因此，可以說整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間有著千絲萬縷、密不可分的聯(lián)系。如果說，在以往的教學(xué)中，十分之幾就是零點幾這樣簡單表面的分?jǐn)?shù)與小數(shù)的對應(yīng)，只是讓孩子初步感知分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的直接聯(lián)系的話，那我們可以嘗試讓這種聯(lián)系更具數(shù)學(xué)味道。我們通過兩個問題，在具體解決問題中讓孩子從數(shù)學(xué)本質(zhì)上理解這種鏈接。第一個問題強(qiáng)調(diào)“平均分”，這是小數(shù)向內(nèi)延伸的前提，也通過平均分讓小數(shù)和分?jǐn)?shù)產(chǎn)生必然的關(guān)聯(lián)；強(qiáng)調(diào)十進(jìn)制，因為小數(shù)是分母為10、100、1000……的特殊分?jǐn)?shù)，由特殊再推到可分?jǐn)?shù)為其他數(shù)值的小數(shù)，符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。第二個問題強(qiáng)調(diào)“小數(shù)還可以這樣表示”，讓孩子認(rèn)識到，不論是以何種形式表現(xiàn)出來，都是我們熟悉的整數(shù)1，只要將“1”平均分成10份，幾份就是零點幾，透過表象聚焦本質(zhì)的教學(xué)才能使我們借助幾何直觀進(jìn)一步運用抽象的思維深入理解小數(shù)知識。

環(huán)節(jié)3：改寫小數(shù)，拓寬的是一種“生長”。

（1）借助長方形表示出膠棒的價格。固態(tài)膠棒的價格是1.4元，怎么跟剛才遇到的小數(shù)不一樣，并借助長方形表示出這個小數(shù)。（圖3）

（2）像這樣寫下去，你還能寫出哪些小數(shù)？

【設(shè)計意圖】 由零點幾到幾點幾是學(xué)生小數(shù)知識認(rèn)知的發(fā)展。學(xué)生能利用1元4角是1.4元、3元5角是3.5元這些生活經(jīng)驗進(jìn)行簡單的改寫，但這種簡單改寫并不能增加學(xué)生對幾元幾角改寫成以元為單位的小數(shù)的理解。設(shè)計利用幾何直觀在學(xué)生的聯(lián)想、嘗試、達(dá)成共識中，通過不滿1、超過1這樣有層次的認(rèn)知，突出合成小數(shù)的方式，強(qiáng)化內(nèi)在邏輯，突出其同構(gòu)關(guān)系的有機(jī)整體，讓小數(shù)概念自然成長與發(fā)展。

環(huán)節(jié)4：進(jìn)一步抽象小數(shù)概念。

聯(lián)系本課出現(xiàn)的新的數(shù)，用舉例的方式描述小數(shù)的含義，側(cè)重強(qiáng)調(diào)一方面在形式上與整數(shù)不同，小數(shù)中間有小數(shù)點；另一方面在內(nèi)涵上，一位小數(shù)表示十分之幾。

【設(shè)計意圖】 借助小數(shù)的產(chǎn)生，體驗數(shù)系的擴(kuò)充過程；借助小數(shù)這一特定的內(nèi)容，溝通整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系；借助比較本課的幾個不同但同屬于一類的一位小數(shù)，發(fā)現(xiàn)共同點并從中進(jìn)行概括，擴(kuò)展認(rèn)數(shù)的范圍，形成了完整的數(shù)位順序。

環(huán)節(jié)5：借助小數(shù)，打開的是一種“視角”。

（1）小結(jié)以及啟發(fā)學(xué)生回想在生活中還接觸過哪些分?jǐn)?shù)。

（2）繼續(xù)出示數(shù)軸，利用在數(shù)軸上的位置來認(rèn)識數(shù)。（圖4）

【設(shè)計意圖】 借助直觀考察，發(fā)現(xiàn)小數(shù)3.6和3.7之間的“空隙”，這使我們得到的計數(shù)單位越來越小，精確的程度也越來越高。小數(shù)使我們的計數(shù)更加精確，小數(shù)本身也越來越稠密了。這在一定程度上突破了小數(shù)對分?jǐn)?shù)高度的“依賴性”，轉(zhuǎn)而根據(jù)位置計數(shù)法進(jìn)行自我的拓展。當(dāng)然，由于學(xué)生第一次接觸小數(shù)，所做的也只是淺嘗輒止，但嘗什么、怎樣嘗卻大有講究。我們希望達(dá)及本課貫穿的線索：小數(shù)雖“小”卻很大，小數(shù)打開了我們認(rèn)識世界的另一扇窗。

3. 基于MPCK理論視角下認(rèn)識小數(shù)教學(xué)的再設(shè)計的思考與分析

從MK的角度分析，教師對數(shù)學(xué)概念教學(xué)要有清晰的認(rèn)識，并且能從這個概念的數(shù)學(xué)形態(tài)中挖掘出它的教育價值，其包括知識和方法的應(yīng)用價值，知識探索、形成或應(yīng)用過程中的思維價值，學(xué)習(xí)過程中對于人的情感態(tài)度價值觀形成的價值，這也是教好數(shù)學(xué)概念的必要條件。因此，從MK角度來考慮小數(shù)教學(xué)的再設(shè)計時，教師首先要考慮在認(rèn)識小數(shù)的起始課中究竟想傳達(dá)給學(xué)生什么：為什么要學(xué)習(xí)小數(shù)，怎樣學(xué)習(xí)小數(shù)，學(xué)習(xí)小數(shù)后我們又有怎樣的新的深入思考和深刻領(lǐng)悟……通過挖掘這些隱藏在教材知識背后，卻又是對學(xué)生學(xué)習(xí)有著極其重要影響的問題來幫助學(xué)生理解小數(shù)的內(nèi)涵和外延，并為教師重新設(shè)計教學(xué)做好鋪墊。如每個環(huán)節(jié)的提煉語，突出每個環(huán)節(jié)的教學(xué)著力處。從環(huán)節(jié)1中呼喚新的數(shù)來解決實際問題，到環(huán)節(jié)2中溝通分?jǐn)?shù)和小數(shù)的聯(lián)系，進(jìn)一步突出小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)形式，再從環(huán)節(jié)3中充分利用幾何直觀建構(gòu)小數(shù)的意義，到環(huán)節(jié)4中抽象小數(shù)的概念，擴(kuò)展認(rèn)數(shù)的范圍，形成完整的數(shù)位順序，最后到環(huán)節(jié)5中小數(shù)認(rèn)數(shù)的延伸，環(huán)環(huán)相扣，逐層深入知識本身，鮮明地表現(xiàn)出知識本身的內(nèi)涵和學(xué)科特性。

從PK角度分析，教師結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點，恰當(dāng)?shù)剡x擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法實施教學(xué)。在環(huán)節(jié)1中設(shè)置對比，在需要中啟發(fā)學(xué)生尋找新的數(shù)來表達(dá)，自然呼喚小數(shù)的出現(xiàn)。在環(huán)節(jié)2中不斷進(jìn)行變式，突出小數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生思辨，在理性思考中直擊概念內(nèi)涵。在環(huán)節(jié)5中再度啟發(fā)學(xué)生思考，在小數(shù)不斷延伸、余音未絕中給孩子留下學(xué)習(xí)思考的空間，也為今后高年級繼續(xù)系統(tǒng)學(xué)習(xí)小數(shù)的意義和性質(zhì)等內(nèi)容做好鋪墊。

從CK角度分析，教師盡可能深入全面地了解學(xué)生，掌握學(xué)生對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的狀況，關(guān)注學(xué)生的心理特征和學(xué)習(xí)差異，預(yù)測學(xué)生學(xué)習(xí)時可能會遇到的困難和障礙。因此，認(rèn)識小數(shù)的再設(shè)計應(yīng)立足學(xué)生的學(xué)習(xí)實際。環(huán)節(jié)1中，讓學(xué)生在對比中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，并積極引導(dǎo)學(xué)生用新的數(shù)的表達(dá)來解決矛盾，再通過環(huán)節(jié)2和環(huán)節(jié)3，溝通小數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，利用幾何直觀建構(gòu)小數(shù)的意義，逐步完成環(huán)節(jié)4中小數(shù)概念的建構(gòu)。在這個過程中，教師不僅僅是關(guān)注學(xué)生知識技能的形成，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生比較、分析、綜合、歸納、猜想等思維能力。

從TK角度分析，結(jié)合所教的內(nèi)容，合理借助現(xiàn)代教育技術(shù)，輔助概念的教學(xué)。在環(huán)節(jié)5中豐富呈現(xiàn)問題的方式，利用多媒體演示數(shù)軸不斷被細(xì)分，計數(shù)單位越來越小，精確的程度越來越高，小數(shù)本身也越來越稠密的過程。在靜態(tài)的小數(shù)中展示動態(tài)的發(fā)展過程，讓學(xué)生在猜想、發(fā)現(xiàn)、驗證中加深對小數(shù)的認(rèn)識。

在小數(shù)概念的再設(shè)計中，我們運用MPCK理論，掌握這些知識的融合——MPCK。這樣，當(dāng)面對特定內(nèi)容和特定學(xué)生時，教師才能采用有效的組織、呈現(xiàn)和調(diào)整方式，以達(dá)到更好的教學(xué)效果。