廣東省東莞高級中學 (523128)

劉心華

一、問題的提出

練習與作業(yè)是數(shù)學教學的一個重要組成部分，它是掌握知識，形成技能，發(fā)展能力，感悟思想、積累經(jīng)驗的重要途徑和顯示教學效果的重要環(huán)節(jié).在課堂教學中，教學的成效和練習與作業(yè)因素有很大的關(guān)聯(lián)，練習與作業(yè)可以出質(zhì)量，但練習與作業(yè)也可能加重學生負擔.

新修訂的《普通高中數(shù)學課程標準》(2017年版)提出高中生在數(shù)學學習中應培養(yǎng)好數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)，其基本框架是以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心.作為引導學生鞏固所學知識、檢測學生的學業(yè)質(zhì)量的重要手段，練習與作業(yè)在落實學業(yè)質(zhì)量要求、促進核心素養(yǎng)發(fā)展等方面起著不可替代的作用.如何結(jié)合課堂教學內(nèi)容，基于課本優(yōu)化設(shè)計課后練習與作業(yè)，促使學生更好地理解學習內(nèi)容，形成和發(fā)展學生的數(shù)學能力，提升學生的核心素養(yǎng)，是新一輪課程改革中每一個老師都應該思考的問題.

二、優(yōu)化作業(yè)設(shè)計

優(yōu)化作業(yè)設(shè)計離不開課本，因為課本中的例習題是編者精心挑選，再三醞釀后挑中的，具有典型性、示范性和針對性，既可以幫助學生理解基礎(chǔ)知識、進行思維訓練，又可以幫助學生掌握數(shù)學思想方法，培養(yǎng)發(fā)展能力，提升核心素養(yǎng).新課程倡導“用教材教”而不是“教教材”，其目的就是要求教師能夠靈活地、創(chuàng)造性地使用教材，其中就包括作業(yè)的優(yōu)化設(shè)計.除了課本例習題，高考及模擬題也是作業(yè)優(yōu)化設(shè)計的重要資源.下面以“函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)”課后作業(yè)優(yōu)化設(shè)計為例，探討高中數(shù)學練習與作業(yè)優(yōu)化的方法.

(一)作業(yè)設(shè)計背景情境化

作業(yè)設(shè)計背景情境化是指練習與作業(yè)的優(yōu)化設(shè)計要突出作業(yè)的背景情境，如現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境、文化情境等.要把握背景情境創(chuàng)設(shè)和發(fā)展“四基”間的關(guān)系，背景情境中要創(chuàng)設(shè)有價值的問題，問題的設(shè)計又驅(qū)動著情境的展開，并決定著練習與作業(yè)的設(shè)計意圖的實現(xiàn)程度.如“函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)”課后鞏固原函數(shù)與導函數(shù)的圖像間關(guān)系問題，基于課本優(yōu)化設(shè)計如下的一組練習與作業(yè)問題：

1、如圖所示的是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖像，則下列判斷正確的是(C).

A．在區(qū)間(-2,1)上y=f(x)是增函數(shù)

B．在區(qū)間(1,3)上y=f(x)是減函數(shù)

C．在區(qū)間(4,5)上y=f(x)是增函數(shù)

D．在區(qū)間(-3,-2)上y=f(x)是增函數(shù)

2、若函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)在[a,b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的圖像可能是(A).

A. B. C. D.

3、若函數(shù)y=f(x)的圖像是下列四個圖像之一，其導函數(shù)y=f′(x)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的圖像是(B).

A. B. C. D.

4、設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)，將y=f(x)和y=f′(x)的圖像畫在同一個直角坐標系中，則下列圖中不可能正確的是(D).

A. B. C. D.

5、已知函數(shù)y=xf′(x)的圖像如圖所示(f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù))，下面四個圖像中y=f(x)的圖像大致是(C).

A. B. C. D.

6、已知函數(shù)y=f(x)的圖像如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是(B).

A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)

C.f′(xA)=f′(xB)D.不能確定

第6題圖 第7題圖 第8題圖

7、已知函數(shù)y=f(x)滿足f(4)=f(-2)=1，f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)，且導函數(shù)y=f′(x)的圖像如圖所示，則f(x)<1的解集是(-2,4).

本組練習與作業(yè)來自課本例習題及改編，優(yōu)化設(shè)計了有關(guān)圖像的問題情境，通過讀圖、識圖、想圖、用圖：理解導數(shù)與單調(diào)性要聯(lián)系到瞬時變化率，導數(shù)反應了函數(shù)f(x)在點x附近變化的快慢，導數(shù)是曲線上某點處切線的斜率.若在某區(qū)間f′(x)>0，則函數(shù)y=f(x)在此區(qū)間遞增；若在某區(qū)間f′(x)<0，則函數(shù)y=f(x)在此區(qū)間遞減；反之若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間遞增，則f′(x)≥0；若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間遞減，則f′(x)≤0.若f′(x)>0且遞增，則原函數(shù)y=f(x)圖像遞增且下凹；若f′(x)>0且遞減，則原函數(shù)y=f(x)圖像遞增且上凸；當f′(x)<0判定方法類同.

基于課本優(yōu)化設(shè)計圖像的問題情境，目的在于不僅讓學生在認識原函數(shù)與導函數(shù)的圖像關(guān)系上有所收獲，而且加深學生對函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)關(guān)系的理解，并體會其中蘊含的豐富的數(shù)學思想，提升數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).這也是優(yōu)化設(shè)計練習與作業(yè)背景情境的三個重要標準：有助于學生分析問題和解決問題；有助于學生了解知識的來龍去脈；有助于學生領(lǐng)悟問題蘊含的數(shù)學思想方法.優(yōu)化的練習與作業(yè)要具有一定的挑戰(zhàn)性，與所要考查的數(shù)學內(nèi)容有著本質(zhì)聯(lián)系.

(二)作業(yè)設(shè)問角度多樣化

作業(yè)設(shè)問角度多樣化是指結(jié)合課堂教學內(nèi)容，多角度優(yōu)化設(shè)計作業(yè)，讓數(shù)學學科核心素養(yǎng)在學生與作業(yè)問題的有效互動中得到提升.多角度設(shè)問可以引導學生以數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問題，用恰當?shù)臄?shù)學語言描述問題，用數(shù)學的思想方法分析和解決問題，在分析和解決問題的過程中，理解數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，促進數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.如“函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)”課后鞏固用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，基于課本優(yōu)化設(shè)計如下的一組練習與作業(yè)問題：

(設(shè)計意圖：利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟)

(設(shè)計意圖：單調(diào)區(qū)間只能是定義域的子集)

3、求函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間.【單調(diào)遞增區(qū)間(2,+∞)】

(設(shè)計意圖：在f(x)=f1(x)·f2(x)的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，f1(x)，f2(x)不一定都是單調(diào)遞增函數(shù))

(設(shè)計意圖：求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也就是在每段上求相應函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.評講作業(yè)時可引申探究，若沒有a=1這個條件，如何討論解答.)

(設(shè)計意圖：導函數(shù)出現(xiàn)分母，通分之后再寫單調(diào)區(qū)間更方便.評講作業(yè)時可引申探究，若沒有a<0這個條件，如何討論解答.)

6、求函數(shù)f(x)=x3-15x2-33x+6的單調(diào)遞增區(qū)間.【單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(11,+∞)】

(設(shè)計意圖：函數(shù)的兩個單調(diào)性相同的區(qū)間，一般不用“∪”連接)

7、設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中a>0，討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性.

(設(shè)計意圖：二次導函數(shù)的二次項系數(shù)是負的，單調(diào)區(qū)間容易求反.評講作業(yè)時可引申探究，若沒有a>0這個條件，如何討論解答.)

(設(shè)計意圖：利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；使函數(shù)解析式無意義的值，一般和函數(shù)圖像的漸近線相關(guān))

9、求證：當n∈N*，且n≥3時，2n>2n+1.【構(gòu)造f(x)=2x-2x-1，且x≥3時f′(x)=2x·ln2-2≥f′(3)>0】

(設(shè)計意圖：作差構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式)

本組練習與作業(yè)來自課本習題及變式，多角度優(yōu)化設(shè)計作業(yè)題組，讓學生經(jīng)歷判斷、推理、論證、反思等理性思維過程，明確用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟、答題規(guī)范、錯點盲點難點，完善學生的認知結(jié)構(gòu)，幫助學生理解概念、明晰算理、把握本質(zhì)，厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的關(guān)聯(lián).

基于課本優(yōu)化設(shè)計練習與作業(yè)的角度可以是：知識形成過程的關(guān)鍵點、解決問題策略的關(guān)節(jié)點、知識聯(lián)系的聯(lián)結(jié)點、問題變式的發(fā)散點、學生思維的最近發(fā)展區(qū).優(yōu)化設(shè)計對學生數(shù)學思維有啟發(fā)的作業(yè)題組，引導學生的作業(yè)活動，促進學生核心素養(yǎng)的提升.

(三)作業(yè)思維方法套路化

作業(yè)思維方法套路化是指練習與作業(yè)解答的“套路化”，這里的“套路”是指通性通法.通性通法是有著普遍性的數(shù)學思想方法，是對數(shù)學知識最高層次的概括與提煉.注重通性通法，淡化特殊技巧是新課標對于學生學習數(shù)學的基本要求.作業(yè)優(yōu)化設(shè)計注重通性通法，可以幫助學生學會數(shù)學地思考問題的方式，提高數(shù)學思維能力，培育理性精神.如“函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)”課后鞏固利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題，基于課本優(yōu)化設(shè)計如下的一組練習與作業(yè)問題：

(設(shè)計意圖：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是(x1,x2)，那么x1,x2必定是方程f′(x)=0兩個根)

(設(shè)計意圖：函數(shù)在(m,n)上單調(diào)遞增，不等式f′(x)≥0在(m,n)上恒成立)

3、若函數(shù)f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.【a∈[1,+∞)】

(設(shè)計意圖：函數(shù)在(m,n)上單調(diào)遞減，不等式f′(x)≤0在(m,n)上恒成立)

4、設(shè)a>0，函數(shù)f(x)=x3-ax在區(qū)間[1,+∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.【a∈(0,3]】

(設(shè)計意圖：討論函數(shù)在(m,n)上單調(diào)遞增或減，不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在(m,n)上恒成立)

5、如果函數(shù)f(x)=2x3+ax2+1在(-∞,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，求a.【a=-6】

(設(shè)計意圖：函數(shù)在(-∞,m)和(n,+∞)上單調(diào)遞增，在[m,n]上單調(diào)遞減，不等式f′(x)≥0解集是(-∞,m]和[n,+∞))

(設(shè)計意圖：若函數(shù)f′(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；若f′(x)<0，則f(x)為減函數(shù)；若函數(shù)f′(x)的符號不確定，則f(x)不是單調(diào)函數(shù)；一元三次函數(shù)f(x)在(m,n)上不單調(diào)，也就是有極值點，等價于函數(shù)f′(x)在(m,n)上存在零點.)

(設(shè)計意圖：函數(shù)在(m,n)上存在單調(diào)增區(qū)間，等價于存在x0∈(m,n)滿足f′(x0)>0)

8、若函數(shù)f(x)=x3+bx有三個單調(diào)區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍.【b∈(-∞,0)】

(設(shè)計意圖：三次函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，等價于函數(shù)f′(x)有兩個零點)

(設(shè)計意圖：函數(shù)單調(diào)性定義與導數(shù)，觀察不等式結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題.)

本組練習與作業(yè)來自高考及模擬題的改編，優(yōu)化設(shè)計突出通性通法，作業(yè)題以提升數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)為導向，通過學生對不同類型逆向思考問題的解答，幫助學生掌握解答此類問題的通性通法，積累數(shù)學思維的經(jīng)驗，感悟數(shù)學基本思想方法.

基于課本優(yōu)化設(shè)計練習與作業(yè)的關(guān)鍵是要把握好具有普遍指導意義的通性通法，要遵循學生的特點，按照新課標的理念要求，立足學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，摒棄應試式作業(yè)思維，積極探索，優(yōu)化設(shè)計出能促進學生改善和提高學習數(shù)學效益的課后練習與作業(yè).

(四)作業(yè)選擇差異分層化

新修訂的《普通高中數(shù)學課程標準》指出，高中數(shù)學課程面向全體學生，實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”.這就要求教師在布置作業(yè)時要尊重差異，找準學生學習的最近發(fā)展區(qū)，優(yōu)化設(shè)計階梯式分層作業(yè)，讓不同層次學生自由選擇，達到相應單元的學業(yè)要求，同時更深層次地喚醒學生對數(shù)學學習的需要，最終實現(xiàn)人人能作業(yè)、個個有發(fā)展.如“函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)”第二課時后，基于課本優(yōu)化設(shè)計了如下一組學業(yè)水平達標(必做題)與學科能力提升(選做題)的分層作業(yè)：

學業(yè)水平達標作業(yè)(必做題)：

1、函數(shù)y=x+xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是(B).

A.(-∞,e-2)B.(0,e-2)

C.(e-2,+∞)D.(e2,+∞)

2、若函數(shù)f(x)=ax3-x在R上是減函數(shù)，則(A).

3、若函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則y=f(x),y=g(x)的圖像可能是(B).

A. B. C. D.

4、下列區(qū)間是函數(shù)y=xcosx-sinx的一個單調(diào)遞增區(qū)間的是(B).

A.[-1,0]B.[-1,+∞)

C.[0,3]D.[3,+∞)

6、若函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的單調(diào)減區(qū)間為[-1,2]，則b= ,c= .【b=

8、已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+1-lnx.

學科能力提升作業(yè)(選做題)：

9、若函數(shù)f(x),g(x)是定義域為R的恒大于零的可導函數(shù)，且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0，則當a

A.f(x)g(x)>f(b)g(b)

B.f(x)g(a)>f(a)g(x)

C.f(x)g(b)>f(b)g(x)

D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

10、函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導函數(shù)，f(-1)=0，當x>0時，xf′(x)-f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍為(A).

A.(-∞,-1)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)

D.(0,1)∪(1,+∞)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)證明：當x>1時，f(x)

12、已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x)+ax.

本組練習與作業(yè)優(yōu)化設(shè)計了必做題與選做題，必做題由易到難、結(jié)構(gòu)由簡單到復雜、要求由低到高，學生人人都有會做的題，個個都有信心去嘗試，給不同層次的學生創(chuàng)造成功的機會.選做題作業(yè)設(shè)計注意了知識的交叉融合，提高了能力的要求，學生要跨過最近發(fā)展區(qū)一個個門坎，要“跳一跳，才能摘到果子”，解決這樣的問題有助于學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升.

基于課本優(yōu)化作業(yè)設(shè)計，把學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成滲透到日常教學中，需要教師深入理解數(shù)學學科核心素養(yǎng)，遵循學生認知規(guī)律，創(chuàng)設(shè)合適的問題，設(shè)計有效的數(shù)學作業(yè)活動，展示數(shù)學概念、結(jié)論、應用的形成發(fā)展過程.在新一輪課程改革中，需要每一位教師以創(chuàng)新的精神，積極探索優(yōu)化作業(yè)設(shè)計的途徑和方式，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.