常文武

平面幾何是一門較難的學(xué)問，因?yàn)橐活}一個解法，且輔助線不易想到．下面就是一些有一定難度的問題，我們看看如何另辟蹊徑，嘗試用折紙法探求解題思路．

題目一

如圖1，已知等腰直角三角形△ABC以及經(jīng)過直角頂點(diǎn)A的直線EF．如果BE∥CF，求證：AE2＋AF2＝BE2＋CF2．

分析此題目，與證明有關(guān)聯(lián)的4個量似乎離得比較遠(yuǎn)，尤其EB和FC這兩條線段．再來看結(jié)論像是和勾股定理有關(guān)系，但是圖中并沒有含這些邊的直角三角形．所以我們知道此題不添輔助線是斷難解出的．

但是如果我們用折紙來找思路，可以繞開輔助線，直搗黃龍！

將圖1打印在紙上，剪下來把玩一番（打印機(jī)不湊手，可以畫一個圖來剪）．

圖1

通過折疊我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，可以讓BE，EA，AF，F(xiàn)C這四條邊“聚首”：將AB折到AC上，同時外翻AB，AC成山折．結(jié)果如圖2．

通過這些折紙的操作，原來的三角形ABC不見了，出現(xiàn)了一個新的四邊形AFCE．所證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明 ∠EAF＝∠ECF＝90°．這個是不難證明的．證明留給讀者了！無獨(dú)有偶，我們再看一題．

圖2

題目二

如圖3，△ABC中，M是BC中點(diǎn)，ME⊥MF，且ME＝MF．求證：AE2＋EB2＝AF2＋FC2．

如同第一題一樣，需要構(gòu)造直角方能利用勾股定理．故技重施，打印圖形來把玩一番吧！結(jié)果發(fā)現(xiàn)，如果照下面四步折，問題的答案就浮出水面了．

圖3

1．過EF折一道山線，將角A折到后面．

2．過EM折一道谷線．

3．過MF折一道谷線．這時角B和角C翻折后會合為一點(diǎn)（為何能會合？）．

4．將紙片翻過來．

圖4

現(xiàn)在，我們從圖4的示意中看到結(jié)果是一個四邊形，并且有兩個相對的角是直角．于是和第一題一樣，問題迎刃而解了！證明過程留給讀者．

題目三

已知△ABC中，∠A＝100°，∠C＝30°，在AC上截取AD＝AB，連結(jié)BD．求證：BD＝AC．

同上題一樣，貌似簡單的題目一碰即知其難啃的本質(zhì)．不過當(dāng)紙片在手，任人“折磨”的時候，難題不免要低頭了．怎么折呢？常規(guī)思路是把兩條要證明相等的線段化到一起去比較．所以最自然的想法是折出∠ABD的角平分線將AB（長度等于AD）搬到BD上；同時，折出∠CDB的角平分線，將CD搬到DB上，結(jié)果發(fā)現(xiàn)如圖6的現(xiàn)象．

圖5

圖6

實(shí)驗(yàn)不但佐證了結(jié)論，也給了我們進(jìn)一步探尋的方向：兩個折起的角碰到一起的地方有什么講究？

打開紙片，折底邊中垂線，發(fā)現(xiàn)折痕剛好經(jīng)過會合點(diǎn)．

圖7

圖8

最終，我們嘗試發(fā)現(xiàn)有三個全等的等腰三角形（△ABG，△FBG，△CFD），如圖8所示那樣嵌入到三角形ABC中．BD邊上放置了底邊和一腰，而AC＝AD＋DC正好也等于該等腰三角形的底邊和一腰．至此問題全部解決．

簡證：在AB邊上向內(nèi)作等腰三角形ABG，使得∠ABG＝∠GAB＝20°．沿著BG翻折△ABG得到△FBG，則F在BD上（為什么？）．同時折痕BE交AC于E．

連結(jié)EF，易證 ∠AEB＝∠BEF＝60°．所以EF平分角∠BEC．又∠EBC＝∠C＝30°，故EF是等腰△BEC的對稱軸．沿著EF翻折△BGF得到△CDF．至此通過翻折兩次我們得到了三個全等的等腰三角形．剩下的就是簡單的算術(shù)題了．

題目四

如圖9，在△ABC中，∠A＝20°，AB＝AC，∠BCD＝50°，∠CBE＝60°．求證：∠BED＝30°．

此題看似友善，但卻是名副其實(shí)的難題，在網(wǎng)上流傳甚廣．有人用角格點(diǎn)來歸類，用正弦定理來求解．也有的人添正三角形輔助線來求解．無論如何過程和方法都不簡單．

然而，如果用折紙來探尋解題思路，就會有如庖丁解牛般“秒殺”．

步驟：

基于三黃瀉心湯的黃芩-大黃-黃連不同劑量配伍對黃芩苷和漢黃芩苷溶出的影響 ……………………… 鄧麗紅等（3）：334

1．打印這個圖，剪下備用．

2．試著找找紙片的形狀中隱藏的等量關(guān)系．不經(jīng)意間你會發(fā)現(xiàn)BC＝BD．發(fā)現(xiàn)這個相等量只要折出∠ABC的角平分線便可發(fā)現(xiàn)C，D重合（當(dāng)然，證明也很簡單）．如圖10．

圖9

圖10

圖11

3．這時，敏銳的觀察者會有一個發(fā)現(xiàn)：如圖11所示，這里有了三個60°角（為什么）！

4．驚喜之余，好事連連！通過翻折發(fā)現(xiàn)原圖中的DE在圖13中也是∠ADF的角平分線！

圖12

圖13

5．現(xiàn)在的思路形成了——如果觀察屬實(shí)，所有問題就迎刃而解：∠ADE＝50°，∠ABE＝20°，所證成立．可是第4步發(fā)現(xiàn)的角分線如何證明呢？

6．打開所有折痕，還有一個發(fā)現(xiàn)，BE是第一道折痕與BD的夾角的角平分線．

已知若干個角平分線，要證一條線也是角平分線．如此多的角平分線強(qiáng)烈暗示我們，要用三角形旁切圓性質(zhì)．

簡證：點(diǎn)E是△BDF的∠DBF的角平分線上的點(diǎn)，也是外角∠DFG角平分線上的點(diǎn)，所以它一定也在另一外角∠ADF的角平分線上．即得證．

上述4道題，借助折紙可以幫助我們探明解題的方向，甚至直接得出題目的解．真是“小小紙張，變化萬方”！同時也告訴我們，平時解題時，不妨膽子大一些，多嘗試，細(xì)分析，說不定就會有所收獲．

特別提醒：數(shù)學(xué)解題是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，找到了方法，還必須用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言將其嚴(yán)格證明出來，本文的論述只是解題思路的展示，嚴(yán)格的證明就請同學(xué)們自己寫一寫．