翟愛國 沙國祥

有人說：學(xué)數(shù)學(xué)就是玩數(shù)學(xué)概念的．無論多難的題目，最終都會回歸到課本上的基本概念．概念，是我們思維、判斷的細胞！尤其在做錯有關(guān)概念的題目后，應(yīng)及時翻開課本，進一步理解、鞏固基本概念．首先應(yīng)注重“看”：把課本上與錯題相關(guān)的概念完整地看一遍，看清概念是怎樣嚴格而簡練地敘述的，其作用是什么；其次還應(yīng)注重“想”：想清楚為何要引進這個概念，概念的本質(zhì)是什么，關(guān)鍵詞有哪些；最后更應(yīng)注重“練”：挑選部分有代表性的、含有這類概念的習題演練一遍，體會如何運用概念解決問題．例如，

下列說法中，正確的有幾個？

（1）周期函數(shù)必有最小正周期；

（2）因為cos（π＋1）≠cos1，所以π不是函數(shù)y＝cosx的周期；

（3）函數(shù)y＝sinx在（0，＋∞）上是周期函數(shù)；

（4）周期函數(shù)的圖象每隔周期區(qū)間長度重復(fù)出現(xiàn)．

同學(xué)們，你認為有幾個正確？正確答案為3個．（2）（4）的正確性容易判斷．（1）（3）哪個對呢？我們一起回歸課本．課本上函數(shù)周期性的概念是這樣表述的：

一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f（x＋T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．

根據(jù)函數(shù)周期性的定義可知，函數(shù)y＝sinx，存在一個非零的常數(shù)T＝2π，在定義域（0，＋∞）內(nèi)的每一個x值，都滿足f（x＋2π）＝f（x），所以函數(shù)y＝sinx在（0，＋∞）上是周期函數(shù)，因此（3）正確．許多同學(xué)出錯的原因是，沒有從概念出發(fā)來判斷，而是武斷地認為，如果是周期函數(shù)，它的定義域（0，＋∞）的左端不應(yīng)該是有界限的．其實有些教輔用書上也有關(guān)于函數(shù)周期性的錯誤結(jié)論．比如：周期函數(shù)的周期不止一個，若T是周期，則kT（k∈Z，k≠0）一定也是周期．這里忽略了這個結(jié)論的前提是函數(shù)的定義域必包含元素±T，±2T，±3T，±4T，……但像y＝sinx，x∈（0，＋∞）這樣的函數(shù)的定義域并不包含－2π．

（1）對嗎？課本上沒有說周期函數(shù)必有最小正周期，實際上并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期的．例如，任意的非零常數(shù)都是常數(shù)函數(shù)f（x）＝c（c常數(shù)，x∈R）的周期，但因為正數(shù)集合中沒有最小者，所以f（x）沒有最小正周期．

一些同學(xué)考試時，思維不嚴謹，也會出概念方面的差錯．又如這樣一道題：

函數(shù)y＝|tanx|的最小正周期是_________．

有的同學(xué)錯解為：

因為函數(shù)y＝tanx的最小正周期是π，所以函數(shù)y＝|tanx|的最小正周期是

由于受思維定式的影響，有的同學(xué)有一種不好的解題慣性：凡是題目相似的，都可以套用結(jié)論，不對題目認真分析、感悟題目的細微變化，從而看不清題目中包含的概念或原理的實質(zhì)．

在學(xué)習正切函數(shù)的周期性之前，研究過函數(shù)y＝|sinx|的周期性，由其圖象可知它的最小正周期是函數(shù)y＝sinx最小正周期的一半，由此類比作出推理：y＝|tanx|的周期就是y＝tanx周期的一半．其實這是錯誤的，我們可以作出函數(shù)y＝|tanx|的圖象，發(fā)現(xiàn)其最小正周期為π，與y＝tanx的周期一樣．錯解引發(fā)我們注重思維過程，如本題中借助圖象來澄清周期的概念，而不輕易套用結(jié)論．在數(shù)學(xué)反思中，批判性思維對把握概念的本質(zhì)有著不可低估的作用．

怎樣才算是透徹理解和靈活運用一個概念？主要是看我們能否將概念進行類比遷移．我們看一個例子：

已知定義域為（0，＋∞）的函數(shù)f（x）滿足：①對任意x∈ （0，＋ ∞），恒有f（2x）＝2f（x）成立；②當x∈ （1，2］時，f（x）＝2－x．給出如下結(jié)論：

① 對任意m∈Z，有f（2m）＝0；

② 函數(shù)f（x）的值域為［0，＋∞）；

③ 存在n∈Z，使得f（2n＋1）＝9；

④ “函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2k，2k＋1）”．

其中所有正確結(jié)論的序號是________．

本題的函數(shù)f（x），只給出了一小段區(qū)間上的解析式，十分抽象．在不了解題目中數(shù)學(xué)對象的特點和規(guī)律時，如果盲目硬做，勢必如霧里看花，水中望月．因此，現(xiàn)在解題的大方向是：了解這個函數(shù)，找出其特點和規(guī)律．

仔細觀察，可以發(fā)現(xiàn)條件①f（2x）＝2f（x）很像周期函數(shù)的條件f（x＋2）＝f（x），因此，我們可以將周期函數(shù)的概念進行類比遷移．類似于周期函數(shù)，由一個周期中的函數(shù)值和函數(shù)性質(zhì)可以推知其他周期中的函數(shù)值和函數(shù)性質(zhì)．借助條件②，根據(jù)已知的一個小區(qū)間上的函數(shù)表達式，由近及遠，推而廣之，探尋規(guī)律．

由此，我們找到規(guī)律（一般模式）：

當x∈（2m，2m＋1］時，f（x）＝2m＋1－x，其中，m＝0，1，2，…

如果我們作出f（x）的圖象的草圖（請你自己作），則更可以把f（x）的真面目看得真真切切、明明白白！由此不難判定正確答案是①②④．

在復(fù)習知識時，還要理清概念之間的聯(lián)系，把握哪些概念是基本的、核心的，哪些概念是派生的．例如，

（根據(jù)湖北省高考試題改編）定義在（－∞，0）∪ （0，＋∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列｛an｝，｛f（an）｝仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在 （－∞，0）∪（0，＋∞）上的如下函數(shù)：

①f（x）＝x2；②f（x）＝2x；③④f（x）＝ln|x|．

則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號為________．

這道題把函數(shù)概念、等比數(shù)列概念融為一體，揭示了二者的聯(lián)系，同時引入了一類新的函數(shù)的概念：“保等比數(shù)列函數(shù)”．

初見此題，你會對其中的新概念覺得陌生，其實只要以第①個函數(shù)f（x）＝x2探路，它相當于問：已知等比數(shù)列｛an｝，則各項平方后所得數(shù)列是否為等比數(shù)列？呵呵，原來不過如此！這類題目你一定做得很多，關(guān)鍵是運用等比數(shù)列的概念去判斷；又如第③個函數(shù)也可保數(shù)列等比性不變；由第④個函數(shù)f（x）＝ln|x|生成的數(shù)列｛ln|an|｝則是等差數(shù)列，一般不是等比數(shù)列，由此可以真正理解為何等比數(shù)列與等差數(shù)列有很多類似的性質(zhì)，它們通過對數(shù)概念和對數(shù)運算的性質(zhì)密切聯(lián)系在一起；第②個函數(shù)也可根據(jù)新的概念推知不是“保等比數(shù)列函數(shù)”．這里，要充分理解函數(shù)概念的本質(zhì)與作用：“對應(yīng)”，更準確地說是“變換”，即給出一個等比數(shù)列，對所有項進行平方（或開方、取對數(shù)）等變換，得到一些新數(shù)列，其中有些新數(shù)列還是等比數(shù)列，有些則不是．本題要求考生對函數(shù)、數(shù)列、對數(shù)的概念、作用以及幾種基本初等函數(shù)的性質(zhì)有深刻的理解，并具有綜合運用函數(shù)、數(shù)列知識解決問題的能力．

柏拉圖說：“優(yōu)秀是一種習慣．”好的思維習慣使人終身受益．希望同學(xué)們能養(yǎng)成用概念思考的習慣！