江蘇省海門實驗學校 黃 敏

高中教育階段的數(shù)學知識變得更加復雜、抽象，特別是證明類題目深奧難懂，證明過程也是復雜多變，可應用數(shù)學歸納法來輔助證明。數(shù)學歸納法屬于證明方法的一種，一般用來證明某一給定命題在局部或整個自然數(shù)范圍內(nèi)成立。在高中數(shù)學中應用數(shù)學歸納法，可以把抽象、復雜的證明題變得具體與簡單，幫助學生快速證明，讓他們學會多角度看待問題。

一、幾何命題應用數(shù)學歸納法，切實提高學生解題能力

在高中數(shù)學課堂教學中，解題是學生鞏固理解和深化掌握數(shù)學知識的主要方式，他們往往會遇到一些難度系數(shù)較高的幾何類問題，常規(guī)方法很難解決，這就需應用特殊至一般的解題方法來處理。對此，高中數(shù)學教師可指導學生應用數(shù)學歸納法分析和解決幾何命題，先鼓勵他們大膽提出猜想得出一般性結論，之后再把一般性結論應用至假設條件上，實現(xiàn)從特殊值內(nèi)容上的論證，并檢驗特殊性結論是否成立，切實提高學生的解題能力。

例如：有n個半圓的圓心在同一條直線m上，其中這些半圓兩兩相交，而且都位于直線m的同一側，那么這些交點能夠將半圓劃分成多少段圓弧？解析：假設這些交點能夠把半圓最多相互劃分成f（n）段圓弧，采用從特殊至一般的解題模式，逐步深入進行解析。第一種情況：如果n=2，那么兩個半圓有一個交點，可以把圓弧分成4段，即為f（2）=4=22。第二種情況：如果n=4，那么一共有4個半圓，它們有6個交點，能夠把圓弧劃分成16段，即為f（4）=16=42。以此為基礎，大膽猜想n個半圓能夠將圓弧劃分成f（n）=n2段。通過以上猜想和論證，學生能夠清晰發(fā)現(xiàn)：當滿足題目條件時的n個半圓，會被這些兩兩相交半圓的交點劃分成n2段圓弧。

上述案例，在解決該類問題時找出幾何元素十分關鍵，明確幾何數(shù)量所增加的內(nèi)容，從數(shù)據(jù)處理和幾何圖形兩個方面切入，探究其中包含的規(guī)律，應用數(shù)學歸納法解決問題。將歸納法與幾何圖形相結合，讓學生在幾何圖形閱讀與審視的過程中，學會篩選有效信息，并把信息與思想相對接，達成思想與模型的融合，真正在訓練中感受歸納思想的應用與特點。

二、證明問題運用數(shù)學歸納法，著重指導學生解題方法

不等式屬于高中數(shù)學知識體系的重要部分，在證明有關不等式問題時，教師可引導學生運用數(shù)學歸納法輔助證明，借此優(yōu)化整個證明過程，真正提升他們的解題速度與準確性。高中生在證明不等式問題時，假如進行直接證明，他們往往面臨較大的證明難度。要想提高學生的解題效率，高中數(shù)學教師需要從數(shù)學歸納法切入，靈活利用不等式中的可加性和傳遞性，假設各類特征或關系，著重指導他們的解題方法，使其快速證明問題。

比如：已知n是正整數(shù)，當n個整數(shù)a1，a2，a3……an的乘積為1，嘗試證明a1+a2+a3+……+an≥n。解析：如果n=1，能夠得出a1=1，那么命題成立。假設：n的值是k時命題仍然成立，假如k個正數(shù)的相乘結果是1，那么a1+a2+……+ak≥k。當n的值是k+1時，根據(jù)題意如果k+1個正數(shù)相同，那么它們都是1，和是k+1，能夠證明命題成立。假如k+1個正數(shù)不完全相等，其中一定有小于1或大于1的數(shù)，這與a1×a2×a3×……×ak+1=1相矛盾。能夠假設a1＞1，a2＜1，把a1×a2的積當成一個數(shù)，利用數(shù)學歸納法中的結論，得出a1+a2+……+ak+ak+1-1≥k，推理得到：a1+a2+……+ak+ak+1≥k+1，即為當n=k+1時，假設成立。

如此，在處理證明類問題時，學生應當具備開放性的視野，不能局限于純粹的計算內(nèi)容上，要結合數(shù)學概念，從假設出發(fā)推至目標，最終借助數(shù)學歸納法的優(yōu)勢順利解題。思想與方法是有限的，但是題目卻是無限的，在解答的過程中，我們要引領學生融會貫通、舉一反三，巧妙靈活地應用思想來診斷題目中的問題，提升審視高度。

三、論證問題采用數(shù)學歸納法，幫助學生梳理解題思路

在學習高中數(shù)學知識過程中，論證類題目主要考查學生的邏輯思維能力，教師在指導學生對題目進行論證時，可以引領他們采用數(shù)學歸納法，使其梳理出清晰的解題思路。在處理論證類問題過程中，數(shù)學歸納法主要體現(xiàn)在解題步驟分析方面，以此確保數(shù)學歸納法的合理應用。在高中數(shù)學試題中，論證類問題一般有兩種，其一是能夠運用數(shù)學歸納法先假設后證明，其二是無法使用數(shù)學歸納法，教師需有目的性地進行科學引導。

例如：在數(shù)列{an}中各項都不是0，其中前n項的和是Sn，a1=1，且Sn=×an×an+1，那么數(shù)列{an}的通項公式是什么？解析：根據(jù)題目中的條件，能夠輕松推理出a2=2，a3=3，a4=4……an=n的結論。當n=1時，a1=1成立。此時，能夠假設n的值是m，a1=1與Sm=m（m+1）成立，即為當m的值是n+1時，Sm=×am×am+1成立，amannN進一步推斷出m+1=2+1。因此，n=在 ∈ ＊的情況下均能夠判定成立。此外，在論證該類題目過程中，假如題目中給出的已知條件不夠多，教師需先幫助學生確定整體解題思路，明確題目中的數(shù)列是等比數(shù)列還是等差數(shù)列，讓他們在前提不變的情況下梳理出清晰的解題思路，從而求出正確答案。

在上述案例中，教師在指導學生解析論證類問題過程中，采用數(shù)學歸納法，能夠幫助學生整理出正確的解題思路，避免錯誤解題思路的出現(xiàn)，引領他們分析和探索問題的本質(zhì)。

在高中數(shù)學教學活動中應用數(shù)學歸納法，教師需堅持開放性的教學原則，從實際知識特點和內(nèi)容切入，結合學生的邏輯推理能力和學習意識，全面優(yōu)化教學策略，引導他們恰當采用數(shù)學歸納法解決幾何問題、證明問題和論證問題等。而教師在課前更要全面而深入地研究高考題目，精選、精練、精講每道題目，并啟發(fā)學生進行歸納和總結，最終達成授之以漁的效果。