四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會(huì) 張喜安

一、康托集合論的錯(cuò)誤的直接證據(jù)

康托集合論的基本觀點(diǎn)為一個(gè)無窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng)，部分可以和全體相等，這個(gè)觀點(diǎn)即為康托集合論的一個(gè)定理，為了指出康托集合論的錯(cuò)誤的直接證據(jù)，現(xiàn)在將康托集合論的這個(gè)定理及其證明引述如下：

定理 令a，b為實(shí)數(shù)，且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)，即等于c。

證明 令 f（x）=a+（b-a）x，顯然 f為 [0，1]→[a，b]的一個(gè)雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)也是c。

康托認(rèn)為上述定理的證明結(jié)果已經(jīng)表明，一個(gè)無窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng)，部分可以和全體相等。但是，事實(shí)并非如此，我們下面的驗(yàn)證將表明這一點(diǎn)。

令y=f（x）=a+（b-a）x，根據(jù)康托的上述定理，y=f（x）=a+（b-a）x為[0，1]→[a，b]的雙射函數(shù)，或者說，根據(jù)上述函數(shù)即可求出[0，1]→[a，b]的雙射函數(shù)，如果根據(jù)這個(gè)函數(shù)在一定的具體條件下得不到[0，1]→[a，b]的雙射函數(shù)，也就表明，這時(shí)[0，1]→[a，b]不存在雙射函數(shù)。

事實(shí)上，驗(yàn)證康托集合論的上述定理的結(jié)果是否正確是一件很簡(jiǎn)單的事情：根據(jù)函數(shù)y=f（x）=a+（b-a）x，并且令a=0，b=2，這樣，我們就可以根據(jù)兩種情況分別來驗(yàn)證康托的上述定理是否正確。

首先，我們來驗(yàn)證第一種情況，即[0，1]和[0，2]都在x軸上。根據(jù)康托求出[0，1]→[0，2]雙射函數(shù)的方法，根據(jù)函數(shù)y=f（x）=a+（b-a）x，則[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)應(yīng)該是y=2x，但是事實(shí)上，在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時(shí)候，顯而易見，函數(shù)y=2x并不是[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)，也就是說，在這種情況下，[0，1]→[0，2]就不存在雙射函數(shù)，因此，[0，1]和[0，2]只能是非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而不可能是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這也就是說，x軸上的集合[0，2]不可能和它的一個(gè)也在x軸上的真子集[0，1]發(fā)生一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這是一個(gè)客觀事實(shí)。這就驗(yàn)證了康托的上述定理在這種情況下是錯(cuò)誤的，因此，康托的這個(gè)定理就是錯(cuò)誤的，康托集合論也就是錯(cuò)誤的理論。而在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時(shí)候，它們只能是非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系的這個(gè)事實(shí)就是康托集合論的錯(cuò)誤的直接證據(jù)。

現(xiàn)在我們來分析[0，1]在x軸上，而[0，2]在y軸上的情況，根據(jù)康托的函數(shù)y=f（x）=a+（b-a），顯然，y=2x為[0，1]的雙射函數(shù)，根據(jù)康托的理論，[0，1]和[0，2]為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。按照康托的觀點(diǎn)，[0，1]和[0，2]都是實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，并且[0，1]是[0，2]的真子集。根據(jù)上面的分析，在[0，1]和[0，2]都在x軸上的情況下，[0，1]和[0，2]是非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而在[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上的情況下，[0，1]和[0，2]卻是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這顯然是互相矛盾的，如果[0，1]和[0，2]是實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，上述矛盾根據(jù)康托集合論的理論就無法解釋，因此康托的觀點(diǎn)，即[0，1]和[0，2]是實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合的觀點(diǎn)不能成立，唯一的解釋就是[0，1]和[0，2]是非實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合。下面我們就根據(jù)我的論文“康托集合論存在的矛盾”和“超實(shí)集合論”中提出的超實(shí)數(shù)點(diǎn)和超實(shí)函數(shù)的理論給出，為什么康托關(guān)于[0，1]和[0，2]是實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的以及為什么[0，1]和[0，2]一定是超實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，并且根據(jù)超實(shí)函數(shù)的理論給出康托集合論的錯(cuò)誤的間接證據(jù)。

二、康托集合論的錯(cuò)誤的間接證據(jù)之一

現(xiàn)在對(duì)超實(shí)數(shù)點(diǎn)和超實(shí)函數(shù)的理論簡(jiǎn)單介紹如下：

超實(shí)數(shù)點(diǎn)、超實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合和超實(shí)函數(shù)的定義：令X=x+dx為超實(shí)變量，則實(shí)變量x表示超實(shí)變量X在數(shù)軸上的位置，dx表示與超實(shí)變量X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的性質(zhì)（在這里，dx和微分的概念有本質(zhì)的區(qū)別），dx為無限小量，它小于任意正整數(shù)但是不等于0，它的幾何意義為超實(shí)變量X在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的無限小長(zhǎng)度。與超實(shí)變量X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)則為超實(shí)數(shù)點(diǎn)，與超實(shí)數(shù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的集合則為超實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，與超實(shí)變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)則為超實(shí)函數(shù)。

根據(jù)上面的定義，如果有實(shí)變量y和x，則有超實(shí)變量Y=y+dy和X=x+dx；如果有實(shí)函數(shù)y=f（x），則有超實(shí)函數(shù)Y=y+dy=f（X）=f（x+dx），則 dy=f（x+dx）-y=f（x+dx）-f（x），于是有重要公式dy=f（x+dx）-f（x）。下面我們來分析這個(gè)公式：

在上述公式中，x表示超實(shí)數(shù)點(diǎn)X在數(shù)軸上的位置，dx表示該點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)上述公式，如果有實(shí)函數(shù)y=f（x），則y軸和x軸上點(diǎn)的性質(zhì)就已經(jīng)確定了，兩個(gè)數(shù)軸上的點(diǎn)是超實(shí)數(shù)點(diǎn)，而并非實(shí)數(shù)點(diǎn)。這就是前面我們?yōu)槭裁凑f，康托關(guān)于[0，1]和[0，2]是實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，而事實(shí)上，它們是超實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合。再有，超實(shí)函數(shù)Y=f（x+dx），這時(shí)如果去掉dx，超實(shí)函數(shù)Y就轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)函數(shù)y=f（x），因此實(shí)函數(shù)f（x）是超實(shí)函數(shù)丟掉一個(gè)重要部分dx而得到的函數(shù)，從這個(gè)意義上看，實(shí)函數(shù)仍是一個(gè)失真函數(shù)。這樣，我們就有了和康托完全不同的對(duì)實(shí)函數(shù)的一個(gè)符合客觀事實(shí)的認(rèn)識(shí)。相反，康托對(duì)實(shí)函數(shù)的認(rèn)識(shí)是違背客觀事實(shí)的，后邊的論述將表明，這是造成康托集合論錯(cuò)誤的根本原因。

根據(jù)以上超實(shí)數(shù)點(diǎn)和超實(shí)函數(shù)理論的簡(jiǎn)介，我們來研究[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上的情況，根據(jù)康托的理論以及函數(shù)y=f（x）=a+（b-a）x，則y=2x為[0，1]的雙射函數(shù)，如果按照康托的觀點(diǎn)，在y=2x的條件下，[0，1]和[0，2]是實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，并且[0，1]是[0，2]的真子集，又存在y=2x為[0，1]的雙射函數(shù)，則[0，1]和[0，2]為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這是否可以說，在這種情況下，康托的上述定理成立？我們說，不能，因?yàn)楦鶕?jù)康托集合論的理論無法解釋為什么在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時(shí)候，[0，1]不存在雙射函數(shù)，[0，1]和[0，2]是非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這時(shí)，康托的上述定理不成立。再有，根據(jù)上面敘述的超實(shí)函數(shù)的理論得出的公式dy=f（x+dx）-f（x），在y=2x的條件下，dy=2dx。這表明，x軸上的點(diǎn)的性質(zhì)和y軸上點(diǎn)的性質(zhì)不同，因此，[0，1]不是[0，2]的真子集，也就是說，這時(shí)康托的上述定理不能成立。

通過對(duì)以上兩種情況的分析，康托的定理都不能成立，因此，康托集合論就是錯(cuò)誤的理論。因?yàn)樯鲜龇治龅慕Y(jié)果是根據(jù)超實(shí)函數(shù)的理論得出的，因此我們把上述分析的結(jié)果叫作康托集合論的錯(cuò)誤的間接證據(jù)。

三、康托集合論的錯(cuò)誤的間接證據(jù)之二

康托是依靠一一對(duì)應(yīng)的方法來研究?jī)蓚€(gè)無窮集合之間的關(guān)系的。所依靠的理論基礎(chǔ)就是兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義。為了從理論的高度來認(rèn)識(shí)康托的上述定義是錯(cuò)誤的，現(xiàn)在將上述定義引述如下：

定義 如果存在函數(shù)y=f（x）為集合A的一個(gè)雙射函數(shù)，則集合A和B為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

我在“數(shù)學(xué)大世界”雜志2017年5月上發(fā)表的論文“康托集合論為什么是錯(cuò)誤的理論”一文中已經(jīng)指出，在y=x的條件下，[0，1]和[0，2]是非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而在y=2x的條件下，則[0，1]和[0，2]為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。根據(jù)康托的觀點(diǎn)，這時(shí)[0，1]和[0，2]為兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，因此，它們不可能在一種條件下為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而在另外一種條件下就為非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。針對(duì)上述情況可以認(rèn)為，使用實(shí)函數(shù)是不可能正確判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，還是非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，或者說，針對(duì)上述的情況，可以認(rèn)為康托的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義是錯(cuò)誤的。下面我們根據(jù)超實(shí)函數(shù)的理論來進(jìn)一步認(rèn)識(shí)康托的上述的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義為什么是錯(cuò)誤的。

根據(jù)超實(shí)函數(shù)的理論的重要公式dy=f（x+dx）-f（x），對(duì)于[0，1]和[0，2]，在y=x的條件下，dy=dx，令dy=dx=q，在這里，q為一個(gè)確定的無窮小量。在上述條件下，函數(shù)y=x已經(jīng)決定了[0，1]和[0，2]上點(diǎn)的性質(zhì)，并且也決定了兩個(gè)集合間點(diǎn)的性質(zhì)之間的關(guān)系，在y=x的條件下，兩個(gè)集合的點(diǎn)的性質(zhì)是相等的關(guān)系，根據(jù)超實(shí)函數(shù)理論的公式dy=f（x+dx）-f（x），在y=2x的條件下，則dy=2dx，這時(shí)，[0，1]和[0，2]上的點(diǎn)的性質(zhì)則是不相等的關(guān)系。從以上分析可以知道，對(duì)于[0，1]和[0，2]在某個(gè)確定的函數(shù)y=f（x）的條件下，這個(gè)函數(shù)不僅決定了[0，1]和[0，2]上的點(diǎn)的性質(zhì)，而且也決定了[0，1]和[0，2]之間的點(diǎn)的性質(zhì)之間的關(guān)系，在不同的函數(shù)的條件下，上述兩個(gè)集合的點(diǎn)的性質(zhì)是不同的，而且它們的性質(zhì)之間的關(guān)系也不同。

要正確地判斷兩個(gè)集合是否為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，判斷的工具就不能決定或者改變判斷對(duì)象的性質(zhì)。而康托的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義，由于使用了實(shí)函數(shù)，就決定了或者改變了對(duì)象的性質(zhì)，因此，康托的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義，在上述情況下不可能正確地判斷兩個(gè)集合是否為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此，在上述條件下，康托的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義就是錯(cuò)誤的。而康托集合論的上述重要定理就是根據(jù)這個(gè)錯(cuò)誤的定義證明的，因此康托集合論的上述重要定理的證明就不能成立，則康托集合論也就是錯(cuò)誤的理論。這種間接的證據(jù)是在理論的高度上更深入地認(rèn)識(shí)了康托集合論的錯(cuò)誤的本質(zhì)所在。