徐輝

筆者曾執(zhí)導(dǎo)過一節(jié)公開課，題目是《圓錐曲線定義的應(yīng)用》，在這節(jié)課中，筆者采用了“給出問題一一思考解決問題——提出相關(guān)問題并探究”的教學(xué)方式，以圓錐曲線的定義為載體，通過聯(lián)想與類比的方法，培養(yǎng)學(xué)生主動提出問題并進(jìn)行進(jìn)一步探究的能力，取得了比較好的教學(xué)效果.

1 部分教學(xué)片段實(shí)錄

片段1 從定義出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從知識角度進(jìn)行類比與拓展，提出相關(guān)新的問題.

師：這位同學(xué)回答得非常好，他根據(jù)雙曲線的定義，利用雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離存在確定的關(guān)系這一性質(zhì)，把雙曲線上點(diǎn)A，B到焦點(diǎn)F₂的距離轉(zhuǎn)化為到另一個(gè)焦點(diǎn)F₁的距離來處理，從而使問題獲得解決，現(xiàn)在請大家思考，如果將這個(gè)問題中的雙曲線換為其它的圓錐曲線，你能提出一個(gè)什么樣的問題？

師：很好！有沒有哪位同學(xué)把這個(gè)問題的背景換為拋物線的？能得到一個(gè)什么樣的問題？（沉思）

師：漂亮！雖然拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)，但這位同學(xué)還是在前兩個(gè)問題的基礎(chǔ)上，通過自己的努力，得到了與前面好象不同但又神似的新問題，我覺得他的探索非常有意義，請大家看這樣的問題：

師：回答得非常完美，從以上幾個(gè)問題，我們可以看出，在我們解題的過程，適當(dāng)?shù)貙栴}的背景作一點(diǎn)改變，可能就會得到一個(gè)新的問題，從提出新問題到對新問題的研究，也正是我們增長知識、掌握方法、提高能力的一個(gè)重要的過程.

生5：我是這樣考慮的，由題意，點(diǎn)M具有兩重性，它既在直線l上又在橢圓上，故|MF₁|+|MF₂|=2a，要想求長軸2a最短的橢圓的方程，其實(shí)就是要求2a的最小值，于是此題就歸結(jié)于如何在直線l上找一點(diǎn)M使得|MF₁|+|MF₂|最小.

師：分析得非常精辟，你得出結(jié)果了嗎？

生5：得出了，如圖5，我先作點(diǎn)F₂關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P，求出它的坐標(biāo)P（-2，3），連接PF₁，則PF₁與直線l的交點(diǎn)即為M.

顯然|PF₁|即|MF₁|+|MF₂|的最小值.

師：剛才這位同學(xué)用點(diǎn)對稱求直線上點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和最小的方法完美地解決了這個(gè)問題，現(xiàn)在我們重新再來審視這個(gè)問題，你能得到一個(gè)類似的新的問題嗎？

生6：將問題背景換為雙曲線，可得到這樣的新問題：在直線l：x-y+2=0上任意取一點(diǎn)M，經(jīng)過M點(diǎn)且以點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)作雙曲線，求所作的所有雙曲線中實(shí)軸長2a最短的雙曲線的方程，

師：這樣的問題可以嗎？

生7：不能這么問.

師：為什么？

生7：如果這么問，這樣的雙曲線不存在，圖6，雙曲線2a=||MF₁-|MF₂||中，顯然|MF₁-MF₂||有最小值0，此時(shí)點(diǎn)M在y軸上，滿足條件的雙曲線顯然不存在，故這種問法要修正.

師：如何修正？

生7：修正為求最大值，

師：修正為求最大值真的可以了嗎？

生8：也不可以，因2a=||MF₁|-|MF₂||≤|F₁F₂|=2，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M為直線l與x軸交點(diǎn)時(shí)成立，但此時(shí)點(diǎn)M在線段F₁F₂的外部，這怎么可能呢？

師：是啊，這怎么可能呢？那怎么辦？

生9：可以把F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)的坐標(biāo)變一下，變?yōu)樵谥本€l與x軸的交點(diǎn)之外，比如設(shè)焦點(diǎn)F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）.如圖7.

師：好，那請大家繼續(xù)研究.

生10：由于2a =||MF₁|-|MF₂||，問題轉(zhuǎn)化為在直線l上取一點(diǎn)M，使2a =||MF₁|-|MF₂||最大，如圖8，作F₂關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)Q，連QF₁并延長交直線，于M，此時(shí)2a=||M|F₁-|MF₂||=||MQ|-|MF₁|≤|QF₁|，而|QF₁|是可求的，于是問題得到了解決.

師：那好，請大家完成這個(gè)問題的求解.

師：對于這個(gè)問題的解決，同學(xué)們都非常機(jī)智，我再問個(gè)問題，這個(gè)題目只能修改點(diǎn)F₁與F₂嗎？

生（笑）：不是的，還可以修改直線的位置，只要將直線與x軸的交點(diǎn)置于F₁與F₂之間即可.

師：剛才看到有同學(xué)對問題2有這樣的兩種解法，請大家一起欣賞：

2 教后反思

筆者以為，每一節(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂教學(xué)，都應(yīng)該圍繞兩條主線展開，一條是圍繞如何發(fā)展學(xué)生的知識與方法技能等方面來展開;另一條是圍繞如何發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)與情感體驗(yàn)等方面來展開，而這兩個(gè)方面的開展都離不開學(xué)生主動思考、積極參與到課堂教學(xué)的整個(gè)過程中來，某種程度來說，學(xué)生的積極參與遠(yuǎn)比僅教師的精妙講解效果要更好.

對于片段1，設(shè)計(jì)啟發(fā)讓學(xué)生提出的幾個(gè)思考題，每一個(gè)都是在上一個(gè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步思考而得到，每一個(gè)新的知識點(diǎn)的生成都是前一個(gè)知識點(diǎn)的自然而然的延展，不僅讓學(xué)生從已知到未知循序漸進(jìn)發(fā)現(xiàn)知識，同時(shí)也使學(xué)生通過猜想、探究等活動拓展了學(xué)生的思維，潛移默化地提高了他們的思維品質(zhì)，隨著問題的進(jìn)一步深入又將學(xué)生對知識的探討與思維的訓(xùn)練引上了更高的一個(gè)層次，好象所有知識的出現(xiàn)都是自然而然順理成章的，實(shí)際上又是以學(xué)生思維的一步步深化作為主線的，這樣就能很好的讓學(xué)生享受探究的成功體會到探究的樂趣，不斷刺激學(xué)生探究的欲望，同時(shí)也讓學(xué)生下一步的探究有一個(gè)適當(dāng)?shù)幕A(chǔ)，而且每一步探究都能體會到前面的探究是有價(jià)值的，是有作用的，從而更一步培養(yǎng)他們探究的欲望與能力，學(xué)生在對問題的探究中思維始終處于主動、積極、盎然的狀態(tài)之中，這樣的學(xué)習(xí)狀態(tài)顯然有助于學(xué)生學(xué)習(xí)效率與學(xué)習(xí)收獲的提高，也有助于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

對于片斷2，是在學(xué)生研究完一個(gè)關(guān)于橢圓的最值問題的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生提出一個(gè)類似的雙曲線的最值的問題，學(xué)生在提出這個(gè)問題的過程，經(jīng)歷過“出錯(cuò)-修正-再出錯(cuò)-再修正”這樣反復(fù)探究的心理歷程，在這個(gè)過程之中，學(xué)生始終處于一種積極參與主動探究的狀態(tài)之中，從而能促使學(xué)生對知識有更深一步的理解并讓他們享受到積極的情感體驗(yàn)，在“潤物細(xì)無聲”之中提高了他們思緒的品質(zhì)與探索的精神，這樣的體驗(yàn)也會是他們喜愛數(shù)學(xué)喜愛探索的一種極為重要的促進(jìn)因素，當(dāng)然，在探究的過程中，筆者始終堅(jiān)持對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，并提供必要的幫助，探究的主體一定是學(xué)生，這個(gè)探究的過程一定要放給學(xué)生，教師不能越俎代庖.

前面兩個(gè)片段，均通過一個(gè)問題的解決，啟發(fā)學(xué)生通過變換背景或是變換條件或是變換結(jié)論，用類比的方法主動提出一個(gè)問題，然后對自己所提出的問題進(jìn)行探究，并在探究的過程中根據(jù)實(shí)際情況的變化不斷調(diào)整自己所提出的問題，或者說是采用了“給出問題一思考解決問題一提出相關(guān)問題并探究”的教學(xué)方式，這樣設(shè)計(jì)希望能達(dá)成兩個(gè)目的：一是將幾種圓錐曲線的不同定義在思維上將之整合為一個(gè)整體，提高學(xué)生對于定義的應(yīng)用意識;二是通過聯(lián)想與類比這一過程，發(fā)展學(xué)生主動提出問題并進(jìn)行進(jìn)一步探究的欲望與能力，這樣的處理方法，最關(guān)鍵的地方在于如何讓學(xué)生“有感而發(fā)”，就是如何讓學(xué)生對已有的問題（或是問題解決的方法或是結(jié)論）能有所“感想”，并通過“感想”產(chǎn)生聯(lián)想，通過聯(lián)想引發(fā)探究，通過探究啟迪思維.

3 拓展思考

在前面所提的“給出問題一思考解決問題一提出相關(guān)問題并探究”的教學(xué)方式中，核心的要素是讓學(xué)生提出問題，提出問題的過程就是學(xué)生思考的過程，就是學(xué)生不斷提高的過程，筆者在培養(yǎng)學(xué)生提出問題能力的探索中，有這樣的幾點(diǎn)體會：

3.1 課堂教學(xué)中要讓學(xué)生敢于提出問題

這就要教師要與學(xué)生建立良好和諧的師生關(guān)系，營造一個(gè)民主的教學(xué)氛圍，師生關(guān)系民主了，學(xué)生敢想、敢說、敢做了，自然有利于學(xué)生靜下心來想辦法、開動腦筋提問題.

3.2 課堂教學(xué)中要讓學(xué)生能提出問題

這就要求要有培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識，創(chuàng)設(shè)提出問題的情景，善于用引導(dǎo)、暗示、激發(fā)等方式有意鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出新的問題并加以研究解決.

3.3 課堂教學(xué)中要給學(xué)生一個(gè)提出問題的期望

就是要讓學(xué)生感受到老師非常贊賞學(xué)生能提出新的問題，蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基說過：在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，因此，提出問題并加以探究是一個(gè)人與生俱來的心理追求，教師在教學(xué)過程中，要經(jīng)常給學(xué)生一個(gè)提出新問題的期望，鼓勵(lì)學(xué)生能主動地、積極地、有意識地去提出新的問題，這樣時(shí)間長了，學(xué)生便能將教師的期望內(nèi)化為自身的需要，從而形成他個(gè)人的提出問題并加以探索的優(yōu)良思維習(xí)性.

愛因斯坦說過，提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何高效的培養(yǎng)學(xué)生“提出問題”的能力，還需要我們不斷地探索.

參考文獻(xiàn)

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