浙江省麗水市青田縣船寮高級(jí)中學(xué) 章海波

根據(jù)現(xiàn)在的高中課本內(nèi)容，掌握和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)的概念和定義的理解和學(xué)習(xí)，要進(jìn)一步深化導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，需要了解和掌握函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)極大極小值問(wèn)題以及與函數(shù)極值相關(guān)的問(wèn)題?，F(xiàn)在高考的試題中導(dǎo)數(shù)相關(guān)題目越來(lái)越多，并且導(dǎo)數(shù)和函數(shù)、方程、幾何圖形等各方面的知識(shí)進(jìn)行有效結(jié)合，目的在于考查學(xué)生的綜合知識(shí)能力和分析能力。所以，學(xué)生必須在充分理解和掌握導(dǎo)數(shù)概念和幾何、函數(shù)意義的同時(shí)，學(xué)習(xí)和研究運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解答相關(guān)內(nèi)容方面的知識(shí)。如今把導(dǎo)數(shù)和其他知識(shí)相結(jié)合設(shè)計(jì)試題，必須要求學(xué)生提高分析能力和理解能力，學(xué)生因此需要對(duì)各種題型不斷進(jìn)行學(xué)習(xí)和練習(xí)，分析和研究其解題規(guī)律，從而能夠快速解答問(wèn)題。

一、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解函數(shù)極值問(wèn)題

函數(shù)極值問(wèn)題是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的重要知識(shí)，要求學(xué)生必須理解和學(xué)會(huì)應(yīng)用。在導(dǎo)數(shù)沒(méi)有被引進(jìn)來(lái)的時(shí)候，求解函數(shù)極值是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。函數(shù)的極大值和極小值問(wèn)題具有很多解題方法，并且在計(jì)算解題的過(guò)程中和很多的數(shù)學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系，所以，函數(shù)極值的求解是個(gè)綜合性很強(qiáng)的問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)的引入和應(yīng)用使函數(shù)極值的解題步驟簡(jiǎn)化了，難度降低了，同時(shí)增加了函數(shù)極值求解的思路和方法。通常進(jìn)行極大極小值問(wèn)題的數(shù)學(xué)試題設(shè)計(jì)時(shí)，都是求解一個(gè)區(qū)間的極大和極小值，這種試題也要應(yīng)用數(shù)學(xué)式子和圖形相結(jié)合的解題思路。并且把區(qū)間的端點(diǎn)和極值點(diǎn)進(jìn)行比較，用來(lái)確定極大極小值的取值位置。比如，已知函數(shù)f（x）=x2-x，求這個(gè)函數(shù)在R上的極值。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行解題是：f '（x）=2x-1，在導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，x＞1/2；在導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，x＜1/2。所以，x=1/2時(shí)，函數(shù)的極小值是-1/4，這個(gè)函數(shù)沒(méi)有極大值。

二、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題以前都是應(yīng)用圖象的方法進(jìn)行分析，就是利用函數(shù)圖象和增函數(shù)及減函數(shù)的概念進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的分析和判斷,這種方法不適合比較復(fù)雜的函數(shù)分析。在引入了導(dǎo)數(shù)的知識(shí)后，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性，相對(duì)就比較簡(jiǎn)單和容易,其分析過(guò)程中求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)當(dāng)作獨(dú)立的函數(shù)，把它和零比較，求得在不同區(qū)間的導(dǎo)數(shù)大小。比如，當(dāng)x在區(qū)間[a，b]時(shí)，如果導(dǎo)數(shù)大于零，那么原函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)x在區(qū)間[a，b]時(shí)，如果導(dǎo)數(shù)小于零，那么原函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減。

三、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解不等式

不等式和函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的兩個(gè)重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容，進(jìn)行考試或練習(xí)的習(xí)題設(shè)計(jì)過(guò)程中，多數(shù)情況下都是不等式和函數(shù)相結(jié)合來(lái)設(shè)計(jì)，其目的是為了對(duì)學(xué)生的分析能力和知識(shí)綜合運(yùn)用能力進(jìn)行考查。所以，函數(shù)和不等式的習(xí)題通常是數(shù)學(xué)的大題。隨著高考多元化出題的趨勢(shì)，多應(yīng)用二次函數(shù)的降次解決問(wèn)題，或根據(jù)二次函數(shù)圖像的分布分析和判斷不等式的性質(zhì)，進(jìn)行不等式求解。例如，已知函數(shù)f（x）設(shè)曲線y=f（x）和x軸的交點(diǎn)處的切線是y=4x-12，并且 f '（x）是 f（x）的導(dǎo)數(shù)，如果 f '（2-x）= f '（x），求函數(shù)f（x）。這個(gè)問(wèn)題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，就會(huì)減少運(yùn)算量，讓解題變得簡(jiǎn)潔。解：f '（x）=x2+2bx+c，因?yàn)閒 '（2-x）= f '（x），所以函數(shù)y= f '（x）的圖像是關(guān)于直線x=1對(duì)稱的，那么b=-1。又因?yàn)橹本€y=4x-12和x軸的交點(diǎn)是（3，0），所以，f（3）=0，并且f '（3）=4，所以9+9b+3c+d=0，同時(shí)9+6b+c=4，所以解得c=1，d=-3。求得函數(shù)通過(guò)這樣的分析和解答，可以加快解題的速度，提高學(xué)習(xí)的效率，能夠增強(qiáng)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣和積極性。

四、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決切線問(wèn)題

函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何含義是這個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決切線問(wèn)題就是把導(dǎo)數(shù)和幾何圖形的求解進(jìn)行結(jié)合，從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決，比如，指數(shù)曲線、圓錐曲線和三角曲線等方面的求解問(wèn)題都是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)進(jìn)行解決的。對(duì)解決比較復(fù)雜的切線問(wèn)題，也可以應(yīng)用老方法和老思路，同時(shí)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可以降低解題難度，增加解題效率，給解決切線問(wèn)題拓寬了思路，增加了解題方法。因?yàn)槿藗児潭ㄋ季S方式和思維方法，高中學(xué)生通常在進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中會(huì)有很多的限制和約束，關(guān)于解決問(wèn)題的思路和方法同樣也有一定的固定方式。導(dǎo)數(shù)思維的引入就大大提高和創(chuàng)新了數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法和思路，使分析解決問(wèn)題的難度降低了，步驟簡(jiǎn)化了。比如，向量、立體幾何以及解析幾何等方面問(wèn)題進(jìn)行求解時(shí)可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，雖然傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題思路和方法也可以解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可是和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題解決的思路和方法相比較，顯得具有一定局限性，方法過(guò)程相對(duì)復(fù)雜。例如：已知偶函數(shù)f（x），當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ln（-x）+3x，那么曲線y= f（x）在點(diǎn)（1，-3）處的切線方程是什么？應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解題：因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）= f（-x）=lnx-3x，所以f '（x）=1/x-3，則f '（1）=-2。所以在點(diǎn)（1，-3）處的切線方程是y+3=-2（x-1），也就是y=2x-1。通過(guò)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，降低了解題的難度和步驟，讓學(xué)生不再厭煩數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析和解決，使學(xué)生可以加快解題速度和解題的正確率，加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感，提高其學(xué)習(xí)的能力和質(zhì)量。

綜上所述，導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中是重要的知識(shí)內(nèi)容，發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的作用，可以提高教師課堂的教學(xué)效率，增加教學(xué)方法，不等式、函數(shù)及幾何與導(dǎo)數(shù)進(jìn)行多角度的結(jié)合，尋找導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時(shí)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)在教學(xué)過(guò)程的應(yīng)用，可以加強(qiáng)不同知識(shí)間的聯(lián)系，提高教學(xué)效率和效果，同時(shí)可以拓寬學(xué)生的解題思路，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性。