■河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué)

高效的高考復(fù)習(xí)備考,必須準(zhǔn)確把握高考的最新動(dòng)向。最新動(dòng)向的把握是建立在對(duì)新課標(biāo)思想的深入理解、對(duì)最新考綱的深入研究和對(duì)近年高考試題細(xì)致歸納總結(jié)基礎(chǔ)上的。筆者在對(duì)近十年各地高考試卷深入研究的基礎(chǔ)上,對(duì)高考立體幾何進(jìn)行合理的總結(jié)和預(yù)測(cè),力圖揭示立體幾何高考命題新動(dòng)向,為高效復(fù)習(xí)備考支招。

一、立體幾何命題特點(diǎn)

立體幾何是高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要模塊,是高考考查考生的空間感、圖形感、語(yǔ)言轉(zhuǎn)化能力、幾何直觀能力、邏輯推理能力的主要載體。

通過(guò)研究近年各地高考試卷,不難發(fā)現(xiàn)有關(guān)立體幾何的命題較穩(wěn)定,難易適中,體現(xiàn)出“一小一大”的特點(diǎn)。即1～2道小題,1道大題,占17～22分,小題靈活多變且有一定的難度,其中常有組合體的三視圖問(wèn)題和開放型試題；而解答題大多屬中檔題,其中包含在幾何體中考查直線與平面的平行與垂直、空間角與距離的計(jì)算等。高考命題既注意“知識(shí)的重新組合”,又采用“小題綜合化,大題分步設(shè)問(wèn)”的命題思路,朝著“重基礎(chǔ)、直觀感、空間感、探究與創(chuàng)新”的方向發(fā)展。

二、客觀題命題規(guī)律

1.以三視圖為載體考查空間想象能力。

由幾何體的三視圖識(shí)別幾何體,由幾何體的三視圖得到幾何體的直觀圖,由幾何體(組合體)的三視圖求幾何體的表面積和體積等,成為新課標(biāo)高考必考的內(nèi)容。

2.點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的問(wèn)題。

直線與平面的位置關(guān)系是研究立體幾何的核心,主要考查對(duì)相關(guān)定義、定理的深刻理解,以及對(duì)符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言三者之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換的能力,以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)居多,多為判斷命題真假、判斷充要關(guān)系、探求動(dòng)點(diǎn)軌跡等。

3.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題。

球與簡(jiǎn)單多面體的組合體問(wèn)題,較好地體現(xiàn)了對(duì)空間感的考查,在客觀題中一直是考查的熱點(diǎn)。

三、解答題命題規(guī)律

1.以多面體或組合體為載體,證明線線、線面、面面的平行與垂直等位置關(guān)系或計(jì)算空間角和距離。

證明線、面之間的位置關(guān)系常需經(jīng)過(guò)多次轉(zhuǎn)換才能獲得解決。這類試題以判斷、證明、計(jì)算為主要形式來(lái)著重考查考生的空間想象能力、邏輯思維能力和計(jì)算能力。

2.空間位置關(guān)系(特別是平行與垂直)及其逆向問(wèn)題或探索性問(wèn)題。

逆向問(wèn)題往往是已知線面的一些位置關(guān)系或已知空間量的大小,要證明或探索另外一些線面的位置關(guān)系是否成立。這類問(wèn)題的一般解決方法是:假設(shè)存在,然后運(yùn)用條件推理計(jì)算,若求出,且沒有矛盾,則存在,問(wèn)題解決；若導(dǎo)出矛盾,則否定假設(shè),說(shuō)明不存在,導(dǎo)出矛盾的過(guò)程就是說(shuō)明理由的過(guò)程。這類給考生留有較大探索余地的試題,已成為近幾年高考試題的一個(gè)新亮點(diǎn)。

3.與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)相關(guān)的最值問(wèn)題。

與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)相結(jié)合是立體幾何考查的一個(gè)新熱點(diǎn),必須密切關(guān)注。

四、備考策略

1.依據(jù)考綱,深挖教材,狠抓基礎(chǔ),控制難點(diǎn),突出重點(diǎn),形成體系。

在備考過(guò)程中,首先要針對(duì)高考要求,結(jié)合自己的實(shí)際,夯實(shí)基礎(chǔ)。準(zhǔn)確理解和把握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,把握它們的內(nèi)涵和外延,明確定理的內(nèi)容、作用等,把知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化。對(duì)于重點(diǎn)內(nèi)容要熟練掌握:直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理,對(duì)它們之間位置關(guān)系的判定,各種空間角及距離的求解,空間向量的應(yīng)用等。

2.兩類方法,兩點(diǎn)注意,規(guī)范訓(xùn)練,過(guò)程落實(shí),不斷積累,總結(jié)規(guī)律。

幾何法:(1)求角的問(wèn)題時(shí),注意緊扣定義,將空間角(異面直線所成角、線面角、二面角)轉(zhuǎn)化為平面上兩相交直線所成的角來(lái)處理,并可以歸納為:求角先找角,三角形中去解決。若是當(dāng)余弦值為負(fù)值時(shí),異面直線所成角、線面角應(yīng)取銳角。(2)線面平行與垂直相關(guān)的問(wèn)題,注意轉(zhuǎn)化的思想方法:面面平行(垂直)轉(zhuǎn)化為線面平行(垂直),再轉(zhuǎn)化為線線平行(垂直)。(3)在求距離時(shí),即求有關(guān)點(diǎn)集上任兩點(diǎn)間的距離的最小值,可轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)度的最小值,而尋求垂足落點(diǎn)的位置是求距離問(wèn)題的關(guān)鍵。對(duì)于距離可歸納為:距離多是垂線段,放到三角形中去計(jì)算,若是垂直難作出,等積等高來(lái)轉(zhuǎn)化。(4)在計(jì)算體積時(shí),要從多方位、多角度看問(wèn)題,要注意用“換底法”來(lái)求其體積,并注意“割補(bǔ)法”的運(yùn)用,而“等體積法”則是求解立體幾何問(wèn)題的特殊方法,用它可求點(diǎn)到平面的距離,異面直線間的距離,多面體的內(nèi)切球的半徑等。

向量法:在一定條件下把證明與計(jì)算問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為空間向量的計(jì)算問(wèn)題,使復(fù)雜問(wèn)題程序化、公式化。利用空間向量坐標(biāo)解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)位置建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系或基底,難點(diǎn)是在坐標(biāo)系中表示已知點(diǎn)(或向量)的坐標(biāo),通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題代數(shù)化。向量法和坐標(biāo)法解決立體幾何問(wèn)題,為立體幾何問(wèn)題的解決建立了新的角度,是新課標(biāo)倡導(dǎo)的重點(diǎn)。向量的知識(shí)體系可以從向量法和坐標(biāo)法中體現(xiàn)出來(lái),要從整體上加深理解。

3.加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想、方法的訓(xùn)練。

貫穿于立體幾何中的化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想,以及立體幾何特有的平移法、模型法、反證法、翻折法、割補(bǔ)法和等積變換法等都極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)的思想和方法。

由于高考數(shù)學(xué)加強(qiáng)了對(duì)能力的考查,所以在立體幾何的備考過(guò)程中,應(yīng)重視空間想象能力、邏輯思維能力、化歸轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng),堅(jiān)持培養(yǎng)我們的識(shí)圖、用圖能力,做題時(shí)應(yīng)多畫、多看、多想。