顧蓓青，王蓉華，徐曉嶺

（1.上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院，上海 201620；2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海200234）

0 引言

設(shè)隨機(jī)變量X服從位置參數(shù)μ、刻度參數(shù)λ的兩參數(shù)Cauchy分布（記為C（μ，λ）），其密度函數(shù)f（x）和分布函數(shù)F（x）分別為：

Cauchy分布因其期望和方差都不存在而受到廣泛關(guān)注，其在物理學(xué)等眾多領(lǐng)域也有著十分重要的應(yīng)用價(jià)值。關(guān)于Cauchy分布的一些特別性質(zhì)，可查閱文獻(xiàn)[1-3]。同時(shí)，也有很多文獻(xiàn)對(duì)Cauchy分布的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了一些研究。文獻(xiàn)[4]討論了矩估計(jì)和極大似然估計(jì)等一些常用的點(diǎn)估計(jì)方法對(duì)Cauchy分布C（μ，1）并不適用，從而提出了利用中位數(shù)的方法得到參數(shù)μ的估計(jì)。文獻(xiàn)[5]通過(guò)局部矩估計(jì)的方法得到Cauchy分布C（0，λ）的參數(shù)λ的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)，同時(shí)也說(shuō)明了該方法的局限性。文獻(xiàn)[6]給出了Cauchy分布C（μ，λ）的兩個(gè)參數(shù)的分位數(shù)估計(jì)。文獻(xiàn)[7]在全樣本場(chǎng)合下研究了兩參數(shù)Cauchy分布C（μ，λ）的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。

本文給出了兩參數(shù)Cauchy分布C（μ，λ）在全樣本場(chǎng)合下參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和定數(shù)截尾場(chǎng)合下參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)方法，并通過(guò)Monte-Carlo模擬考察了點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的精度。

1 全樣本場(chǎng)合下兩個(gè)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X～C（μ，λ）的一個(gè)容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本觀察值記為x1，x2，…，xn，次序統(tǒng) 計(jì) 量 記 為X（1）≤X（2）≤ … ≤X（n），其 次 序 觀 察 值 記 為則Y～C（0，1），而Y1，Y2，…，Yn與來(lái)自標(biāo)準(zhǔn) Cauchy 分布C（0，1）總體的容量為n的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本同分布，將其從小到大排序記為：Y（1），Y（2），…，Y（n）。

1.1 參數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)

令μ的函數(shù)

其中，若n為偶數(shù)若n為奇數(shù)時(shí)，

于是?（μ）是僅含有參數(shù)μ的樞軸量，又?（μ）為μ的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，且：

由此，給定顯著性水平α，樞軸量）的上側(cè)1-α/2，α/2分位數(shù)記為和，通過(guò)Monte-Carlo模擬可以得到不同樣本容量所對(duì)應(yīng)的樞軸量）的上側(cè)分位數(shù)值。從而，參數(shù)μ的置信水平1-α的區(qū)間估計(jì)為：

1.2 參數(shù)λ的區(qū)間估計(jì)

構(gòu)造如下僅含有參數(shù)λ的樞軸量：

又：

于是T（λ）是僅含有參數(shù)λ的樞軸量，又T（λ）是λ的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)。

給定顯著性水平α，樞軸量T（λ）的上側(cè)1-α/2，α/2分位數(shù)分別記為T(mén)1-α/2和，通過(guò)Monte-Carlo模擬可以得到不同樣本容量所對(duì)應(yīng)的樞軸量T（λ）的上側(cè)分位數(shù)值。從而，參數(shù)λ的置信水平1-α的區(qū)間估計(jì)為：

1.3 模擬分析

給定置信水平1-α=0.90 ，取樣本容量n=10（5）30 ，參數(shù)真值取為μ=-5，0，5，λ=0.5，通過(guò)1000次Monte-Carlo模擬得參數(shù)μ，λ的區(qū)間估計(jì)的平均下限、平均上限和平均區(qū)間長(zhǎng)度，同時(shí)統(tǒng)計(jì)1000次模擬所得的區(qū)間估計(jì)包含參數(shù)真值的次數(shù)，結(jié)果如表1所示，從中可以看到上述所給出的求區(qū)間估計(jì)的方法是可行的。

表1 參數(shù)μ，λ的區(qū)間估計(jì)

2 定數(shù)截尾場(chǎng)合下兩個(gè)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)

設(shè)X（1），X（2），…，X（r）為來(lái)自總體X～C（μ，λ）的一個(gè)容量為n的前r個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，其次序觀察值記為則Y～C（0，1），而Y（1），Y（2），…，Y（r）與來(lái)自標(biāo)準(zhǔn) Cauchy分布C（0，1）總體的容量為n的前r個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量同分布。

注意到，如給定0＜p＜1，由文獻(xiàn)[8]可知樣本的p分位數(shù)X*（p）可定義為：

其中，＜pn＞為pn的整數(shù)部分。

2.1 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

進(jìn)而參數(shù)μ的點(diǎn)估計(jì)為：

則參數(shù)λ的點(diǎn)估計(jì)為：

進(jìn)而參數(shù)μ的點(diǎn)估計(jì)為：

其中[]表示取整函數(shù)。

由于該情況下的樣本量較少，估計(jì)的效果不甚理想，會(huì)受到樣本值的影響，在此僅舉一模擬算例說(shuō)明該方法的應(yīng)用：取n=20，r=4，參數(shù)真值取μ=0，λ=1，通過(guò)Monte-Carlo模擬產(chǎn)生的一組截尾樣本為-4.2946，-4.2491，-1.9168，-0.92，則?=0.0207 ，?=0.6835 。

取樣本容量n=10（5）30以及定數(shù)截尾數(shù)r，參數(shù)真值取μ=0，λ=1，通過(guò)10000次模擬得到參數(shù)μ，λ的點(diǎn)估計(jì)的均值與均方差，結(jié)果列于表2。

表2 參數(shù)μ，λ的點(diǎn)估計(jì)

2.2 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

2.2.1 參數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)

令μ的函數(shù)

其中，若r為偶數(shù)若n為奇數(shù)時(shí)，

于是?（μ）是僅含有參數(shù)μ的樞軸量，又?（μ）為μ的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，且：

由此，給定顯著性水平α，樞軸量）的上側(cè)1-α/2，α/2分位數(shù)記為和，通過(guò)Monte-Carlo模擬可以得到不同樣本容量n和定數(shù)截尾數(shù)r所對(duì)應(yīng)的樞軸量?（μ）的上側(cè)分位數(shù)值。從而，參數(shù)μ的置信水平1-α的區(qū)間估計(jì)為：

2.2.2 參數(shù)λ的區(qū)間估計(jì)

構(gòu)造如下僅含有參數(shù)λ的樞軸量：

又：

于是T（λ）是僅含有參數(shù)λ的樞軸量，又T（λ）是λ的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)。

給定顯著性水平α，樞軸量T（λ）的上側(cè)1-α/2，α/2的分位數(shù)分別記為和，通過(guò)Monte-Carlo模擬可以得到不同樣本容量n和定數(shù)截尾數(shù)r所對(duì)應(yīng)的樞軸量T（λ）的上側(cè)分位數(shù)值。從而，參數(shù)λ的置信水平1-α的區(qū)間估計(jì)為：

2.2.3 模擬分析

給定置信水平1-α=0.90，取樣本容量n和定數(shù)截尾數(shù)r，參數(shù)真值取為μ=1，λ=1，通過(guò)1000次Monte-Carlo模擬得參數(shù)μ，λ的區(qū)間估計(jì)的平均下限、平均上限和平均長(zhǎng)度，同時(shí)統(tǒng)計(jì)1000次模擬所得的區(qū)間估計(jì)包含參數(shù)真值的次數(shù)，結(jié)果如表3所示。

3 算例分析

例1：文獻(xiàn)[5]提供了如下算例，取樣本容量n=10，刻度參數(shù)λ的真值取為5，通過(guò)Monte-Carlo模擬產(chǎn)生10個(gè)服從C（0，λ）分布的隨機(jī)數(shù)如下：

2.3008 ，3.9756，-6.4165，11.9341，16.4812，-0.2428，-7.9044，-6.3136，14.5784，-1.9155

文獻(xiàn)[5]得到了參數(shù)λ的局部矩估計(jì)為：?=5.0953；利用文獻(xiàn)[7]的方法可以得到：μ的點(diǎn)估計(jì)為?=X*（0.5）=1.029 ，λ的點(diǎn)估計(jì)為=X*（0.5）-X*（0.25）=7.3426 ，=X*（0.75）-X*（0.5）=10.9051，=5.6939；利用本文方法可以得到：在置信水平1-α=0.90下，μ的區(qū)間估計(jì)為[- 4.4215，9.0711] ，λ的區(qū)間估計(jì)為[0 . 1705，6.5199] 。

例2：取樣本容量n=30，定數(shù)截尾數(shù)r=26，通過(guò)Monte-Carlo模擬產(chǎn)生一組服從C（3，2）分布的隨機(jī)數(shù)如下：

-3.71106,-2.40515,-1.21566,-0.424847,0.296015,0.518243,0.744813,1.49002,1.90678,1.98354,1.99277,2.27703,2.47186,2.86832,2.8724,3.02303,3.27706,3.3678,3.69184,4.29,4.54302,4.63784,4.91429,5.53984,7.47502,8.44948

利用本文方法可以得到：μ的點(diǎn)估計(jì)為?=X*（0.5）=2.9477 ，λ的點(diǎn)估計(jì)為?=X*（0.75）-X*（0.5）=1.9666 ，在置信水平1-α=0.90下，μ的區(qū)間估計(jì)為[2 . 2743，4.4547] ，λ的區(qū)間估計(jì)為[0 .0383，2.0716] 。

4 結(jié)論

針對(duì)兩參數(shù)Cauchy分布C（μ，λ），在全樣本場(chǎng)合下通過(guò)構(gòu)造樞軸量分別得到參數(shù)μ和λ的區(qū)間估計(jì)，通過(guò)Monte-Carlo模擬考察了區(qū)間估計(jì)的精度，從模擬結(jié)果來(lái)看，該區(qū)間估計(jì)方法具有可行性。此外，在定數(shù)截尾場(chǎng)合下，通過(guò)分位數(shù)得到參數(shù)μ和λ的點(diǎn)估計(jì)，并利用樞軸量法得到參數(shù)μ和λ的區(qū)間估計(jì)，同時(shí)通過(guò)Monte-Carlo模擬分別考察了點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的精度，從模擬結(jié)果來(lái)看，點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的方法都是可行的。最后，通過(guò)兩個(gè)模擬算例說(shuō)明了本文方法的應(yīng)用。