王增輝，趙彥軍，姜淑珍，黃東巖

（1.東北師范大學 人文學院，長春 130117;2.吉林大學 工程仿生教育部重點實驗室，長春 130025）

0 引言

Gompertz曲線是一種生長曲線，已廣泛用于描述動物的生長規(guī)律和植物中某些物質(zhì)（例如大豆中的蛋白質(zhì)以及脂肪）的增長規(guī)律。在人口學和經(jīng)濟領(lǐng)域的研究中也有廣泛的應用。Gompertz曲線是英國統(tǒng)計學家和數(shù)學家Gompertz通過大量觀察和研究提出來的。它的一般表達式為：

其中a＞0，b＞0，k＞0。

關(guān)于Gompertz曲線中的參數(shù)a，b，k的估計。目前的估計方法是先用三點法或四點法來估計參數(shù)a，而參數(shù)b與k的估計則是將式（1）取對數(shù)然后化為曲線模型。最后用普通最小二乘法來估計。本文給了一種估計Gompertz曲線參數(shù)估計的加權(quán)最小二乘法。通過實例分析可知，本方法相對于不加權(quán)的最小二乘法估計法得到的Gompertz曲線擬合效果有明顯的提升。

1 Gompertz曲線參數(shù)估計的普通最小二乘法

1.1 Gompertz曲線參數(shù)a估計的三點法、四點法

將式（1）變形為：

設(shè)給定一組數(shù)據(jù) （ti，yi）（i=1，2，…，n）。這里假設(shè)xi為等距。即設(shè)xi+1-xi=h（i=1，2，…，n-1），h為常數(shù)。若n為奇數(shù)，取三個點，并帶入式（2）中可解出：

則由式（3）或式（4）可估計出Gompertz曲線中的參數(shù)a。

1.2 Gompertz曲線參數(shù)b與k的最小二乘估計

對式（2）兩端取自然對數(shù)得：

式中的參數(shù)A與B可用最小二乘法來估計，其估計公式為：

其中：

t_=于是可估計出Gompertz曲線中的參數(shù)

2 Gompertz曲線參數(shù)估計的加權(quán)法

上面估計Gompertz曲線中參數(shù)b與k時，是將式（1）兩端兩次取對數(shù)化為線性模型（6）來估計的，由于做了變換，可能破壞等方差的假定，因此應用普通最小二乘法估計式（6）中的參數(shù)A與B（從而估計出非線性模型（1）中的參數(shù)b與k），可能不理想。對此本文給出了一種估計參數(shù)b與k的加權(quán)最小二乘法，下面介紹這種加權(quán)最小二乘法，這是式（1）中的參數(shù)用三點法或四點法來估計。

由多元函數(shù)極值原理有：

解此方程組可得A與B的加權(quán)最小二乘估計為：

顯然若取wi相等，則式（8）就是式（7），因此式（7）是式（8）特例。

對于權(quán)wi的選取有多種方式，由于權(quán)wi與模型（1）化為線性模型時所做的變換Y=f（y）有關(guān)。即權(quán)wi與成正比。由于可以取權(quán)：

由此可取權(quán)：

在實際計算時，可將式（8）寫成如下公式：

對給定一組數(shù)據(jù) （ti，yi）（i=1，2，…，n），將數(shù)據(jù)代入式（9）中可估計出式（1）中的參數(shù)b=eA，k=-B。

3 Gompertz曲線擬合精度的度量

關(guān)于曲線擬合的精度的度量，通常選用相關(guān)指數(shù)R2和殘差平方和Se來度量。

相關(guān)指數(shù)R2定義為：

殘差平方和定義為：

顯然殘差平方和Se越小,說明曲線擬合越好，而相關(guān)指數(shù)R2越接近于1，說明曲線擬合的越好。

4 實例

下面通過實例介紹Gompertz曲線參數(shù)的加權(quán)方法，并給出用普通方法求出的Gompertz模型與本文方法給出的模型進行精度比較。

4.1 實例一

首先探討大豆的葉面積隨時間增長的規(guī)律問題。數(shù)據(jù)如表1所示、

由于共有10個數(shù)據(jù)，即n=10,因此可用四點法來估計Gompertz曲線中的參數(shù)a，選用四個數(shù)據(jù)，y1=0.4，y5=3.0，y6=3.6，y10=4.8，代入公式（4）中可估計出=4.8624，再將表1中的數(shù)據(jù)yi進行變換：

表1 大豆的葉面積指數(shù)y（t）與生長日數(shù)t之間的關(guān)系

并列入表1中，并求出權(quán)wi列入表1中，同時可計算出：

由公式（8）可估計出：

于是可估計出Gompertz曲線參數(shù)的加權(quán)估計為=eA?=21.32003，k?=-B?=0.0948，因此得描述大豆面積的Gompertz曲線為：

為了比較加權(quán)參數(shù)估計方法與不加權(quán)參數(shù)估計方法所得的Gompertz曲線的擬合精度，本文求出不加權(quán)的Gompertz曲線模型：

由表1中的數(shù)據(jù)可求出：

由公式（7）可估計出：

于是求出b與k的估計值分別為：

由此得到描述大豆面積生長規(guī)律的不加權(quán)Gompertz曲線模型為：

現(xiàn)在比較一下參數(shù)加權(quán)估計與不加權(quán)參數(shù)估計得到Gompertz模型（12）與（13）的擬合精度，用模型（12）與（13）分別計算出在各ti處的預測值分別列入表1中，再由公式（10）與（11）求出：

由此可看出加權(quán)參數(shù)估計方法的擬合精度比不加權(quán)參數(shù)估計方法的擬合精度有明顯提高，若從殘差平方和的角度看，加權(quán)方法的誤差是不加權(quán)的誤差的三分之一。

4.2 實例二

某地區(qū)1993—2010年某種家電銷售量分析，數(shù)據(jù)來源于《中國統(tǒng)計年鑒》,具體數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 家電銷售量（千臺）y（t）與年份t之間的關(guān)系

家電銷售量隨時間增長規(guī)律和趨勢比較符合用Gompertz曲線模型來擬合。由于數(shù)據(jù)總數(shù)為18為偶數(shù)，首先用公式（4）來估計模型中的參數(shù)a，因此選用四個數(shù)據(jù)y1=1.2，y9=178，y10=246，y18=478代入公式（4）中可求a的估計值為a=500.6 ，然后將已知數(shù)據(jù)tilna=ln500.6，yi，代入公式（9）中可求出A加權(quán)=3.0137，B加權(quán)=-0.3332，于是可估計出b加權(quán)=eA加權(quán)=20.3629，k加權(quán)=-B加權(quán)=0.3332。從而得到描述家電銷售規(guī)律的Gompertz曲線模型為：

下面再用普通最小二乘法求出描述家電銷售規(guī)律的Gompertz曲線模型。

由于參數(shù)a已由前面估出。只需估計參數(shù)b與k,將數(shù)據(jù)代入式（7）中可估計出A不加權(quán)=3.0027，B不加權(quán)=-0.3002 ，得到不加權(quán)k不加權(quán)=-B不加權(quán)=0.3002。于是求出不加權(quán)情況下描述家電銷售規(guī)律的Gompertz曲線模型為：

現(xiàn)在對兩種不同方法得到的Gompertz曲線的擬合精度進行比較。由公式（10）與（11）可計算出兩個模型的殘差平方和與相關(guān)指數(shù)分別為：

由此可以看出加權(quán)參數(shù)估計方法的精度在顯著提高，從殘差平方和可知不加權(quán)的殘差平方和是加權(quán)的殘差平方和的15倍之多。

5 結(jié)論

（1）本文給出的Gompertz曲線參數(shù)估計的加權(quán)方法相比不加權(quán)方法，其參數(shù)估計的精度都有所提高，特別是當給出的測試數(shù)據(jù)波動比較大時，精度提高更為明顯。

（2）若在公式中取權(quán)wi=w（常數(shù)）（i=1，2，…，n），則公式（8）就是公式（7），因此公式（7）是公式（8）的特例。

（3）關(guān)于權(quán)wi（i=1，2，…，n）的選擇有多種方法，例如可以選擇wi=，也可以選擇wi=，k為常數(shù)，由權(quán)wi的選取不同，其參數(shù)估計的結(jié)果也不同。