☉廣東省深圳市龍華區(qū)教育科學研究院 林日福

學生日常學習應用題時，常由于數(shù)學閱讀能力較弱影響他們對問題的準確理解，對生活理解的欠缺影響他們將生活問題轉化為數(shù)學問題的數(shù)學化進程，代數(shù)式運用能力不足影響他們順利建模，等等，都讓他們對應用題的學習產生畏難情緒.本文以北師大版教材八年級下冊數(shù)學“分式方程”一節(jié)中“分式方程的應用”一課的教學為例，探討應用題的教學.

一、教學簡錄

環(huán)節(jié)1：溫故知新，了解模型

題1：小同每小時打2400字，打x小時可以打______個字.

題2：小同打一篇4800字的文章需要x小時，那么他每小時可以打______個字.

題3：小同每小時打x字，打一篇4800字的文章需要______小時.

題4：小同打一篇文章需要2小時，那么他每小時完成這篇文章的______.

簡評：給出一組現(xiàn)實生活問題，教師通過追問幫助學生理解工作總量、工作時間及工作效率等概念的含義，并在解決問題過程中理解三者之間的數(shù)量關系，為后面的順利建模搭好支架.

環(huán)節(jié)2：探索新知，建立模型

例題：某市政工程隊準備修建一條污水處理管道，為了能趕在汛期前完成，采用了新技術，實際每天比原計劃多修10m，結果原計劃修建400m管道與實際修建500m管道所用的時間相等.求原計劃每天修建管道多少米.

師：這是一個什么樣的問題？

生1：應用題.

師：如何解決這樣的問題？

生2：先審題，找出題中的已知、未知、需要求什么，以及等量關系，再列方程并解答.

師：此題已知什么？求什么？等量關系是什么？你是怎樣理解的？

生3：已知“實際每天比原計劃多修10m，原計劃修建400m管道與實際修建500m管道所用的時間相等”，求原計劃每天修建管道多少米.等量關系有：（1）實際每天修建管道的長度=原計劃每天修建管道的長度+10m；（2）原計劃修建400m管道所用的時間=實際修建500m管道所用的時間.

生4：“實際每天比原計劃多修10m”指的是工作效率之間的關系，“原計劃修建400m管道與實際修建500m管道所用的時間相等”指的是工作時間之間的關系.

師：題中哪些語言反映了這兩個等量關系呢？

生5：“實際每天比原計劃多修10m”反映了第一個等量關系，“原計劃修建400m管道與實際修建500m管道所用的時間相等”反映了第二個等量關系.

師：接著該怎么解決此題？

生6：設原計劃每天修建管道x m，這樣實際每天修建管道（x+10）m，再分別表示出原計劃修建400m管道的時間及實際修建500m管道的時間.分別為由等量關系（2）得方程

生6：用原計劃的工作總量（400m）除以原計劃的工作效率（x m）就是原計劃修建400m管道所用的時間，用實際的工作總量（500m）除以實際的工作效率（（x+10）m）就是實際修建500m管道所用的時間

圖1

師：你對他的解答過程有什么看法？

生8：列出來的是分式方程，解分式方程要檢驗，他沒有檢驗.

師：是的，此題還欠缺檢驗這一步驟.由剛才的分析知此題有兩個等量關系，他根據等量關系（2）列出方程，那么根據等量關系（1）也可以列出方程嗎？

生9：設原計劃修建400m管道需x天，那么原計劃的工作效率是天，實際的工作效率是/天，由等量關系（1）得方程

師：對前面幾種解法，你們有些什么想和大家一起分享的？

生10：求解應用題時首先得審題，找出題中的等量關系，然后根據等量關系列出方程.如果有多個等量關系，可選擇其中一個等量關系列出方程.解出方程后還需要檢驗.

師：非常好，理清題中各量及量與量之間的關系，找出等量關系是解題的關鍵.因此，審題非常重要，解題前要細心閱讀問題，準確把握題意.當題中的量比較多時，我們還可以借用表格幫助梳理.

設原計劃每天修建管道x m.

1.3 HER-2、EGR-1的免疫組織化學染色結果判定 HER-2的陽性結果主要定位于細胞膜或者細胞漿內，其陽性反應表現(xiàn)棕黃色。根據細胞核或者細胞漿染色的深淺以及染色的范圍來進行判定，結果判定如下：⑴按照陽性細胞百分數(shù)：陰性則0分，陽性細胞≤5%計1分，6%-50%記2分，50%-75%計3分，＞75%則4分。⑵按照切片染色強弱來評分：棕褐色表現(xiàn)3分，棕黃色表現(xiàn)2分，淡黃色表現(xiàn)計1分，無色記錄0分。免疫組化陽性分4個等級 （計算方法：⑴⑵）：0-2分表現(xiàn)為-（陰），3-4分為+，5-8分為++，9-12分為+++。

請大家填寫表1.

表1

師：你有些什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生11：如表2：

生12：如表3：

表2

表3

師：請和大家說說你的想法及思維過程.

生12：我先填出表格的第一行和第二行左邊的第一個空格，由等量關系（2）得實際工作時間也是天，填出表格右下角的空格，由工作效率得實際工作效率為m/天），便可填出剩下的空格，再由等量關系（1）可列方程

師：太妙了，你們知道妙在什么地方嗎？

生13：列出的方程是整式方程而不是分式方程，解這個方程比較容易，且不用對方程的解進行檢驗.

簡評：解答問題得先知道這是一個什么樣的問題，分析之后試著“干干看”，接著看“干得怎么樣”，最后反思“有什么收獲”，這是一個完整的解決問題的過程.教師引導學生反思思維過程，感悟解題收獲，既可幫助那些仍不太理解的學生理解，又能激發(fā)新思考，引發(fā)新發(fā)現(xiàn).在這個過程中，他們收獲了新知識，學會了數(shù)學思考，感悟了問題中所蘊含的模型思想、轉化思想等數(shù)學思想方法.

環(huán)節(jié)3：學以致用，掌握模型

題1：某市政工程隊準備修建一條長1200m的污水處理管道，為了能趕在汛期前完成，實際工作效率比原來提升了25%，結果比原計劃提前6天完成任務.求原計劃每天修建管道多少米.

題2：某市政工程隊準備修建一條長1200m的污水處理管道，在修建完400m后，為了能趕在汛期前完成，采用了新技術，工效比原來提升了25%，結果共用26天完成任務.求原計劃多少天完成此項任務.

題3：某市政工程隊準備修建一條污水處理管道，為了能趕在汛期前完成，實際工作效率比原來提升了25%，結果比原計劃提前6天完成任務.求原計劃需多少天才能完成此項任務.

簡評：題1變化了例1的工作效率的表述方式及工作時間的關系；題2在題1的基礎上變化了工作時間的關系及完成整項工作的方式；題3沒有給出工作總量，需要學生用抽象的數(shù)字“1”來表示；題4為自編題，不同學生可能編寫出不同背景的問題.4道題形成層層遞進的問題組，突出建立模型這個教學重點，讓不同的學生得到不同的發(fā)展.

二、教學思考

1.在數(shù)學閱讀中學會數(shù)學思考

解決問題首先要審題，通過審題來獲取問題中的數(shù)學信息，理解每個信息的數(shù)學含義，這是解答應用題的第一步，也是成功解題的基礎.展示出問題后，教師營造安靜的課堂環(huán)境，與學生一起專注于默讀問題.讀題的過程中，指導學生勾畫出問題中的一些關鍵詞、句，必要時還讓學生重讀，邊讀邊進行一些自問自答式的思維活動.如：這是一個什么樣的問題呢？都有些什么已知量與未知量呢？題中的這個量表示的是什么呢？這些量之間滿足什么樣的數(shù)量關系呢？問題中還給出了什么樣的數(shù)量關系呢？這個問題和以往做過的什么問題有聯(lián)系呢？等等，都能有效地培養(yǎng)學生數(shù)學閱讀的習慣與能力，促進他們在閱讀中進行數(shù)學思考.

隨著學生認知水平、閱讀能力的發(fā)展，審題活動就應逐漸由學生自主獨立完成.這樣，學生在閱讀的過程中才會真正挖掘問題中的數(shù)學信息，思考問題的數(shù)學含義，切身體會問題所蘊含的數(shù)學思想，學會數(shù)學思考、數(shù)學分析、數(shù)學探索.但據筆者日常課堂觀察發(fā)現(xiàn)，不少教師在教學應用題時，把應由學生審題的事給包辦了.這種僅展示閱讀及思維結果的教學，只能讓學生感到問題的神秘、老師的神奇，卻無助于學生獨立解決問題能力的培養(yǎng).

2.在解決問題中學會數(shù)學表達

學生能否正確運用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界，建立數(shù)學模型，關鍵在于學生是否真正從數(shù)學上理解了這些從生活中抽象出來的概念，以及這些概念之間的數(shù)學關系.

（1）讓數(shù)學回歸生活.

數(shù)學來源于生活，同時是對現(xiàn)實世界的高度抽象，將抽象的數(shù)學與現(xiàn)實生活建立聯(lián)系，是學生理解數(shù)學應用題中各個量的含義，以及量與量之間的數(shù)學關系的重要方法.而生活經驗的欠缺，給他們的數(shù)學理解增加了不少困難.因此，教學中常需要讓數(shù)學回歸生活，通過創(chuàng)設一些與之相關的現(xiàn)實生活情景，讓學生結合自身的生活經驗，舉出例子來解釋概念的含義，可使抽象的數(shù)學概念生活化、直觀化、具體化，有助于學生正確建立模型.

（2）為理解提供支架.

教學實踐表明，對于已學習過的概念，通過運用概念解決具體問題也有助于他們對概念的回憶與認知加工，幫助學生加深對概念的理解.例如本課的“工作總量”“工作效率”等概念，學生在小學已學習過，但對它們的數(shù)學含義，不少學生仍是模糊的.如對“環(huán)節(jié)1”中的題3，剛開始時有部分學生錯誤認為表示的是工作效率.本環(huán)節(jié)教學結束后，我們通過課堂觀察發(fā)現(xiàn)，學生已對“工作總量、工作效率、工作時間”等概念有了更清晰的認識，有效地減輕了他們后續(xù)學習的認知負擔.

（3）在追問中促進理解.

研究發(fā)現(xiàn)，教師通過追問等提問方式，能幫助學生更好地理解概念，把握概念包含的數(shù)學關系，并運用數(shù)學符號表達出來，進而正確建立數(shù)學模型.這對于學習困難的學生來說，教學效果更為明顯.如本課里，教師在學生審題、思考后提出：這是一個什么樣的問題？此題已知什么？要求什么？等量關系是什么？你是怎樣理解的……分別是怎么得到的……在追問中，學生逐漸認清問題的類型、解決問題的目標、每一個概念的含義，以及題中的數(shù)量關系，等等，降低了學生建立方程、解答問題的難度.更為重要的是，教師的追問，還展示出了較為完整的探索及思維過程，有助于培養(yǎng)與發(fā)展學生的數(shù)學思維能力與問題解決能力.

（4）在運用中學會表達.

學生的數(shù)學表達是學生的而不是老師的，因而學生的數(shù)學表達必須在學生運用知識解決問題中培養(yǎng).“數(shù)學活動經驗的獲得，需要學生參與做數(shù)學的活動.［1］”在學生已能較好地理解問題中的數(shù)學概念、數(shù)量關系后，運用數(shù)學符號表達出這些概念及數(shù)學關系，建立數(shù)學模型，這是一個抽象概括及符號化的過程，需要學生的親身參與，努力嘗試，切身感受.當然，強調由學生獨立嘗試進行數(shù)學表達，并不是要否認教師的教學示范與教學指導作用.相反，在培養(yǎng)數(shù)學表達能力上，教師應該也必須適時、適度發(fā)揮應有的示范作用，當學生表達出現(xiàn)困難時要適時、適度提供支持，以幫助學生逐漸學會數(shù)學表達.

3.在歸納感悟中學會數(shù)學評價

日常教學中，不少教師在給出問題解決過程后便馬上進入練習鞏固環(huán)節(jié)，卻忽視引導學生對解題的思維過程進行反思、感悟與評價，這大大降低了問題解決的教學價值.

（1）在評價中培養(yǎng)嚴謹思維的意識.

當學生運用新學習的數(shù)學知識解決問題時，數(shù)學表達常存在嚴謹性不足的問題.如剛學習幾何推理時，大部分學生都犯思路不清、邏輯關系不明、表達不嚴謹?shù)儒e誤.教學時，一方面需要教師教學示范，另一方面，更需要讓學生把問題充分暴露出來，再組織思考與評價，逐漸完善.本課里，生7展示的解答過程欠缺了“檢驗”這一步，評價時生8指了出來.我認為，這更能彰顯出培養(yǎng)學生養(yǎng)成“檢驗”的意識，以及培養(yǎng)他們的數(shù)學學習自我監(jiān)控能力的教學價值.

（2）在評價中培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務，應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中.［2］”學生解決問題后，他們已對問題有了較全面、深入的思考，此時教師再創(chuàng)設合適的問題情境，組織學生對解題的思維過程進行反思、感悟、評價，常能激發(fā)出他們的創(chuàng)新思考，獲得新想法.本課里，在評價生7的解答過程后，教師提問：“根據等量關系（1）可以列出方程嗎？”之后，教師引入表格，讓學生運用表格梳理題中的已知量、未知量，以及各量之間的數(shù)量關系.此時學生自然而然地生疑：此題都已解答完了，老師怎么還提出這樣的問題呢？老師給出的表格又有什么用呢？激發(fā)了他們再次深入思考的興趣，進而產生了新發(fā)現(xiàn)，獲得了新解法.經過這樣的過程，他們對列方程模型解應用題的本質，即用代數(shù)式從不同的角度表示出同一個量，這種“算兩次”的方法，有了更深刻的認識，有利于培養(yǎng)與發(fā)展他們的創(chuàng)新意識與能力.

4.在鞏固應用中掌握模型

數(shù)學應用題教學，其根本目標是培養(yǎng)學生學會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，感悟模型思想，發(fā)展數(shù)學思維.這樣，讓學生將模型應用于新的問題情境，實現(xiàn)對所學習模型的進一步抽象、概括性理解，這是應用題教學的必備環(huán)節(jié).

（1）在變式練習中實現(xiàn)對模型的概括性理解.

“變式”是教師為實現(xiàn)學生能掌握模型、運用模型所采用的常見的教學策略.本課里，教師通過改變例題中的工作效率、工作時間或工作總量等已知條件，由易到難，由具體到抽象，達成了讓學生熟練運用分式方程的數(shù)學模型解決工程問題這個教學目標.

但數(shù)學教學要“讓不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展［2］”.本課的變式，仍局限于問題情境的內部，對問題情境中具體的量或數(shù)量關系做一些變化，沒能深入到該模型的本質，這對于哪些學有余力的學生來說是不夠的.工程問題的數(shù)學模型是“A（工作總量）=B（工作效率）×C（工作時間）”，這也是很多其他生活實際問題的數(shù)學模型.如行程問題（路程=速度×時間）、商品銷售問題（總利潤=單件利潤×銷售量）、銀行利息問題（總利息=利率×期數(shù)），等等.這為我們對問題進行變式提供了更多的選擇、更廣闊的空間.教學中，如果能呈現(xiàn)一些數(shù)學模型相同而應用背景不同的問題，必將有助于學生把握該模型的本質，實現(xiàn)對模型的概括性理解.

（2）在自主編題中提升學生的概括水平.

組織學生根據所給的數(shù)學模型自主編題，可以提高學生對模型的概括水平.我們知道，要基于原模型進行自主編題，需要對模型有較為豐富的、全面的把握與認識，對原題的解法有較深的理解，同時對社會生活也有比較豐富的認識，等等.例如本課的練習題4，學生要能編題，他們首先要對數(shù)學模型“A=B×C”有較深刻的認識，至少，他們也應能較好地把握模型“工作總量=工作效率×工作時間”中各量的具體含義及它們之間的關系.

當然，或許學生的編題僅僅是對剛學習的例題做一些淺層次的變化.但在分享經驗、教師的指導與鼓勵下，他們所編寫出的問題必將會越來越豐富，越來越有創(chuàng)意，越來越能反映出模型的本質.而這正是學生概括性理解模型的具體表現(xiàn)，也是應用題教學所追求的教學價值之所在.