☉江蘇省如皋經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)初中 章小健

今年我有幸參加了2018年南通市中考數(shù)學(xué)試卷的評閱工作.今年數(shù)學(xué)試卷以“課標(biāo)”為依據(jù)，以“教材”為題源，充分體現(xiàn)了“遵循課標(biāo)，緊扣課本，重視能力，貼近生活，控制難度”五大命題原則.第28題（壓軸題）以教材“最短路徑模型”構(gòu)造新定義，考查對定義的理解、運(yùn)用和探究，試題入口熟悉又寬敞，解法多樣，探索性強(qiáng)，是課本經(jīng)典題目和題型的升華，讓經(jīng)典題有了新意，更有活力.

本文擬對第28題進(jìn)行深入分析，并結(jié)合試卷中所反饋的信息，談?wù)剬?shù)學(xué)教學(xué)的啟示與思考.

一、試題呈現(xiàn)

【定義】如圖1，A、B為直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P.連接AP，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A、B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”.

（2）若直線l垂直于x軸，點(diǎn)P（m，n）是點(diǎn)A、B關(guān)于直線l的等角點(diǎn)，其中m＞2，∠APB=α，求證：tan

（3）若點(diǎn)P是點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=ax+b（a≠0）的等角點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，當(dāng)∠APB=60°時，求b的取值范圍（直接寫出結(jié)果）.

二、參考答案

（1）C.

（2）如圖3，因?yàn)辄c(diǎn)P（m，n）是點(diǎn)A、B關(guān)于直線l（直線x=m）的等角點(diǎn)，由定義可知A、A′關(guān)于直線x=m對稱，所以PA=PA′，∠APG=∠BPH.

所以∠A=∠A′.又∠APB=∠A+∠A′=α，所以∠A=

作BH⊥直線x=m，垂足為H.

可得∠AGP=∠BHP=90°，所以△AGP △BHP，則

三、優(yōu)秀解法

本題第（2）問，敘述簡約，呈現(xiàn)簡潔，解法靈活多樣，現(xiàn)給出不同于參考答案的一些解法，供參考.

解法1：如圖4，延長A′A交y軸于點(diǎn)G.設(shè)A′B交y軸于點(diǎn)H，連接GH.

因?yàn)辄c(diǎn)P（m，n）是點(diǎn)A、B關(guān)于直線（l直線x=m）的等角點(diǎn)，由定義可知A、A′關(guān)于直線x=m對稱，可求得A（′2m-2，），PA=PA′，所以∠PAA′=∠A′.又∠APB=∠PAA′+∠A′=α，所以∠A

設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b（k≠0）.把A（′2m-2，）、B（-2，-）代入，得：

解法2：如圖6，作PG⊥y軸于點(diǎn)G.設(shè)直線A′B交y軸于點(diǎn)H，則∠GPH=∠A′.

分析：解法1和解法2中，學(xué)生利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出了帶參數(shù)的直線解析式，再利用直線的解析式求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示出線段的長度（用含m或n的代數(shù)式表示），從而在直角三角形中，利用三角函數(shù)的定義求解.此方法學(xué)生易下手，貼近學(xué)生思維.

解法3：如圖7，設(shè)A′B交x軸于點(diǎn)M，直線x=m交x軸于點(diǎn)N，連接MN.

yA′+yB=0，所以A′、B關(guān)于點(diǎn)M對稱.

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得xM=m-2，所以MN=2.

分析：學(xué)生緊靠定義實(shí)現(xiàn)條件的轉(zhuǎn)化，求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)B、A′關(guān)于點(diǎn)M對稱，從而求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出MN的長，根據(jù)要證結(jié)論，考慮包含的直角三角形，直接利用定義轉(zhuǎn)化成線段的比值，問題得證.解法獨(dú)特，頗具新意.

解法4：如圖8，連接AB.

yA′+yB=0，所以A′、B關(guān)于點(diǎn)M對稱.

O、M分別是BA、BA′的中點(diǎn)，所以O(shè)M是△BAA′的中位線.

解法5：如圖9，過A′、B分別作x軸和y軸的垂線，交于點(diǎn)H，A′H交x軸于點(diǎn)N.

yA′+yB=0，所以A′、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，M是BA′的中點(diǎn).又N為AH的中點(diǎn)，所以MN是△A′BH的中位線.

分析：解法4和解法5中，學(xué)生從定義出發(fā)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)對稱，進(jìn)而構(gòu)造出三角形的中位線，利用中位線求出OM或MN的長，使問題得證.

解法6：如圖10，因?yàn)辄c(diǎn)P（m，n）是點(diǎn)A、B關(guān)于直線l（直線x=m）的等角點(diǎn)，由定義可知A、A′關(guān)于直線x=m對稱，可求得點(diǎn)A（′2m-2，

分析：解法6和解法7思路簡潔，但兩種解法中都應(yīng)用到直線的斜率k的計算公式解法7中還用到了直線的夾角公式和正切倍角公式.學(xué)生需要對公式有清晰的認(rèn)識和理解，并會運(yùn)用公式，解法7運(yùn)用了歸納推理和演繹推理相結(jié)合的探究方法，這可能得益于創(chuàng)新班學(xué)生之筆.

在眾多考生中也有不少考生考慮作點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，構(gòu)造“等角點(diǎn)”（如圖11），其他解法同上文.

四、試題評析

本題以課本例題“最短路徑模型”構(gòu)造新定義.學(xué)生感覺模型熟悉，定義簡單，其實(shí)就是舊知的一個創(chuàng)新.這與近幾年南通中考最后一題相比有了很大的變化，本題不再是以拋物線或雙曲線為載體，而是根據(jù)學(xué)生熟知的模型，重新定義，考查學(xué)生自主學(xué)習(xí)、知識遷移與探究的能力.

第（1）問是第（2）問的具體情境.第（1）問的解法為第（2）問提供了解題的思路和方法，意在引導(dǎo)學(xué)生由淺入深向第（2）問和第（3）問過渡，安排合理，為學(xué)生探究鋪路.第（2）問難度不大，但方法靈活，主要是幫助學(xué)生克服畏難的心理障礙，為第（3）問探究和創(chuàng)新樹立信心.第（3）問緊扣定義，確定P點(diǎn)的軌跡，從而確定直線的位置.

如圖12，因?yàn)锳B長為定值，且∠APB=60°也是定值，所以點(diǎn)P始終在以AB為邊的等邊三角形的外接圓上.故可在直線AB的右側(cè)以AB為邊作等邊△ABC，再作△ABC的外接圓⊙O′.根據(jù)“等角點(diǎn)”的定義，P是點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=ax+b（a≠0）的等角點(diǎn).故直線y=kx+b與直線PA、PB所成銳角相等，即∠BPM=∠APN.又∠APB=60°，所以∠BPM=∠CPN=60°.故可作∠APB的角平分線PG，過P點(diǎn)再作PG的垂線MN即為直線y=ax+b.在⊙O′中，∠APN=∠ABC=60°，所以MN必過點(diǎn)C，即直線y=ax+b必過點(diǎn)C.考慮點(diǎn)P在直線AB的右下方，且點(diǎn)P在⊙O′上，我們可以把直線MN繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)尋找點(diǎn)P的可能位置，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)A時（如圖13和圖14），即為第（3）問問題探究的極端情況.當(dāng)直線y=ax+b平行于x軸時（如圖15），a=0，與題意不符，故排除.

當(dāng)點(diǎn)P、A重合時，直線y=ax+b（a≠0）過點(diǎn)A、C，求得（如圖14）.

第（3）問要求學(xué)生結(jié)合圖形探究點(diǎn)和直線的運(yùn)動變化，觀察、分析、歸納、推理，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.優(yōu)秀學(xué)生能展示自己的數(shù)學(xué)智慧和創(chuàng)新能力，使該題起到了選拔的作用.

五、教學(xué)啟示

從考生卷面及得分看，對于第（1）問，多數(shù)考生可得全分，第（2）問和第（3）問問題較多，一些學(xué)生不能把定義的內(nèi)涵應(yīng)用于新的情境，如本題中“等角點(diǎn)”的定義，學(xué)生未能把等角的條件轉(zhuǎn)化利用，構(gòu)建相似，一些學(xué)生不能利用基本模型，如過B點(diǎn)作直線x=m的垂線，構(gòu)造“X型”等數(shù)學(xué)模型構(gòu)造相似，建立邊長關(guān)系，不會求解含字母系數(shù)的直線的解析式，不會計算與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)及用含字母m或n的代數(shù)式表示線段的長.因此，對數(shù)學(xué)教學(xué)有以下啟示.

1.關(guān)注基礎(chǔ)，理解定義的內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)知識遷移

本題第（1）問和第（2）問難度不大，但許多考生不能把新定義的知識遷移.我們在平時教學(xué)中，必須加強(qiáng)定義的理解，掌握定義的內(nèi)涵，夯實(shí)基礎(chǔ).對于新定義的教學(xué)，我們首先要深刻理解概念，然后提煉問題結(jié)構(gòu)，再從數(shù)形結(jié)合的角度揭示問題結(jié)構(gòu).像上文中找出P點(diǎn)在以AB為邊的等邊三角形的外接圓上，借助圓研究.課堂教學(xué)中，積極引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、反思質(zhì)疑，加強(qiáng)互動.關(guān)注“知識與技能”的發(fā)生和發(fā)展過程，在應(yīng)用中不斷鞏固和深化“雙基”，從而讓學(xué)生真正理解定義的內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)知識的遷移.

2.立足教材，重視基本模型，提升解題能力

教材與教材中的一些數(shù)學(xué)模型，是中考命題的藍(lán)本，同時是天然的好素材.每年都有大量的新穎試題直接源于教材，或以教材中提供的一些數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，經(jīng)過改造整編、移植借鑒.因此，在平時的教學(xué)中，立足教材，重視基本模型，要理解基本圖形的關(guān)鍵特征，找準(zhǔn)基本圖形的核心要素.試題中有的基本圖形處于潛伏狀態(tài)，有時需要通過補(bǔ)充嘗試激活基本模型.如上文中作垂直構(gòu)造“類似K型或X型或A型”模型.我們要讓教材成為學(xué)生鞏固知識、觀察、分析、思考、探究問題、發(fā)展能力、掌握思想方法的重要渠道，真正實(shí)現(xiàn)從“教教材”到“用教材教”的飛躍，以提升解題能力.

3.注重發(fā)散，加強(qiáng)思維拓展，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

創(chuàng)新思維是時代發(fā)展的需要，沒有創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)就造就不了創(chuàng)新型人才.在平時教學(xué)中，鼓勵學(xué)生再次發(fā)現(xiàn)，重新組合，讓學(xué)生在知識的自主建構(gòu)中，張開思維和想象的翅膀，尋找問題解決的策略，應(yīng)盡可能地發(fā)散學(xué)生的思維.發(fā)展學(xué)生的求異思維，使其學(xué)會從多角度、全方位考慮問題，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力.在新定義考題解題教學(xué)中，遇到一些直接寫結(jié)果的設(shè)問時，要充分展開思維過程，通過數(shù)形結(jié)合、動畫展示的方式，讓學(xué)生對解題思路的理解有更直觀的認(rèn)識.

在試卷評閱中發(fā)現(xiàn)，有部分考生解題不規(guī)范，格式不簡明，抓不住得分點(diǎn).如有學(xué)生用P（m，n）、B（-2，-）求直線的解析式，解析式中含兩個參數(shù)字母，為后續(xù)解題設(shè)置了障礙.還有考生把表示成，導(dǎo)致錯誤.還有代數(shù)式的變形、化簡、計算錯誤較多.所以平時教學(xué)中，一定要嚴(yán)格要求學(xué)生，規(guī)范解題格式和書寫格式，養(yǎng)成正確的解題習(xí)慣，提高學(xué)業(yè)水平，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).