☉浙江省衢州市衢江區(qū)杜澤鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 徐建兵

在2018年浙江省數(shù)學(xué)疑難問(wèn)題解決研訓(xùn)中，首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院王尚志教授作了“核心素養(yǎng)與初中數(shù)學(xué)教學(xué)”的報(bào)告，報(bào)告指出，課程改革主要的變化是從“以知識(shí)為本”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙詫W(xué)生為本”，建議教學(xué)實(shí)踐中要不斷發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，分析、解決問(wèn)題，提高教與學(xué)的效率.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過(guò)程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析這六個(gè)核心素養(yǎng)的提出，是課程從知識(shí)立意發(fā)展到能力立意，再到素養(yǎng)立意的一個(gè)過(guò)程，它是數(shù)學(xué)學(xué)科教育“品質(zhì)”不斷完善的產(chǎn)物.數(shù)學(xué)中每一個(gè)核心素養(yǎng)有其自身的獨(dú)立性，也有它們的整體性，相互交融滲透.如何通過(guò)有效設(shè)計(jì)課堂教學(xué)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這是筆者一直思考的問(wèn)題.本文以浙教版八年級(jí)下冊(cè)2.1“一元二次方程”為例，談?wù)剶?shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的一些思考.

一、有效設(shè)計(jì)整體結(jié)構(gòu)，承載數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

“一元二次方程”是浙教版八年級(jí)下冊(cè)第二章第1課時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)一元一次方程、二元一次方程和分式方程，具備類比研究和自主學(xué)習(xí)一元二次方程相關(guān)知識(shí)的能力.對(duì)于這節(jié)一元二次方程的概念課，筆者意在讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，經(jīng)歷一元二次方程概念的發(fā)生過(guò)程，理解一元二次方程一般式的形成過(guò)程.根據(jù)學(xué)生原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)為目標(biāo)，圍繞著“列”“研”“納”“化”“判”五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)展開(kāi)教學(xué).通過(guò)“列”，讓學(xué)生在尋找量與量的關(guān)系中，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；通過(guò)“研”，從“式、元、次”三個(gè)維度類比一元一次方程的學(xué)習(xí)過(guò)程，在自我構(gòu)建一元二次方程的概念中，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)“納”，在學(xué)生體驗(yàn)歸納一元二次方程一般式的過(guò)程中，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)“化”，在將一元二次方程轉(zhuǎn)化成一般式的恒等變形過(guò)程中，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；通過(guò)“判”，在學(xué)會(huì)推理判斷一元二次方程的根和學(xué)會(huì)待定系數(shù)法中，提升數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng).整堂課圍繞著“列”“研”“納”“化”“判”這五個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，體會(huì)學(xué)習(xí)的方法，形成學(xué)習(xí)的能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、有效設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

1.在列方程中提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程.在我們的生活中，有許多的量，有等量關(guān)系也有不等量關(guān)系.這些關(guān)系的確定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，需要學(xué)生具有數(shù)學(xué)建模的良好素養(yǎng).讓學(xué)生從問(wèn)題背景中學(xué)會(huì)尋找量與量的關(guān)系列出方程，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升.

活動(dòng)1：列

請(qǐng)同學(xué)們閱讀下列問(wèn)題，思考問(wèn)題中量與量的關(guān)系，列出問(wèn)題中關(guān)于未知數(shù)x的方程.

圖1

圖2

（1）一張周長(zhǎng)12cm的長(zhǎng)方形彩紙，長(zhǎng)比寬多2cm，設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x cm，可列出方程______；（2）把面積為8cm2的一張彩紙分割成如圖1所示的正方形和長(zhǎng)方形兩個(gè)部分，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x cm，可列出方程______；（3）如圖2，長(zhǎng)方形彩紙的面積是正方形的2倍，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x cm，可列出方程______；（4）一底面是正方形的長(zhǎng)方體，體積為27cm3，高為3cm，設(shè)正方形的長(zhǎng)為x cm，可列出方程______；（5）一種彩紙?jiān)瓋r(jià)5元，經(jīng)過(guò)兩次漲價(jià)，現(xiàn)在售價(jià)為7元，設(shè)兩次漲價(jià)的平均增長(zhǎng)率為x，可列出方程______.

答案：（1）2（x+x-2）=12；（2）x2+3x=8；（3）2x2=3x；（4）3x2=27；（5）5（1+x）2=7.

思考：“列出下列問(wèn)題中關(guān)于未知數(shù)x的方程.（1）把面積為4m2的一張紙分割成正方形和長(zhǎng)方形兩個(gè)部分，求正方形的邊長(zhǎng).設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x m，可列出方程：______.（2）某放射性元素經(jīng)2天后，質(zhì)量衰變?yōu)樵瓉?lái)的求平均每天的減少率.設(shè)平均每天的減少率為x，可列出方程：______.觀察上面所列方程，說(shuō)出這些方程與一元一次方程的相同和不同之處.”這是教材呈現(xiàn)的利用兩個(gè)方程得出概念的內(nèi)容.一元二次方程概念的形成是學(xué)生抽象思維形成的一個(gè)重要過(guò)程，學(xué)生需要從具體的方程中抽象出概念，同時(shí)為了提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，筆者對(duì)教材進(jìn)行處理，選取5個(gè)學(xué)生身邊的事例，重點(diǎn)放在學(xué)生尋找“量”與“量的關(guān)系”的方法過(guò)程中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的滲透.教材中第（2）問(wèn)的放射性元素學(xué)生比較陌生不易理解，為了降低學(xué)生的理解難度，突出教學(xué)的重點(diǎn)，筆者把它改成問(wèn)題（5）“平均增長(zhǎng)率問(wèn)題”，這5個(gè)不同形式數(shù)量關(guān)系的出現(xiàn)給概念形成與一般式的出現(xiàn)提供了更充分的抽象素材.

2.在歸納中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程.表現(xiàn)在從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu).在一元二次方程概念和一般式的歸納中承載著數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成過(guò)程.

（1）在類比研究歸納概念中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

活動(dòng)2：研

觀察方程2（x+x-2）=12、x2+3x=8、2x2=3x、3x2=27、5（1+x）2=7，思考下列問(wèn)題.

問(wèn)題1：從以上方程中找出已經(jīng)學(xué)過(guò)的方程；

問(wèn)題2：以前研究學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)，是從哪幾個(gè)維度去研究的？

問(wèn)題3：請(qǐng)類比一元一次方程的學(xué)習(xí)，再次從“式、元、次”三個(gè)維度研究，看看這些新方程有哪些共同特征.

問(wèn)題4：帶著它們的共同特征，用自己的語(yǔ)言描述一元二次方程的概念，并把你的描述與書本概念進(jìn)行比較，體會(huì)數(shù)學(xué)概念表述的準(zhǔn)確性.

思考：“方程x2+3x=4和（1-的兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.我們把這樣的方程叫作一元二次方程.”這是教材呈現(xiàn)概念的方式.倘若讓學(xué)生直接看書本，或許學(xué)生對(duì)一元二次方程也會(huì)有一定的了解，但是這樣不能培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，不能讓學(xué)生體會(huì)研究方程的一般過(guò)程，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升.每個(gè)一元二次方程是具體的，而一元二次方程的概念是抽象的，如何更好地從具體的方程中抽象出概念，這是概念教學(xué)中筆者經(jīng)常思考的問(wèn)題.自主學(xué)習(xí)是學(xué)生素養(yǎng)形成的必經(jīng)之路，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，呈現(xiàn)一元一次方程2（x+x-2）=12，意在讓學(xué)生從已有的認(rèn)知出發(fā)，尋找熟悉的“身影”，在發(fā)現(xiàn)新鮮事物的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，在學(xué)習(xí)研究一元一次方程方法的基礎(chǔ)上，教會(huì)學(xué)生研究方程的 “通法”，通過(guò)“式”“元”“次”三個(gè)維度進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)特征，從它們的特征中抽象出一元二次方程的概念.這是概念自我構(gòu)建的一般過(guò)程，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一種有效策略.

（2）在歸納形成一般式中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

活動(dòng)3：納

按照下面的步驟，對(duì)方程x2+3x=8、2x2=3x、3x2=27、5（1+x）2=7進(jìn)行整理，并回答下面問(wèn)題.

步驟1：對(duì)方程左右兩邊進(jìn)行化簡(jiǎn)；

步驟2：把所有項(xiàng)移到左邊；

步驟3：化簡(jiǎn)后按照降次排列.

問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們寫出整理后各個(gè)方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).

問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們嘗試用字母表示數(shù)，歸納出一元二次方程的一般式，并思考：這些表示數(shù)的字母有什么特殊的要求嗎？

思考：“一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0的形式.我們把a(bǔ)x2+bx+c=0（a、b、c為已知數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).”這是教材對(duì)一般式的呈現(xiàn)過(guò)程，很多老師也是在課堂中直接生硬地給出一般式，筆者認(rèn)為任何知識(shí)的出現(xiàn)與形成都有其原由和價(jià)值，因此在“列”的環(huán)節(jié)中，筆者選擇了前面出現(xiàn)過(guò)的x2+3x-8=0、2x2-3x=0、3x2-27=0、5x2+10x-2=0這四個(gè)方程，其中包含一次項(xiàng)系數(shù)為0的和常數(shù)項(xiàng)為0的方程，這對(duì)于由具體的方程抽像出一般式具有非常重要的意義，更能讓學(xué)生體會(huì)教材中“都可以轉(zhuǎn)化為ax2+bx+c=0”的含義，也便于學(xué)生對(duì)“系數(shù)”和“項(xiàng)”的理解.筆者在課堂中先讓學(xué)生整理，并找出具體的項(xiàng)和系數(shù)，再?gòu)木唧w的系數(shù)中抽象出系數(shù)a、b和c，讓學(xué)生更好地理解每個(gè)系數(shù)的取值范圍，學(xué)生在知其然且知其所以然的同時(shí)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).這與下一環(huán)節(jié)的“化”，形成了從具體到抽象，又從抽象到具體的過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

3.在提煉轉(zhuǎn)化中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.在一元二次方程一般式的轉(zhuǎn)化中，需要學(xué)生理解運(yùn)算的對(duì)象，掌握運(yùn)算的方法，探究運(yùn)算的方向等，它承載著數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升過(guò)程.

活動(dòng)4：化

觀察一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a、b、c為已知數(shù)，a≠0）的特征，嘗試把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

（1）9x2=5-4x；（2）（2-x）（3x+4）=3；（3）4x2=5；（4）3y2+

思考：“例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).（1）9x2=5-4x；（2）（2-x）（3x+4）=3.解：（1）移項(xiàng)，整理，得9x2+4x-5=0，這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)是9，一次項(xiàng)系數(shù)是4，常數(shù)項(xiàng)是-5.（2）可得-3x2+2x+5=0，這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)是-3，一次項(xiàng)系數(shù)是2，常數(shù)項(xiàng)是5.”這是教材中給出的例題，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的核心，加之學(xué)生的運(yùn)算能力不強(qiáng)的事實(shí)，筆者對(duì)其進(jìn)行處理，增加兩個(gè)小題，順著前一環(huán)節(jié)的一般式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，朝著轉(zhuǎn)化的目標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算.任何一種技能的學(xué)習(xí)都有一定的“通法”，計(jì)算是一個(gè)圍繞結(jié)果恒等變形的過(guò)程，課堂中，筆者讓學(xué)生朝著一般式的目標(biāo)，嘗試進(jìn)行整理，提煉一般方法，讓學(xué)生在體會(huì)去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)的基本過(guò)程，在自主學(xué)習(xí)與方法交流的過(guò)程中培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng).

4.在判根和用根中提升邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過(guò)程.在一元二次方程根的判斷和用根中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的邏輯推理素養(yǎng)的形成過(guò)程.

活動(dòng)5：判

問(wèn)題：判斷下列各題括號(hào)內(nèi)未知數(shù)的值是不是方程的根，寫出推理過(guò)程.

練習(xí)1：已知一元二次方程2x2+bx+c=0有兩個(gè)根x1=1，x2=2，求這個(gè)一元二次方程.

練習(xí)2：已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為已知數(shù)，a≠0）的一個(gè)根是1，求代數(shù)式a+b+c的值.若ab+c=0，你能通過(guò)觀察，求出方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根嗎？

思考：教材呈現(xiàn)解是直接在一元二次方程的概念出現(xiàn)之后，“能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解（或根）”.同時(shí)在練習(xí)2中讓學(xué)生判斷未知數(shù)的值x=-1、x=0、x=2是不是方程x2-2=0的根.在例2中設(shè)置了待定系數(shù)法的應(yīng)用：“已知一元二次方程2x2+bx+c=0的兩個(gè)根為=-3，求這個(gè)方程.解：將x=1=-3代入方程2x2+bx+c=0，得解得，所以這個(gè)一元二次方程是2x2+x-15=0.”這樣呈現(xiàn)不夠連續(xù)，因此筆者對(duì)教材進(jìn)行處理，先類比一元一次方程解的概念，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)獲取一元二次方程根的概念，同時(shí)類比一元一次方程解的判斷進(jìn)行一元二次方程根的判斷，這順應(yīng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過(guò)程.在認(rèn)識(shí)根的同時(shí)與一元一次方程的根進(jìn)行類比，發(fā)現(xiàn)它們都存在能使等式成立的共性，也發(fā)現(xiàn)一元二次方程好像不是一個(gè)根的特殊情況，由此激發(fā)學(xué)生的求知欲望.在判根時(shí)書寫推理過(guò)程，提升學(xué)生的邏輯推理能力.從問(wèn)題中書寫判根的推理過(guò)程提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng).從練習(xí)1學(xué)會(huì)待定系數(shù)法中體驗(yàn)一元二次方程一般式的“通式”作用.從練習(xí)2的解決中讓學(xué)生明確“解必成立，成立必是解”的屬性.三個(gè)問(wèn)題的解決滲透了數(shù)學(xué)的邏輯推理素養(yǎng).

三、結(jié)語(yǔ)

課堂教學(xué)是核心素養(yǎng)落地生根的重要支點(diǎn)和主要渠道，那么，如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中給學(xué)生的核心素養(yǎng)提供個(gè)性、全面、可持續(xù)的助力呢？首先，我們教師要做一個(gè)“有心人”，教學(xué)的設(shè)計(jì)要著眼于學(xué)生的可持續(xù)性.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)要立足于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)，把數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)蘊(yùn)育在情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思之中.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)內(nèi)容直接相關(guān)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的.它不是獨(dú)立于知識(shí)、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)之外的“神秘”概念，而是依托于知識(shí)與技能的形成之中.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有它的整體性，在筆者設(shè)計(jì)的五個(gè)環(huán)節(jié)中，各類素養(yǎng)也是交錯(cuò)相融的，數(shù)學(xué)建模中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)運(yùn)算，它們是相互滲透的.初中生的思維能力尚處于一個(gè)相對(duì)較低的層次，他們的認(rèn)知建構(gòu)，很大程度上要依賴于直觀形象思維，而數(shù)學(xué)學(xué)科又有著強(qiáng)烈的抽象性.因此我們?cè)诮虒W(xué)中要注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想，注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).課堂要以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為目標(biāo)指向，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在邏輯為線索，精心選擇學(xué)習(xí)素材，構(gòu)建學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的系列活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)多樣化的學(xué)習(xí)方式，掌握數(shù)學(xué)“雙基”，形成數(shù)學(xué)思維.并在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，從而實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展目標(biāo).