職榮豪

（北京工業(yè)大學(xué)，北京 100022）

0 引 言

數(shù)字通信調(diào)制信號(hào)在傳播過程中很容易受到各種噪聲的干擾，信噪比可能在幾到幾十分貝之間不斷變化。為了最大程度表征通信信號(hào)調(diào)制識(shí)別特征類間差別的模式信息，且隨信噪比的變化要最小程度影響同一類別特征的分散。從時(shí)頻域提取的特征對(duì)噪聲較敏感，而在信噪比未知的情況下，傳統(tǒng)的分類識(shí)別能力很難得到改善。因此，在實(shí)際工程應(yīng)用中，需要尋找滿足上述要求的特征，而復(fù)雜度就是一種能夠滿足這些要求的特征[1]。關(guān)于復(fù)雜度的定量描述，分形維數(shù)很在一定程度上反映并體現(xiàn)了整體系統(tǒng)的特征與信息。分形維數(shù)定量描述了信號(hào)的變換特征。

1 分形特征參數(shù)

1.1 分形特征提取

分形是對(duì)沒有特征長(zhǎng)度（特征長(zhǎng)度是值所考慮的集合對(duì)象所含有的各種長(zhǎng)度的代表者）但具有一定意義的自相似圖形結(jié)構(gòu)的總稱，也可以被看做是具有下列性質(zhì)的集合[2]：

（1）具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，及在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體；

（2）不規(guī)則的，不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述；

（3）通常具有某種自似性，或許是近似的，或許是統(tǒng)計(jì)意義下的；

（4）在某種方式下定義的“分維數(shù)”通常大于它的拓?fù)渚S數(shù)；

（5）定義常常非常簡(jiǎn)單，或許是遞歸的[3]。

分形維數(shù)可定量描述分型集合的復(fù)雜性。分形維數(shù)的定義與歐式幾何學(xué)維數(shù)的定義不同。它是與應(yīng)用相關(guān)的，隨著應(yīng)用的不同，其分形維數(shù)的定義也不同。在調(diào)制方式識(shí)別領(lǐng)域，常用盒維數(shù)與信息維數(shù)。其中，盒維數(shù)反映了分型集合的集合尺度情況，信息維度反映出分型集合在分布上的信息。

1.1.1 盒維數(shù)

設(shè)f為定義在R的閉集T上的連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)為R2上的集合：

如果：

存在，則稱DB(f)為函數(shù)f的盒維數(shù)[4]。

實(shí)際計(jì)算中，對(duì)于數(shù)字化離散空間信號(hào)點(diǎn)集合F的分型維數(shù)有如下簡(jiǎn)單的計(jì)算式。

設(shè)計(jì)算的采樣序列為f(t1), f(t2),…, f(tN), f(tN+1),，其中N為偶數(shù)。令：

其中，λ=1/fs為樣本間隔，fs為采樣率，那么：

從盒維數(shù)定義可以看出，盒維數(shù)只表示F的集合尺度情況，沒有反映F在平面空間上的分布疏密。為了反映分星級(jí)在區(qū)域空間上的分布信息，引入信息維數(shù)。

1.1.2 信息維數(shù)

在盒維數(shù)的定義中，分形F的維數(shù)與覆蓋F的盒子有關(guān)，至于每個(gè)盒子中包含多少個(gè)F的點(diǎn)并未考慮。分形盒維數(shù)只能反映分形的幾何尺度情況，不反映F在平面空間上的分布疏密，而信息維數(shù)能做到這一點(diǎn)[5]。

設(shè){Aj}( j=1,2,…,K)是集合F的一個(gè)有限ε-格形覆蓋，pj表示F的元素落在集合Aj中的概率。令信息熵：

如果信息熵滿足以下關(guān)系：

則稱DI(f)為集合F的信息維數(shù)[6]。

實(shí)際計(jì)算時(shí)，可通過式（9）得到信息維數(shù)：

其中，λ=1/fs為樣本間隔，fs為采樣率。

1.1.3 特征提取

為了表述方便，盒維數(shù)定義重新表示如下：

集合F的信息維數(shù)表示如下：

信息熵與信息維數(shù)之間的關(guān)系為：

由盒維數(shù)和信息維數(shù)組成的特征向量可表示為：

通信信號(hào)的不規(guī)則程度主要取決于調(diào)制類型，而受噪聲影響較小。這一特點(diǎn)體現(xiàn)為分形特征在一定信噪比范圍內(nèi)對(duì)噪聲不敏感。

1.2 分形維數(shù)特征的抗噪性能

假設(shè)時(shí)刻i的接收信號(hào)f(ti)=si+ni，信號(hào)si與噪聲ni相互獨(dú)立，不同時(shí)刻的噪聲相互獨(dú)立并服從高斯分布，ni～N(0,σ2/2)，則 ni-ni+1仍為高斯分布，ni-ni+1～N(0,σ2)。平面上的波形點(diǎn) (tj, f(tj))落在 ε- 網(wǎng)格覆蓋Ai的概率為：

其中，H(·)是階躍函數(shù)。令 μ=si-sj，則 si-sj+ni-nj的分布服從 N(μ,σ2)，令 y=|si-sj+ni-nj|，則 y 的密度函數(shù)為：

y的均值是：

為了直觀地說明E(y)隨μ/δ的變換規(guī)律，表1列出E(y)在不同μ/δ的值。

表1 E(y)在不同μ/δ的值

一般來說，噪聲干擾相對(duì)通信信號(hào)較小，μ＞δ成立，exp(-m2)隨m增大很快衰減到0。由表1可知，y的近似值為：

又有：

所以：

這說明從統(tǒng)計(jì)上看，噪聲對(duì)Ni(ε)的值影響較小，那么點(diǎn)(tj, f(tj))落在Ai中的個(gè)數(shù)可表示為：

其中，Ni(ε)是 (t,sj)落在 Ai中的個(gè)數(shù)，σi(ε)是一個(gè)微小的擾動(dòng)。

把式（22）帶入式（12），得：

因此，通信信號(hào)的不規(guī)則程度主要取決于調(diào)制類型，而噪聲對(duì)之影響較小，反映到分形特征上，即在一定信噪比范圍內(nèi)分性特征對(duì)噪聲不敏感。

1.3 識(shí)別算法流程

將收到的信號(hào)變換成一個(gè)特征向量，而分類識(shí)別的任務(wù)是把特征向量歸入一個(gè)調(diào)制類別中。特征提取和分類是相輔相成的。如果特征向量集中了在不同類別中有明顯區(qū)別的信息和分類識(shí)別的重要信息，那么僅依靠特征的聚類就可以獲得很好的識(shí)別效果，同時(shí)大大降低了分類器設(shè)計(jì)和訓(xùn)練的工作量。

在此假設(shè)有5類調(diào)制方式。在一定SNR范圍中，利用訓(xùn)練集對(duì)每種調(diào)制類型的特征向量可估計(jì)出它的均值向量mc和協(xié)方差矩陣Kc，序?qū)?mc,Kc)作為c類的重心。對(duì)于一個(gè)未知類別的特征向量I，它與每一類的類間距離可定義為：

按照上述算法描述，基于盒維數(shù)和信息維數(shù)的調(diào)制識(shí)別算法流程如圖1所示。

圖1 基于盒維數(shù)與信息維數(shù)的算法流程

1.4 實(shí)驗(yàn)與分析

在此選擇未調(diào)載波CW，已調(diào)載波2FSK、4FSK、2PSK、4PSK共5中信號(hào)類型，信號(hào)中頻為10 kHz，取樣頻率為40 kHz。4種已調(diào)信號(hào)碼元速率1 200 bit/s，載頻為20 MHz，其中2FSK和4FSK信號(hào)的頻移分別為5 kHz、5 kHz。對(duì)每一類信號(hào)都在5～20 dB的信噪比范圍內(nèi)每隔5 dB產(chǎn)生1 024個(gè)樣本300個(gè)，其中100作為分類器的訓(xùn)練集，200個(gè)作為測(cè)試集。因此，每一類共有訓(xùn)練特征向量400個(gè)。均值向量mc和協(xié)方差矩陣Kc由這400個(gè)向量估計(jì)獲得。

各類盒維數(shù)與信息維數(shù)的均值和方差計(jì)算結(jié)果如表2所示?？梢钥闯?，各類信號(hào)特征向量均值表明它在特征空間中心位置與其他類相分離，較小的方差也說明在中心點(diǎn)處聚集程度很高。

表2 各類信號(hào)分維的均值與方差

表3 識(shí)別率結(jié)果

根據(jù)給出的分類方法分別對(duì)2FSK、4FSK、2PSK、4PSK四類信號(hào)進(jìn)行識(shí)別測(cè)試。經(jīng)過大量測(cè)試（各200次），得出各個(gè)信號(hào)識(shí)別率（進(jìn)行100次實(shí)驗(yàn)，如果90次識(shí)別結(jié)果為正確，則識(shí)別率為90%）如表3所示，并繪制出識(shí)別率曲線如圖2所示。從圖1中可以看出，在整個(gè)信噪比變化范圍內(nèi)，信號(hào)識(shí)別率都較高（均在0.95以上）。因此，該識(shí)別算法受信噪比的影響較小。雖然該算法在低信噪比下識(shí)別率較高，但算法時(shí)間為秒級(jí)，算法的實(shí)時(shí)性還需進(jìn)一步研究加以提升。

圖2 算法識(shí)別率結(jié)果曲線

該算法與基于瞬時(shí)特征提取的調(diào)制識(shí)別算法[7]識(shí)別效果對(duì)比結(jié)果（低信噪比下）如圖3所示?？梢?，該算法識(shí)別率在低信噪比下明顯優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

圖3 識(shí)別率對(duì)比

2 結(jié) 語

本文分析并研究分形理論在信號(hào)處理領(lǐng)域的應(yīng)用，提出一種基于盒維數(shù)與信息維數(shù)的調(diào)制模式識(shí)別算法。算法從直觀的波形出發(fā)，應(yīng)用分形理論提取反映信號(hào)圖形不規(guī)則度作為特征量進(jìn)行信號(hào)的模式識(shí)別，提高其在低信噪比下的識(shí)別率，且模擬結(jié)果證實(shí)了此方法的可行性。