李偉琪 ，王 浩 ，趙晨子 ，王 翀

（1.杭州電子科技大學 通信工程學院，浙江 杭州 310018；2.江蘇省電力公司 信息與通信分公司，江蘇 南京 210000）

0 引 言

與IIR濾波器相比，F(xiàn)IR濾波器具有絕對穩(wěn)定性和線性相位的優(yōu)勢。然而，當對濾波器的頻域性能要求較高時，F(xiàn)IR濾波器則需要很高的階數(shù)，使得FIR濾波器硬件執(zhí)行的復雜度（硬件執(zhí)行復雜度通常由硬件設計時所需的乘法器和加法器數(shù)目衡量）和系統(tǒng)的群延時很高。因此，在不影響FIR濾波器頻域性能的前提下，減少其硬件執(zhí)行復雜度，具有重要的研究意義。

為降低FIR濾波器的硬件執(zhí)行復雜度，許多研究者對其進行了研究。經(jīng)文獻調(diào)研，關(guān)于低復雜度FIR濾波器的研究最早始于1980年文獻[1]提出的系數(shù)過采樣方法；1983年，文獻[2]提出了基于遞歸取和濾波器的預濾波器-均衡器結(jié)構(gòu)，文獻[3]提出了一種分段指數(shù)近似的方法，但由于量化誤差的影響，合成的濾波器可能是無限沖激響應；1984年，文獻[4]提出了一種內(nèi)插脈沖響應方法；1985年，文獻[5]提出了一種基于預測編碼的方法，用于減少FIR濾波器系數(shù)的字長；1986年，文獻[6]提出了一種非常有效的低復雜度FIR濾波器設計方法——頻率響應罩FRM（Frequency Response Masking），通過構(gòu)造原型FIR濾波器的互補FIR濾波器以克服內(nèi)插法通帶寬度較窄的缺陷。內(nèi)插法可看作是FRM方法的特例。FRM方法雖然頻域性能（即硬件執(zhí)行復雜度）優(yōu)越，但在濾波器長度方面仍有缺陷：在相同頻域性能指標的前提下，所合成的FIR濾波器通常比傳統(tǒng)方法（直接最優(yōu)化方法或者經(jīng)典的Parks-McClellan方法）設計的濾波器具有較高的階數(shù)。1990年，文獻[7]基于低通或者高通FIR濾波器系數(shù)的類周期性，提出了外插脈沖響應EIR（Extrapolated Impulse Response）方法，可大幅降低濾波器的執(zhí)行復雜度，且其合成的濾波器總是有限沖激響應，后有若干文獻對外插法進行了研究。1996年，文獻[8]通過混合整數(shù)線性規(guī)劃的方法設計了具有稀疏系數(shù)的FIR濾波器。2010年，文獻[9]基于壓縮感知理論研究了具有稀疏系數(shù)的FIR濾波器設計。

雖然原始EIR濾波器設計由Lim Y C先生等人[7]于1990年提出，但發(fā)展緩慢。由于原始EIR濾波器設計中僅有尺度向量通過線性規(guī)劃的方法優(yōu)化獲得，2004年Yu Y J等人[10]提出了采用半無限規(guī)劃的方法聯(lián)合優(yōu)化原始EIR濾波器設計中的所有未知系數(shù)，改進了原始EIR濾波器的頻域性能。2005年，Yu Y J等[11]將外插法與頻率響應罩法結(jié)合用于降低FIR濾波器的硬件執(zhí)行復雜度。2008年，Zhou L H等人[12]提出了基于主成份分析的外插法，通過兩步驟外插改善了EIR濾波器的頻域性能。此外，Cao Y F等人[13]于2011年研究了離散系數(shù)的EIR濾波器設計。王浩等人于2012年[14]、2013年[15]和2015[16]年對外插法的結(jié)構(gòu)和系數(shù)優(yōu)化算法進行了進一步深入研究。

文獻[17]首次提出了EIR濾波器的系數(shù)敏感度CS（Coefficient Sensitivity）參數(shù)概念，并通過約束該參數(shù)以實現(xiàn)低量化效應EIR濾波器的設計。然而，文獻[17]并未給出CS參數(shù)的嚴格數(shù)學推導和仿真實驗分析。本文將對該參數(shù)進行嚴格的數(shù)學推導，并給出具體的實驗仿真分析。

1 系數(shù)敏感度參數(shù)推導

EIR濾波器的系數(shù)參數(shù)包括三部分：不變系數(shù)x、基本向量參數(shù)r1,r2,…,rp和尺度向量參數(shù)s1,s2,…,sp。為敘述方便，這里僅考慮兩個基本向量p=2的情況，三個或者更多基本向量的情況可以類推。令Δx、Δrn、Δsn為系數(shù)x、rn、sn(n=1,2)的無限精度浮點表示到有限位數(shù)表示的量化誤差。那么，量化后的無限精度浮點表示EIR濾波器的頻率響應函數(shù)可寫成如下形式：

其中H(ejω)為量化前EIR濾波器的頻率響應函數(shù)，ΔH(ejω)為量化引起的頻率響應誤差函數(shù)。假設|Δx(m)|、|Δrn(i)|、|Δsn( j)|(n=1,2)足夠小，舍去式（1）中的二階誤差項，得到：

對式（2）的等式兩邊求平方，得到：

對式（3）在[0,2π]區(qū)間進行定積分。根據(jù)三角函數(shù)公式，兩不同角頻率系數(shù)的余弦函數(shù)乘積可轉(zhuǎn)化為兩余弦函數(shù)之和，而式（3）中余弦函數(shù)的角頻率系數(shù)均為正整數(shù)，所以兩不同角頻率系數(shù)的余弦函數(shù)積化和差后的兩余弦函數(shù)的角頻率系數(shù)依然為正整數(shù)。對于這些余弦函數(shù)，在[0,2π]區(qū)間內(nèi)的定積分值為零，那么可得量化誤差函數(shù)為：

其中：

由于影響量化誤差函數(shù)Equantize的變量很多，為方便分析該函數(shù)，令：

并用 ε2替換 A1,A2,…,A9中的 [Δx(m)]2、[Δrn(i)]2、[Δsn( j)]2(n=2)。該部分近似較實際值偏大，屬于保守估計。根據(jù)量化誤差變量的隨機性和不相關(guān)性，假設A2、A3和A9中可能為正數(shù)也可能為負數(shù)的部分的累加和等于零（如果將這些部分當成隨機變量，那么這些隨機變量在理論上的數(shù)學期望值也為0）。通過以上簡化分析，可得：

在給定參數(shù)M、d和R的情況下，可定義系數(shù)敏感度參數(shù)[17]如下：

回顧推導過程，系數(shù)敏感度參數(shù)的導出可以推廣至基本向量數(shù)目p為任意值的情況，即：

討論1：CS參數(shù)首先由文獻[17]提出，文章推導結(jié)論與其一致。然而，文獻[17]中的EIR濾波器的基本向量數(shù)目不大于2，這里指出CS參數(shù)也可推廣至任意基本向量數(shù)目的情況。此外，文獻[17]在推導過程中，基本思想是分析量化誤差函數(shù)Equantize的數(shù)學期望，與文章基本思想不同。最后，上述推導僅考慮偶對稱FIR濾波器，回顧推導過程，式（13）結(jié)論依然適用于奇對稱FIR濾波器。

討論2：CS參數(shù)的意義在于，如果有兩個EIR濾波器頻率響應性能相同但濾波器系數(shù)不同，且其中一個EIR濾波器的CS參數(shù)明顯小于另外一個EIR濾波器，那么應當選擇具有明顯較低CS參數(shù)的EIR濾波器，以減少濾波器硬件執(zhí)行時的量化誤差。

討論3：回顧推導過程，Equantize描述EIR濾波器量化前后的頻率響應積分最小二乘誤差。Equantize函數(shù)值為零，意味著EIR濾波器無量化誤差。但是，較低的Equantize函數(shù)值并不一定意味著較好的頻率響應指標。此外，CS參數(shù)是Equantize函數(shù)的近似表達，較低的CS也不一定意味著較低的Equantize函數(shù)值。

討論4：濾波器優(yōu)化設計準則通常包括最大誤差最小化準則和最小二乘準則。顯然，較小的Equantize并不一定意味著較小的上述準則下的誤差。

2 實驗仿真分析

下面通過仿真實驗觀察CS參數(shù)值大小與系數(shù)量化之間的關(guān)系。首先通過Parks-McClellan最優(yōu)化濾波器設計方法設計一個201階低通濾波器。該低通濾波器的通帶和阻帶歸一化截至頻率為0.6和0.62。然后，設計EIR濾波器參數(shù)如下：M=10，d=10，R=9，p=2，p個基本向量的L2范數(shù)相等。由于基本向量的L2范數(shù)直接影響所設計EIR濾波器的CS參數(shù)（參看式（12）），仿真實驗通過改變p個基本向量的L2范數(shù)來獲得具有不同CS參數(shù)的EIR濾波器。最后，采用CSD（Canonic Signed Digit Code）編碼技術(shù)對上述EIR濾波器系數(shù)進行量化，每一個EIR濾波器量化時的數(shù)據(jù)比特數(shù)設置為15（2～12，14，16，18，20）種情況。注意到，若以連續(xù)系數(shù)計算這些EIR濾波器的頻域性能，這些濾波器的頻域性能全部都相等。

圖1描述的是不同CS參數(shù)和不同量化比特數(shù)下的EIR濾波器的峰值紋波幅度PRM（Peak Ripple Magnitude，通帶波紋和阻帶波紋中的最大值，單位為dB）指標。

從圖1可以看出，圖1（a）具有明顯較高的CS參數(shù)值，一般對應著較高的量化誤差；圖1（b）當量化比特數(shù)等于5～12、14、16、18或20時，較高的CS參數(shù)值一般情況下對應著較高的系數(shù)量化誤差（通過量化后EIR濾波器的PRM指標度量），這種對應關(guān)系在量化比特數(shù)等于5～12、14、16時表現(xiàn)較為突出；圖1（c）當量化比特數(shù)很低時（等于2，3，4），較高的CS參數(shù)值與濾波器量化誤差之間并無明顯的對應關(guān)系，這或許與CS參數(shù)值推導中的若干近似（以及該參數(shù)本身的其他局限性）有一定關(guān)系；圖1（d）當量化比特數(shù)相對很高時（等于18，20），由于EIR濾波器每一系數(shù)的量化誤差已經(jīng)很小，基本觀察不到較高的CS參數(shù)值一般對應著較高的系數(shù)量化誤差。

通過以上分析可知，CS參數(shù)對于EIR濾波器設計而言并非是完美，然而優(yōu)化CS參數(shù)可在一定程度上降低EIR濾波器的系數(shù)量化效應。

圖1 EIR濾波器在不同CS參數(shù)值和不同量化比特數(shù)下的系數(shù)量化

3 結(jié) 語

EIR濾波器是諸多低復雜度FIR濾波器中的一種。如何在設計連續(xù)系數(shù)EIR濾波器時降低其實際硬件執(zhí)行時的量化效應具有重要的實際意義。系數(shù)敏感度參數(shù)約束可用于降低EIR濾波器的量化效應，然而關(guān)于該參數(shù)的嚴格理論推導以及實驗分析未有報道。論文對系數(shù)敏感度參數(shù)進行了嚴格理論推導并進行了實驗分析。實驗結(jié)果表明，系數(shù)敏感度參數(shù)可以在一定程度上有效降低EIR濾波器的量化效應。