木沙江·吐爾遜??
摘 要:文章通過洛必達法則分析函數(shù)的最大,最小值指出一種解決高中數(shù)學常見的恒成立問題
關鍵詞:洛必達法則;恒成立;微分
近幾年,隨著新課標在全國的范圍內的實施,無論高考題,還是各個區(qū)高考模擬,還是什么月考測試都在悄悄發(fā)生變化。尤其是有關高等數(shù)學背景的問題會逐漸增加豐富起來。雖然高考考試沒有要求學生掌握,但是可以利用已有的知識和方法來解決有關背景的問題。函數(shù)圖像的凸凹性,導數(shù)中的拐點,洛必達法則……特別是利用洛必達法則來處理解答題中的函數(shù)與導數(shù)題,即高中數(shù)學中的恒成立問題的觀點尤其突出。恒成立問題是高中數(shù)學中的常見問題,在培養(yǎng)同學們的靈活性,創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用,也是歷年高考題中的一個熱點,大多是在不等式中以已知自變量x的取值范圍,求另一個參數(shù)的取值范圍的形式出現(xiàn)。
例如2010年和2011年,2016年(文科)高考中的全國新課標卷中的第21題中的第2步,由不等式恒成立來求參數(shù)的取值范圍問題,用初等方法處理,分析難度大,變化技巧高。但用洛必達法則來處理卻可達到事半功倍的效果。
一、 洛必達法則
法則1 若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件:(1)limx→afx=0 及l(fā)imx→agx=0;
(2)在點a的去心鄰域內,f(x)與g(x)可導且g′(x)≠0;
(3)limx→af′xg′x=l,那么 limx→afxgx=limx→af′xg′x=l。
法則2 若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件:(1)limx→afx=∞及l(fā)imx→agx=∞;
(2)在點a的去心鄰域內,f(x)與g(x)可導且g′(x)≠0
(3)limx→af′xg′x=l,那么 limx→afxgx=limx→af′xg′x=l。
二、 高考題處理
1. (2016年全國新課標Ⅱ文科)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),(a∈R)
(1)當a=4時求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)若當x∈(1,+∞)時f(x)>0,求a的取值范圍;
原解:(1)當a=4時f(x)=(x+1)lnx-4x+4,(a∈R),
f′(x)=lnx+1+1x-4,f′(1)=-2,f(1)=0,
∴切線方程為y-0=-2(x-1)即2x+y-2=0
(2):f(x)>0等價于:(x+1)lnx>a(x-1);∵x∈(1,+∞)x-1>0
等價于(x+1)lnxx-1>a對x∈(1,+∞)恒成立,等價于即令g(x)=(x+1)lnxx-1的最小值也應該大于a,根據(jù)g(x)的單調性可以解出它的最小值,
則g′(x)=(x-1)lnx+1+1x-(x+1)lnx(x-1)2=-2lnx+x-1x(x-1)2,
這時我們需要-2lnx+x-1x和0的大小關系,令M(x)=-2lnx+x-1x
則M′(x)=-2x+1x2+1=(x-1)2x2>0即M(x)函數(shù)在1,+∞上單調遞增,
∴M(x)>M(1)=0,∴g′(x)>0即區(qū)間1,+∞上g(x)也是單調遞增,
可以說區(qū)間1,+∞上g(x)>g(1)≥a
根據(jù)洛必達法則limx→1g(x)=limx→1(x+1)lnxx-1=limx→1(x+1)lnx′(x-1)′
=limx→1lnx+1+1x1=2,故a≤2,綜上,知a的取值范圍為-∞,2。
2. (2010年全國新課標理)設函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2。
(1)若a=0,求f(x)的單調區(qū)間;(2)若當x≥0時f(x)≥0,求a的取值范圍
原解:(1)a=0時,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1。
當x∈(-∞,0)時,f′(x)<0;當x∈(0,+∞)時,f′(x)>0。故f(x)在(-∞,0)單調減少,在(0,+∞)單調增加
(2)當x=0時,f(x)=0,對任意實數(shù)a,均在f(x)≥0;
當x>0時,f(x)≥0等價于a≤ex-x-1x2
令gx=ex-x-1x2,(x>0)則g′(x)=xex-2ex+x+2x3,令hx=xex-2ex+x+2x>0,則h′x=xex-ex+1,h″x=xex>0,
知h′x在0,+∞上為增函數(shù),h′x>h′0=0;知hx在0,+∞上為增函數(shù),hx>h0=0;∴g′x>0,gx在0,+∞上為增函數(shù)。
由洛必達法則知,limx→0+ex-x-1x2=limx→0+ex-12x=limx→0+ex2=12,
故a≤12,綜上,知a的取值范圍為-∞,12。
3.(2011年全國新課標理)已知函數(shù)f(x)=alnxx+1+bx,曲線f′(x)=ax+1x-lnx(x+1)2-bx2在點f′(x)=ax+1x-lnx(x+1)2-bx2處的切線方程為f′(x)=ax+1x-lnx(x+1)2-bx2。
(Ⅰ)求f′(x)=ax+1x-lnx(x+1)2-bx2、f′(x)=a(x+1x-lnx)(x+1)2-bx2的值;
(Ⅱ)如果當f′(x)=ax+1x-lnx(x+1)2-bx2,且f′(x)=ax+1x-lnx)(x+1)2-bx2時,f′(x)=ax+1x-lnx(x+1)2-bx2,求f′(x)=ax+1x-lnx(x+1)2-bx2的取值范圍。
解:(Ⅰ)f′(x)=ax+1x-lnx(x+1)2-bx2
由于直線b=1,a2-b=1的斜率為b=1,a2-b=1,且過點b=1,a2-b=1,故b=1,a2-b=1即
b=1,a2-b=1解得x>0,x≠1,x>0,x≠1。
(Ⅱ)由題設可得,當x>0,x≠1時,k<2xlnx1-x2+1恒成立。
令g(x)=2xlnx1-x2+1(x>0,x≠1),則g′x=2·x2+1lnx-x2+11-x22,
再令hx=x2+1lnx-x2+1(x>0,x≠1),則h′x=2xlnx+1x-x,h″x=2lnx+1-1x2,易知hx=2x+2xx4=2x+2x3>0故h″x在0,+∞上為增函數(shù),且h″1=0;故當h″x<0時,h″x<0,當x∈1,+∞時,h″x>0;
∴h′x在0,1上為減函數(shù),在1,+∞上為增函數(shù);故h′x>h′1=0
∴hx在0,+∞上為增函數(shù),∵h1=0
∴當hx<0時,hx<0,當x∈1,+∞時,hx>0
∴當g′x<0時,g′x<0,當x∈1,+∞時,g′x>0
∴gx在0,1上為減函數(shù),在1,+∞上為增函數(shù)
∵由洛必達法則知limx→1gx=2limx→1xlnx1-x2+1=2limx→11+lnx-2x+1=2×-12+1=0
故k≤0,即k的取值范圍為-∞,0
規(guī)律總結:對恒成立問題中的求參數(shù)取值范圍,參數(shù)與變量分離較易理解,雖然有些題中的求分離出來的函數(shù)式的最值可以一次求導數(shù)就會求出拐點,既可以求出由函數(shù)的單調性來求最值的,但是有些題中的求分離出來的函數(shù)式的最值不能一次求導數(shù)就可以判斷函數(shù)的單調性或者導數(shù)等于0的拐點,這時通過繼續(xù)求導(至可以判斷單調性和最值),然后通過最后最簡單導函數(shù)的最值來判斷它原函數(shù)的單調性,就這么返回,最后判斷跟所求的參數(shù)分離出來的函數(shù)的單調性,利用單調性求使不等式滿足的最值,如果最值點函數(shù)無意義的話就利用洛必達法則可以較好地處理它的最值,是一種值得借鑒的方法。
參考文獻:
[1]吳良森,程其蘘,龐學誠.數(shù)學分析教程[M].高等教育出版社,2004.
作者簡介:
木沙江·吐爾遜,中學二級教師,新疆維吾爾自治區(qū)克孜勒蘇柯爾克孜自治州,阿圖什市第一中學。