魏麗英 崔裕楓 李東瑩

(北京交通大學交通運輸學院,北京 100044)

(2018年3月26日收到；2018年8月10日收到修改稿)

1 引 言

隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展,城市居民的出行需求不斷增加,道路上行人和機動車流量不斷增加,導致行人與機動車的沖突越來越嚴重,人車事故頻發(fā).《中華人民共和國道路交通安全法》第四十七條規(guī)定:“機動車行經(jīng)人行橫道時,應當減速行駛；遇行人正在通過人行橫道,應當停車讓行.機動車行經(jīng)沒有交通信號的道路時,遇有行人橫過道路,應當避讓.”這為行人過街安全提供了法律保障.但是在實際調查中發(fā)現(xiàn),行人只是在有限的避讓范圍內才具有優(yōu)先權,實際中行人和機動車是相互穿越通過沖突區(qū)域的.

博弈論作為一門新興學科,在交通領域中逐漸得到應用.1952年,Wardrop[1]首次將博弈理論引入到交通中,分析出行路徑的選擇問題,隨后大量學者[2?12]開始使用博弈論來研究交通管理、控制及分配等問題.鑒于經(jīng)典博弈論在應用中被發(fā)現(xiàn)存在著假設缺陷、方法缺陷以及實證缺陷等問題[13?19],20世紀90年代發(fā)展了演化博弈論的研究工作,并且近年來開始有部分學者將演化博弈論引入到行人過街行為的研究中[20].

本文根據(jù)人車沖突實際情景,提出了沖突損失、等待損失、互讓損失以及基礎收益等概念,并在此基礎上建立了行人與機動車的博弈矩陣.引入演化分析范式,建立行人與機動車沖突演化的動力學模型,分析了系統(tǒng)均衡點的位置、穩(wěn)定性等,以探究“人讓車”及“車讓人”等形成的機理.本文的研究對于提高道路服務水平、加強道路交通安全、提升交通文明有著重要的意義.

這里需要特別說明的是,本文研究的重點并非針對行人與機動車在一次具體的沖突中是如何做出行為決策的,而在于整個城市的行人與機動車群體經(jīng)過反復發(fā)生沖突,雙方為了最大化自己的利益,不斷調整自己的行為策略,進行重復博弈,最終達到一種動態(tài)平衡的過程.為了定量化表述這種過程,建立了人車沖突演化動力學模型,并用于分析不同條件下人車沖突系統(tǒng)的收斂方向,即是會收斂于“車讓人”,又或者是“人讓車”等,以及收斂于這些穩(wěn)定點的速率如何.

2 人車沖突分析

2.1 人車沖突的流程分析

本文討論的人車沖突是指:在現(xiàn)實的交通環(huán)境下,如果行人與機動車雙方?jīng)]有信息交流,無法總是達成誰先行的一致意見,此時,二者都有一定的概率選擇通過,即為人車沖突情景.如果行人和機動車雙方根據(jù)人車安全的前提,不需要博弈很容易就能夠達成誰先行的共識,此時認為沒有沖突.如圖1(a),車輛距離行人太近,行人和機動車根據(jù)當前速度和距離一致判斷行人通過顯然是絕對不安全的,即雙方很容易就達成了車輛先行的一致,此類情況在本文中認為不發(fā)生沖突.如圖1(b),車輛距離行人太遠,明顯行人以正常速度可以安全通過,也不發(fā)生沖突.即這兩種情形都不是本文認為的沖突情形.

圖1 人車不發(fā)生沖突的情形 (a)車輛先行；(b)行人先行Fig.1. The situation which there is not conflict between pedestrian and vehicle:(a)Vehicle ahead；(b)pedestrian ahead.

如圖2所示,如果人車之間距離介于圖1中的兩種情況之間,行人將無法準確判斷機動車是選擇通過還是不通過.因為即使是同樣的交通情形,由于機動車駕駛員的個性差異,有些機動車會選擇通過,有些機動車會選擇不通過,即機動車是以一定概率選擇通過的.而機動車以多大概率選擇通過,行人只能根據(jù)以往的經(jīng)驗判斷獲知,然后根據(jù)判斷的機動車通過概率,決策行人自己選擇通過的概率.

同樣,由于行人也存在個性差異,機動車駕駛員認為行人也是以一定概率選擇通過的,進而機動車駕駛員會判斷行人的通過概率,據(jù)此決策自己選擇通過的概率.

既然在圖2這種沖突距離下,車輛和行人都是以一定的概率選擇通過的,那么車輛和行人就可能同時選擇通過,進而有發(fā)生人車事故的風險,這就是本文描述和分析的人車沖突情形.即由于不同行人與機動車的特性不同,人車難以根據(jù)安全的前提達成先行共識.

圖2 人車沖突情形Fig.2.The situation which there is a conflict between pedestrian and vehicle.

2.2 行人與機動車沖突協(xié)調分析

行人與機動車沖突最好的結果是“人讓車”或者“車讓人”,即行人與機動車之間能達成先行的協(xié)調.對于“人不讓車,車不讓人”或者“人讓車,同時車讓人”都不是最好的結果,前者易發(fā)生事故,后者則影響整體的交通效率.

假設在一次沖突中,行人選擇通過的概率為x,機動車選擇通過的概率為y,行人與機動車沒有信息交流,僅僅根據(jù)通過概率決定其是否通過.則行人選擇通過,機動車選擇不通過的概率為x(1?y),行人選擇不通過,機動車選擇通過的概率為y(1?x),進而行人與機動車達成先行協(xié)調的概率z為上述兩部分之和,即

式中,0 6 x 6 1,0 6 y 6 1.

z關于x,y的函數(shù)曲線如圖3所示,顯然z關于平面x+y=1對稱.z值最大為1,對應的(x,y)取值為(1,0)或(0,1),其他(x,y)取值越靠近這兩組值,對應的z值越大,且沿著x+y=1的平面,z值從最高點下降的速率最慢.

為了便于對圖3的交通含義進行分析,下面說明“人讓車”,“車讓人”以及“人不讓車,車不讓人”等對應的數(shù)學表示.

圖3 行人與機動車協(xié)調的概率Fig.3.Probability of coordination between pedestrians and motor vehicles.

如果行人選擇通過的概率為1,機動車選擇通過的概率為0,即(x,y)=(1,0),行人與機動車達成了行人先行的協(xié)調,就是所謂的“車讓人”.同理,可以得到表1所列的對應關系.其中符號(～,1)表示x可以取[0,1]中的任意值,y取1；符號(1,～)表示x取1,y可以取[0,1]的任意值.

表1 數(shù)學表示(x,y)對應的交通含義Table 1.Transportation means of the mathematical representation(x,y).

從圖3可以看出,(0,1)“人讓車”和(1,0)“車讓人”兩點協(xié)調的概率最高,值為1；(1,1)“人不讓車,車不讓人”和(0,0)“人讓車,同時車讓人”協(xié)調的概率最低,值為0.對于交通管理人員來講,可以通過采取相關措施,一步步調整行人及機動車通過的概率,從而實現(xiàn)人車沖突系統(tǒng)狀態(tài)由“人讓車”向“車讓人”轉換.為了保證轉換過程中協(xié)調的概率盡可能大,在調整時最好能夠保持機動車選擇通過的概率與行人選擇通過的概率之和為1,即x+y=1,這樣才能保證調整過程中交通狀態(tài)盡可能的安全、高效.

3 建立人車沖突演化動力學模型

3.1 基本假設

1)博弈參與主體的集合:機動車(駕駛員)和過街行人.

2)博弈主體策略集合:{通過,不通過}.

3)過街行人與機動車的支付變量.

由于無論如何決策,行人和機動車最終總能通過沖突區(qū),所以過街帶來的收益是一直存在的,但是,不同情況下產(chǎn)生的過街時間和其他損失會有所不同.如果設行人、機動車無沖突過街時的基礎收益分別為P,V,則行人與機動車選擇不同的策略組合,帶來的將只是相對于基礎收益的損失不同.

如表2,定義行人選擇通過,機動車選擇不通過時,機動車的損失為其等待損失N；行人選擇不通過,機動車選擇通過時,行人的損失為其等待損失M；行人和機動車都選擇通過時,機動車的損失為其沖突損失S,行人的損失為其沖突損失R；行人和機動車都選擇不通過時,機動車的損失為其互讓損失K,行人的損失為其互讓損失J.另外,行人與機動車發(fā)生沖突并不一定是發(fā)生事故,所以這里定義的沖突損失并不一定是行人與機動車發(fā)生事故對雙方造成的損失.

表2 變量定義表Table 2.Definition for variables.

3.2 模型建立

根據(jù)上述假設,可以得到行人與機動車的博弈矩陣如表3.

1)行人的期望收益及復制動態(tài)方程

行人選擇通過的純策略期望收益Ep1為

行人選擇不通過的純策略期望收益Ep2為

行人以x的概率選擇通過,以1?x的概率選擇不通過的混合策略的期望收益為

根據(jù)(2)和(4)式,得到行人選擇通過的復制動態(tài)方程為

表3 博弈矩陣Table 3.Game matrix.

2)機動車的期望收益及復制動態(tài)方程

機動車選擇通過的純策略期望收益Ev1為

機動車選擇不通過的純策略期望收益Ev2為

機動車以y的概率選擇通過,以1?y的概率選擇不通過的混合策略的期望收益為

根據(jù)(6)和(8)式,得到機動車選擇通過的復制動態(tài)方程為

將(5)和(9)式聯(lián)合起來即為行人與機動車沖突演化的動力學模型.

4 演化均衡穩(wěn)定分析

4.1 均衡點的相關計算

為求得人車博弈系統(tǒng)的均衡點,根據(jù)演化博弈中演化穩(wěn)定策略的概念和微分方程的相關知識,解由(5)和(9)式組成的關于x,y的二階微分方程組,如(10)式,即可得到系統(tǒng)的所有均衡點(x?,y?).

無論支付變量M,R,N,S取何值,二階微分方程組都有4組確定解(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)；當＜R且＜S,另有一組可能解(K/(K+S?N),J/(J+R?M))；特殊條件下R=M(或S=N),還會有無數(shù)組特殊解(～,1)(或(1,～)).

由(5)和(9)式構成的人車博弈動態(tài)系統(tǒng)的雅克比矩陣為

計算(11)式雅克比矩陣的秩和跡如下:

表4 不同均衡點對應的雅克比矩陣的秩和跡Table 4.The rank and trace of the jacobi matrix corresponding to the different equilibrium points.

為了分析均衡點的穩(wěn)定性,將可能的均衡點全部代入(12)和(13)式中,分別計算人車博弈系統(tǒng)的不同均衡點對應的雅克比矩陣的秩和跡,如表4所列:

4.2 均衡點的穩(wěn)定性

表5給出了均衡點的類型判別,對于離散系統(tǒng),當且僅當det(Jacobi)＞0,tr(Jacobi)＜0時,該均衡點為ESS(進化穩(wěn)定策略)穩(wěn)定點.由表4可以看出,博弈矩陣的支付變量相對取值不同,det(Jacobi),tr(Jacobi)的正負符號可能不同,進而根據(jù)表5判別均衡點的類型不同.

表5 均衡點類型判別表Table 5.The discriminant of equilibrium point type.

決定det(Jacobi),tr(Jacobi)正負符號的因素,主要是博弈矩陣支付變量M與R,N與S的相對大小.考慮M與R的相對大小主要是＜R,＞R,N與S的相對大小可能是＜S,＞S,下面將二者組合成4種情況分類討論不同情況下均衡點的類型.

這里首先簡單討論M與R,N與S組合成的4種情況對應的現(xiàn)實交通意義.

當過街行人流量比較小,從機動車的角度,由于行人流量小,機動車讓當前等待過街行人先通過,甚至連帶后面少數(shù)的行人通過之后自己再通過,帶來的延誤以及其他損失(加減速帶來的不舒適感等)相對于與行人發(fā)生沖突的損失可能并不高,即機動車的等待損失N小于其沖突損失S,即＜S.

同理,當機動車流量較小時,行人讓當前即將通過的機動車先通過,甚至連帶車輛后面幾輛車緊隨通過之后自己再通過,帶來的延誤相對于與機動車發(fā)生沖突的損失也并不高,即行人的等待損失M小于其沖突損失R,即＜R.

另一方面,當過街行人流量非常大,從機動車的角度,由于行人流量非常大,機動車如果讓當前等待過街的行人通過,后續(xù)會有很多行人連續(xù)緊隨通過,給機動車帶來延誤可能非常高,再結合其他損失,最后可能高于與行人發(fā)生沖突的沖突損失,即機動車的等待損失N大于其沖突損失S,即＞S.類似地,從行人的角度分析可以得到相似的結論,即行人的等待損失M也可能大于其沖突損失R,即＞R.這就說明下文討論M與R,N與S組合成的4種情況都對應有現(xiàn)實的交通意義.

下面開始討論4種分類條件下均衡點的穩(wěn)定性.

1)＜R且＜S

行人的等待損失小于其沖突損失,機動車的等待損失也小于其沖突損失,類似于博弈論經(jīng)典模型之“性別之戰(zhàn)”.此時,系統(tǒng)有5個均衡點:(0,0),(0,1),(1,0),(K/(K+S?N),J/(J+R?M)),(1,1).

表6 ＜R且＜S時的均衡點類型判斷Table 6.The discriminant of equilibrium point type when ＜R and ＜S.

從表6中看出系統(tǒng)有兩個穩(wěn)定點(0,1),(1,0).均衡點(K/(K+S?N),J/(J+R?M))為中心點(混合策略納什均衡點),(1,1)為不穩(wěn)定點.對于點(0,0),由表4知,無論M,R,S,N取值,其Jacobi矩陣行列式和跡恒為正,從而點(0,0)永遠是不穩(wěn)定點.也就是說“人讓車,同時車讓人”是永遠不可能穩(wěn)定存在的,下文將不再重復討論該點.

下面分別取一組滿足當前條件＜R且＜S的值,J=1,R?M=2,K=2,S?N=4,做出不同初始(x,y)值下的人車博弈系統(tǒng)的演化路徑圖(如圖4),分析其演化規(guī)律.x,y初始值分別取自向量(0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0),下同.

圖4 ＜R且＜S時的x-y演化路徑圖Fig.4.The evolutionary path of x-y when ＜R and ＜S.

這里先以(x,y)初始值取(0.6,0.9)的演化路徑為代表分析圖4,如圖中有數(shù)字標號的一條線,其演化方向已在圖中標識.1號位置,行人與機動車通過的概率都較大,人車雙方的損失以沖突損失為主,且由于行人與機動車的沖突損失均大于等待損失,所以人車將各自降低其通過概率以減少沖突損失,這就有了圖中位置1→2→3的演化.在3號位置(x,y)約為(0.35,0.85),此時行人通過概率較低,車輛通過的概率較高.對于車輛,由于行人通過概率較低,其通過概率的調整對沖突損失的增減并不顯著,但卻會顯著影響其互讓損失,即互讓損失成為其主要損失,所以車輛會提高其通過概率以減少互讓損失；對于行人,由于車輛通過概率較高,其通過概率的降低仍可以顯著減少沖突損失且不會顯著增加互讓損失,即沖突損失仍是主要損失,所以行人仍會降低通過概率以減少沖突損失.最終由3→4→5收斂于(0,1),即“人讓車”.

總體而言,除了表6中的三個不穩(wěn)定均衡點之外,所有初始值經(jīng)過一段時間的演化最終都收斂到(1,0)或(0,1).也就是說,無論行人和機動車的初始通過概率如何,都會向著“人讓車”或者“車讓人”的方向演化,初始占據(jù)優(yōu)勢的行人或機動車,后續(xù)的演化更容易積累擴大優(yōu)勢,以更高的概率選擇通過；初始處于弱勢的博弈主體在演化中會變得更弱,即通過概率不斷降低.這里說的行人或機動車占據(jù)優(yōu)勢是指其通過概率較高.

這是由于沖突損失大于等待損失,行人和機動車為了降低自己的損失,都會選擇盡量不與對方發(fā)生沖突,不會出現(xiàn)“人不讓車,車不讓人”；但是互讓損失的存在,又使行人和機動車不至于都不通過,也不會出現(xiàn)“人讓車,同時車讓人”.經(jīng)過反復博弈,最終行人與機動車達成“人讓車”或者“車讓人”的協(xié)調.

2)＜R且＞S

行人的等待損失小于其沖突損失,機動車的等待損失大于其沖突損失.此時,系統(tǒng)有4個均衡點:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).計算每個均衡點的局部穩(wěn)定性如表7.

此時人車博弈系統(tǒng)有一個穩(wěn)定點(0,1),兩個鞍點(1,0),(1,1),特殊的系統(tǒng)初始狀態(tài)可能會收斂于這兩個鞍點.

取J=1,R?M=2,K=2,S?N=?4以滿足當前條件＜R且＞S,做出不同初始值下(x,y)的演化路徑圖,分析其演化規(guī)律.

如圖5所示,在＜R且＞S條件下,對于任何初始值,人車博弈系統(tǒng)都會以極快的速度收斂于(0,1),除了y=0或x=1時,系統(tǒng)分別會收斂于鞍點(1,0)和(1,1).

這是由于機動車的等待損失大于其沖突損失,選擇通過是其嚴格優(yōu)勢策略,而行人的等待損失小于其沖突損失,行人的最佳對策是選擇避讓,從而系統(tǒng)存在純策略納什均衡,即為(0,1),機動車選擇通過,行人選擇不通過,“人讓車”.

表7 ＜R且＞S時的均衡點類型判斷Table 7.The discriminant of equilibrium point type when ＜R and ＞S.

圖5 ＜R且＞S時的x-y演化路徑圖Fig.5.The evolutionary path of x-y when ＜R and ＞S.

a)初始機動車通過概率y=0時,如果機動車通過概率沒有任何“突變”,根據(jù)(9)式,機動車通過概率y無法向其嚴格優(yōu)勢策略y=1演化增長,這相當于機動車不知道自己還可以選擇通過這種策略,所以只能一直選擇不通過,雖然其嚴格優(yōu)勢策略是通過.機動車選擇不通過,行人的最佳對策是通過,所以如果x=0,系統(tǒng)經(jīng)過一段時間的演化必然收斂于鞍點(1,0)“車讓人”.

b)初始行人通過概率x=1時,如果行人通過概率也沒有任何“突變”,根據(jù)(5)式,行人通過概率x無法向其最佳對策x=0演化,這相當于行人不知道自己還可以選擇不通過這種策略,所以只能一直選擇通過,雖然通過不是其最佳對策.而機動車通過的概率y必然向其嚴格優(yōu)勢策略y=1演化,從而系統(tǒng)收斂于(1,1)“人不讓人,車不讓車”.

另外,收斂于以上兩個鞍點“車讓人”和“人不讓車,車不讓人”的條件分別是初始情況下機動車通過的概率為0及行人通過的概率為1,一旦機動車(行人)發(fā)生“突變”,這相當于機動車(行人)發(fā)現(xiàn)自己還可以選擇通過(不通過)這種策略,人車博弈系統(tǒng)將不可逆地收斂于“人讓車”,這也比較符合現(xiàn)實的規(guī)律.

3)＞R且＜S

行人的等待損失大于其沖突損失,機動車的等待損失小于其沖突損失.此時,系統(tǒng)有4個均衡點:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).

計算每個均衡點的局部穩(wěn)定性如表8.取J=1,R?M=?2,K=2,S?N=4,做出不同初始值下(x,y)的演化路徑圖,如圖6.由于博弈矩陣變量的完全對稱性,此時＞R且＜S與＜R且＞S是完全對稱的,不做重復分析.

表8 ＞R且＜S時的均衡點類型判斷Table 8.The discriminant of equilibrium point type when ＞R and ＜S.

圖6 ＞R且＜S時的x-y演化路徑圖Fig.6.The evolutionary path of x-y when ＞R and ＜S.

4)＞R且＞S

行人的等待損失大于其沖突損失,機動車的等待損失大于其沖突損失.此時,系統(tǒng)有4個均衡點:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).計算每個均衡點的局部穩(wěn)定性如表9.此時系統(tǒng)有一個穩(wěn)定點(1,1),兩個鞍點(1,0),(0,1).

取J=1,R?M=?2,K=2,S?N=?4以滿足當前條件＞R且＞S,做出不同初始值下(x,y)的演化路徑圖,分析其演化規(guī)律.

如圖7所示,系統(tǒng)絕大多數(shù)的初始值,經(jīng)過一段時間的演化,最終都會收斂到穩(wěn)定點(1,1)“人不讓人,車不讓車”.在初始值x=0且x不發(fā)生“突變”時,會收斂到鞍點(0,1)“人讓車”；在初始值y=0且y不發(fā)生“突變”時,會收斂到鞍點(1,0)“車讓人”.

這是由于行人與機動車的等待損失均大于其沖突損失,此時(通過,通過)是惟一的純策略或混合策略納什均衡點.絕大多數(shù)情況下,系統(tǒng)將向著“人不讓人,車不讓車”的方向演化.

表9 ＞R且＞S時的均衡點類型判斷Table 9.The discriminant of equilibrium point type when ＞R and ＞S.

圖7 ＞R且＞S時的x-y演化路徑圖Fig.7.The evolutionary path of x-y when ＞R and ＞S.

5 靈敏度分析

前文討論了各種情況下人車博弈系統(tǒng)均衡點的位置和穩(wěn)定性,并分析了系統(tǒng)的演化機理.分析演化機理時,是通過取一組滿足當前條件的典型值,做出演化路徑圖展開分析的.雖然典型值的選取不會影響均衡點的位置和穩(wěn)定性以及演化路徑的基本輪廓,但卻會影響著系統(tǒng)收斂于均衡點的收斂速度.為此下文將分析基于博弈矩陣的四個參數(shù)J,K,R?M,S?N,對于系統(tǒng)收斂到均衡點的靈敏度.

將(5)和(9)式的行人與機動車通過概率的復制動態(tài)方程分別對J,K,R?M,S?N求導得:

可以看出x,y關于t的變化率是隨著J,K的增加而增加,隨著R?M,S?N的增加而減小.由于x,y既可能收斂于1,也可能收斂于0,即收斂方向不同,所以J,K,R?M,S?N既可能加快收斂速度,也可能減慢收斂速度.下面將通過Matlab編程做出幾種典型情況下,行人與機動車通過概率隨時間的演化收斂圖,進而分析J,K,R?M,S?N對收斂速度的作用.J,K,R?M,S?N的一組取值只為了說明一種典型,沒有其他的特別依據(jù).

為了便于分析觀察,本節(jié)不再像4.2節(jié)取11×11個系統(tǒng)初始值,做出不同初始值下系統(tǒng)的演化路徑,而是單方面取系統(tǒng)初始狀態(tài)(x0,y0)=(0.7,0.3)作為典型,展開仿真分析.由于博弈矩陣中機動車與行人的支付變量是完全對稱的,所以如果分析系統(tǒng)初始狀態(tài)為(x0,y0)=(0.7,0.3)時的演化收斂圖,會與(x0,y0)=(0.3,0.7)完全類似.

5.1 J,K的靈敏度分析

為了控制變量,在進行J,K靈敏度分析時,需要固定R?M,S?N的取值.這里R－M取5,而S?N分別取5和－5,以保證能夠做出兩組演化收斂圖,用以分析x,y收斂于0和收斂于1的兩種情況.另外,在進行J的靈敏度分析,還要控制K為某一定值,然后J分別取一組不同值,用以分析J的變化對于行人通過概率的靈敏度.在進行K的靈敏度分析時也要進行類似設定.系統(tǒng)初始狀態(tài)(x0,y0)取(0.7,0.3).

1)J的靈敏度分析

取R?M=S?N=5,(x0,y0)=(0.7,0.3),J分別取1,3,5,7,9,K=1,做出行人通過概率的演化收斂圖,如圖8(a).取S?N=?5,其他參數(shù)不變,做出另外一個行人通過概率的演化收斂圖,如圖8(b).圖中灰色的線由淺到深對應著J值的增大,實線對應的是行人通過概率的演化情況,虛線對應的是同時機動車通過概率的演化情況,橫軸是演化時間,縱軸對應行人或機動車的通過概率.

圖8(a)是研究S＞N(S?N=5)場景下,行人通過概率的演化關于行人互讓損失J的靈敏度圖.顯然行人互讓損失J的增大,使行人通過概率x更快地收斂于1,且過程由曲折變得直接,系統(tǒng)則更快地收斂于“車讓人”.即行人互讓損失的增加會促進沖突時行人通過概率的增大.

如圖8(b)是研究＞N(S?N=?5)場景下,行人通過概率關于行人互讓損失J的靈敏度圖.顯然行人互讓損失J的增大,使行人通過的概率x更慢地收斂于0,且過程更加曲折.即行人互讓損失的增加會抑制沖突時行人通過概率的下降.

2)K的靈敏度分析

取R?M=S?N=5,(x0,y0)=(0.7,0.3),K分別取1,3,5,7,9,J=1,做出機動車通過概率的演化收斂圖,如圖9(a).取S?N=?5,其他參數(shù)不變,做出另外一個機動車通過概率的演化收斂圖,如圖9(b).圖中灰色的線由淺到深對應著K值的增大,虛線對應的是機動車通過概率的演化情況,實線對應的是同時行人通過概率的演化情況,橫軸是演化時間,縱軸對應行人或機動車的通過概率.

圖9(a)是研究機動車通過概率關于機動車互讓損失K在S＞N(S?N=5)場景下的靈敏度圖.可見機動車互讓損失K的增加,可能改變機動車通過概率y的收斂方向,能夠減緩機動車通過概率收斂于0.即機動車互讓損失的增加會抑制沖突時機動車通過概率的下降.

圖9(b)是另一個研究機動車通過概率關于機動車互讓損失K在＞N(S?N=?5)場景下的靈敏度圖.可見機動車互讓損失K的增加,加速了機動車通過概率y收斂于1,且這種加速效果后期比較顯著.即機動車互讓損失的增加會促進沖突時機動車選擇通過概率的增大.

圖8 行人通過概率的演化收斂圖 (a)S?N=5；(b)S?N=?5Fig.8.Evolutionary convergence of pedestrian passing probability:(a)S?N=5；(b)S?N=?5.

圖9 機動車通過概率的演化收斂圖 (a)S?N=5；(b)S?N=?5Fig.9.Evolutionary convergence of vehicle passing probability:(a)S?N=5；(b)S?N=?5.

5.2 R?M,S?N的靈敏度分析

類似地,在進行R?M,S?N的靈敏度分析時,需要固定J,K的取值,這里取J=K=5.

另外,在進行R?M的靈敏度分析時,還要控制S?N為某一定值,然后R?M分別取一組不同值,來分析R?M的變化對于行人通過概率的靈敏度.

同樣,在進行S?N的靈敏度分析時,也要進行類似設定.系統(tǒng)初始狀態(tài)(x0,y0)取(0.7,0.3).

下面分析R?M,S?N對應的實際交通意義.R?M,S?N看上去是行人或者機動車沖突損失和等待損失之差,實際上它還有其他含義.

當決策主體面臨多個決策時,被舍棄的選項的最高價值即為本次決策的機會成本[17].將機會成本引入到博弈論里,本文定義了如下的機會損失的概念:博弈主體有多個策略,當博弈主體選擇某個策略,被舍棄的策略的最高得益與當前選擇策略的得益之差即為機會損失.

如表3,分析行人選擇通過,機動車也選擇通過時,行人的機會損失為P?M?(P?R)=R?M.同樣,行人選擇不通過,機動車選擇不通過時,行人的機會損失為P?(P?J)=J,所以互讓損失也是行人選擇不通過、機動車也選擇不通過時行人的機會損失.

所以R?M,S?N是行人或機動車選擇通過,博弈對方也選擇通過時,行人或機動車的機會損失.下文為了簡化表述,直接將R?M,S?N稱為行人或機動車的機會損失.

1)R?M的靈敏度分析

取J=K=5,S?N=?5,R?M分別取?10,?8,?6,?4,?2,0,2,4,6,8,10,(x0,y0)取(0.7,0.3).做出行人通過概率的演化收斂圖,如圖10.左手坐標系,x軸為演化時間,y軸為機會損失,z軸為行人通過概率.

圖10 行人通過概率的演化收斂圖Fig.10.Evolutionary convergence of pedestrian passing probability.

圖10是不同行人的機會損失下,行人通過概率的演化收斂圖.當行人通過概率收斂于1時,行人機會損失的增加,減緩了收斂的速度；當行人通過概率收斂于0時,行人機會損失的增加,加快了收斂的速度.即行人機會損失的增加會抑制行人通過概率的上升,促進行人通過概率的下降.

2)S?N的靈敏度分析

取J=K=5,R?M=?5,S?N分別取?10,?8,?6,?4,?2,0,2,4,6,8,10,(x0,y0)取(0.7,0.3).做出機動車通過概率的演化收斂圖,如圖11.

圖11 機動車通過概率的演化收斂圖Fig.11.Evolutionary convergence of vehicle passing probability.

圖11是不同機動車的機會損失下,機動車通過概率的演化收斂圖.當機動車通過概率收斂于1時,機動車機會損失的增加,減緩了收斂的速度；當機動車通過概率收斂于0時,機動車機會損失的增加,加快了收斂的速度.即機動車機會損失的增加會抑制機動車通過概率的上升,促進機動車通過概率的下降.

6 總 結

本文在對行人與機動車的沖突情景進行分析的基礎上,提出了基礎收益、沖突損失、等待損失以及互讓損失的概念,據(jù)此構建了行人與機動車的沖突博弈矩陣.然后引入演化分析范式,計算行人與機動車選擇通過的復制動態(tài)方程,建立行人與機動車沖突演化的動力學模型,來分析不同條件下系統(tǒng)的演化方向及演化速率.

表10 不同的沖突損失和等待損失相對大小對應系統(tǒng)的演化方向Table 10.The relative size between con fl ict loss and waiting loss are different,corresponding to different evolution direction of the system.

研究發(fā)現(xiàn),不同的沖突損失和等待損失相對大小,對應人車沖突系統(tǒng)的穩(wěn)定點及演化方向不同,如表10所列.另外,行人或機動車互讓損失的增加對各自通過概率有上升促進和下降抑制作用,而機會損失增加對通過概率的作用則與互讓損失恰好相反.

需要說明的是,本文雖為人車沖突演化機理的動力學模型研究,但對交通實踐仍具有一定的指導意義.例如,某城市由于歷史原因,行人處于交通弱勢,在與機動車發(fā)生沖突時,總是車輛先行.由于行人沖突損失大于其等待損失,與車輛搶行只能徒增其損失,而車輛處于最大得益狀態(tài),亦無改變現(xiàn)狀的意愿,所以人車沖突系統(tǒng)處于“人讓車”的穩(wěn)定狀態(tài),沒有外力干預無法改變現(xiàn)狀.此時,如果交通管理部門為提升道路交通文明,希望改變當前的人車沖突狀況,實現(xiàn)“車讓人”.則可以根據(jù)本文建立的模型,制定相關交通法規(guī)等改變博弈矩陣某些參數(shù),定向調整人車沖突系統(tǒng)的演化方向為“車讓人”,同時避免了法規(guī)制定不當,致使系統(tǒng)進入“人讓車,同時車讓人”的交通效率低下局面,又或者進入“人不讓車,車不讓人”的事故頻發(fā)局面.

最后,本文是對于使用演化博弈模型解釋人車沖突演化機理的一個初步研究,后續(xù)研究仍需選擇具體實例標定各參數(shù),以進一步評價模型的合理性.考慮使用延誤和風險偏好系數(shù)組合來量化損益,確定模型中博弈矩陣各參數(shù).其中延誤的確定可以利用交通流間隙理論建立模型計算；風險偏好系數(shù)的確定需要調查大量數(shù)據(jù),以擬合不同行人及駕駛員的性別、年齡等自然屬性與其過街風險偏好的相關關系,例如年輕人過街的風險偏好可能是偏冒險型,其風險偏好系數(shù)應為小于1的一個折減系數(shù),而年齡大的人過街的風險偏好可能偏保守型,其風險偏好系數(shù)應為大于1的一個擴增系數(shù).模型驗證可以選擇一個實例人車沖突交叉口,調查相關數(shù)據(jù),確定博弈矩陣各參數(shù),根據(jù)模型計算沖突演化路徑及演化結果,如演化結果與實例交叉口情形相一致,則模型具有一定合理性,進而可以用演化路徑圖來分析該交叉口的演化過程.