陳西浩 王秀娟

1)(重慶大學材料科學與工程博士后流動站,重慶 400030)

2)(重慶大學,輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術國家重點實驗室,重慶 400044)

3)(重慶大學物理學院,重慶 400044)

(2018年4月30日收到；2018年7月13日收到修改稿)

1 引 言

量子多體系統(tǒng)的量子相與相變一直是凝聚態(tài)物理研究的重要內(nèi)容,尤其是自朗道自發(fā)對稱破缺相變理論誕生以來,為了獲得更多物相本質(zhì),人們引入了大量的理論模型.擴展的量子羅盤模型[1](quantum compass model,QCM)就是其中非常重要的一個.該模型可以描述過渡金屬氧化物的電子輸運特性和量子比特保護機制,特別是量子比特保護機制在量子信息技術中存在潛在應用[2,3].因此該模型的相圖本性得到了廣泛的研究.人們使用了多種解析和數(shù)值模擬方法對存在和不存在橫場的QCM進行了研究[4?16].文獻[4—7]的結(jié)果表明:模型相變是系統(tǒng)內(nèi)在引起的且兩個無序相間是非連續(xù)相變；Sun和Chen[8]的自旋-自旋關聯(lián)、保真度磁化率和塊糾纏熵的有限尺寸標度研究結(jié)果支持連續(xù)相變的觀點；而后Wang和Cho[9]的結(jié)果也支持這個觀點；文獻[10,11]綜合了前兩種觀點,認為連續(xù)相邊界與非連續(xù)相邊界交叉處是多臨界點.特別地,Su等[11]對該模型進行了全面的研究,得到了全面可信的結(jié)果(包含:能量、關聯(lián)、糾纏、糾纏譜簡并度、保真度、序以及臨界指數(shù)).目前對于該模型的研究,人們把大量的精力都放在了相邊界上,卻鮮有人關注非局域長程拓撲弦關聯(lián)序參量(以下簡稱弦關聯(lián)序參量).本文在文獻[11]的基礎上,借助矩陣乘積態(tài)表示的無限虛時間演化塊算法[17],詳細地展示了如何從奇偶數(shù)弦關聯(lián)導出弦關聯(lián)序參量來研究該模型的量子相與相變的過程.要研究序參量,首先要明確的是序參量的概念.按照朗道自發(fā)對稱破缺理論的理解,可以表述為:當系統(tǒng)發(fā)生自發(fā)對稱性破缺時,系統(tǒng)就會存在一個局域序,而這個局域序可以用一個局域序參量來刻畫[18].該序參量可以將局域相和其他相區(qū)分開,對于連續(xù)相變還應滿足標度定律.然而長程拓撲相是一類新穎的相,超越了朗道連續(xù)相變理論,無法使用傳統(tǒng)的Landau-Ginzburg-Wilson范式的兩個基本概念:自發(fā)對稱性破缺與局域序參量.但我們可以借助序參量的概念來定義弦關聯(lián)序參量.局域序參量一般是根據(jù)局域磁化強度來確定的.弦關聯(lián)序參量的定義可以參照以上思路,用弦關聯(lián)來定義,需滿足:1)系統(tǒng)需發(fā)生隱性對稱破缺；2)該弦關聯(lián)序參量可以唯一刻畫區(qū)分對應的長程拓撲相區(qū)域；3)對于連續(xù)相變,在相變點附近滿足標度定律.

本文第2部分介紹了模型與相圖；第3部分應用單位格點保真度重復確認了相圖；第4部分詳細介紹了如何導出弦關聯(lián)序參量的過程,獲得了序參量相圖并提取了臨界指數(shù)；第5部分是總結(jié).

2 模 型

擴展的QCM模型的哈密頓量如下:

圖1 擴展的量子羅盤模型示意相圖Fig.1.Schematic phase diagram of the one-dimensional extended quantum compass model.

3 保真度

保真度是源于量子信息的概念,用于測量兩個量子態(tài)的相似度；定義為兩個量子態(tài)波函數(shù)的交疊.在矩陣乘積態(tài)表述下,保真度可定義為與控制參量J1和對應的波函數(shù)|?(J1)?和|?(?的交疊,即F(J1=|??(J1)|?(?|；其滿足：1)歸一性F(J1,J1)=1；2)有界性0 6 F(J1,6 1；以及3)對稱性F(J1,=F(J,J1).此外,保真度和系統(tǒng)尺度L存在如下標度[20]:

d(J1,)是單位格點保真度.這個定義近年來被引入到量子相變的研究,它能準確而方便地給出相變點位置[20].

在圖2中,我們計算了棕色線(1)J2=2(1?J1)上的參數(shù)區(qū)間的保真度.保真度平面存在兩個擠點(相變點),圖2(a)在(J1=(0,0)發(fā)生非連續(xù)相變；非連續(xù)相變的傳統(tǒng)解釋是存在能級交叉,一階導數(shù)不連續(xù),則判定系統(tǒng)發(fā)生了非連續(xù)性相變.從單位格點保真度的角度而言,保真度表面存在著跳躍(不連續(xù))即判定為非連續(xù)相變.出現(xiàn)這種跳躍的原因在于波函數(shù)內(nèi)部結(jié)構(gòu)嚴重的不一致.圖2(b)在(J1=(0.5,0.5)發(fā)生連續(xù)相變.連續(xù)相變的傳統(tǒng)解釋是能量的一階導數(shù)連續(xù),而二階及以上導數(shù)不連續(xù),則判定系統(tǒng)發(fā)生了連續(xù)相變.而單位格點保真度則認為只要保真度表面是連續(xù)變化的,就認為系統(tǒng)發(fā)生了連續(xù)相變.發(fā)生這種相變的原因在于:系統(tǒng)波函數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)是連續(xù)變化的,變化的程度相對遠遠弱于非連續(xù)相變的情況.以上單位格點保真度結(jié)果和文獻[11]結(jié)果一致.

圖2 單位格點保真度d(J1,隨控制參量J1和的變化(a)非連續(xù)相變,在(J1,=(0,0)處；(b)連續(xù)相變,在(J1,=(0.5,0.5)處Fig.2.Ground-statefidelity per lattice site d(J1,as a function of control parameters J1and(a)discontinuous phase transition at(J1,=(0,0)；(b)continuous phase transition at(J1,=(0.5,0.5).

4 弦關聯(lián)與量子相變

擴展的QCM模型的自旋耦合強度取決于輪換的奇偶數(shù)鍵,奇偶數(shù)鍵上耦合強度的不同會體現(xiàn)在基態(tài)波函數(shù)的奇偶數(shù)鍵的糾纏的不同,奇偶數(shù)鍵糾纏的不同必然導致所有格點有“二聚化”[21,22]偏向,奇數(shù)和偶數(shù)格點就會有差異.基于此,我們假設奇偶數(shù)弦關聯(lián)函數(shù)可以用來區(qū)分長程拓撲相,并采用了如下弦關聯(lián)函數(shù)定義[9,23?28]:

4.1 偶弦關聯(lián)行為

在圖3中,我們計算了代表點PII、PI和PIV的偶弦關聯(lián)的短程行為.在x和y方向,PII,PI和PIV的偶弦關聯(lián)都衰減為0；在z方向,PII和PI的偶弦關聯(lián)衰減為0,而PIV的偶弦關聯(lián)表現(xiàn)為單調(diào)負值.

圖3 偶弦關聯(lián)函數(shù)O,O和O隨格點間距|i?j|的變化行為Fig.3. Even string correlations O,Oand Oas a function of the distance of the lattice sites|i?j|.

4.2 奇弦關聯(lián)行為

在圖4中,類似偶弦關聯(lián),我們也計算了代表點PII,PI和PIV的奇弦關聯(lián)行為.圖4(a)點PII奇弦關聯(lián)O是單調(diào)負值,O和O是振蕩值.圖4(b)點PI的奇弦關聯(lián)O,O和Osz都是odd單調(diào)負值.圖4(c)點PIV的奇弦關聯(lián)O和O非常快地衰減為0,O是單調(diào)負值.內(nèi)插圖展示的是奇弦關聯(lián)的非0長程飽和行為,確保了奇弦關聯(lián)的非平庸性.自然地,用奇弦關聯(lián)定義的奇弦關聯(lián)序參量也就具有了非平庸性.

圖4 奇弦關聯(lián)O,O和O隨格點間距|i?j|變化行為,內(nèi)插圖展示的是飽和行為Fig.4. Behaviors of the odd string correlations with the distance of the lattice sites|i?j|.The insets show the saturation behaviors.

4.3 弦關聯(lián)序參量相圖

為了更深刻地理解系統(tǒng)發(fā)生的量子相變,需要找到系統(tǒng)的序參量(當系統(tǒng)處于長程拓撲相時應找到弦關聯(lián)序參量).4.1和4.2節(jié)的結(jié)果表明:1)偶弦關聯(lián),在x和y方向,不管是在長程拓撲相區(qū)域還是局域相區(qū)域,偶弦關聯(lián)都衰減為0,這是平庸的,無法用作弦關聯(lián)序參量的定義;在z方向,在局域相區(qū)域里,偶弦關聯(lián)是單調(diào)負值,這和該區(qū)域存在明顯的局域序相違,所以偶弦關聯(lián)無法用作弦關聯(lián)序參量的定義；2)對于奇弦關聯(lián),1在x方向,在長程拓撲相區(qū)域中都表現(xiàn)出單調(diào)負值,在局域相區(qū)域,衰減為0；在兩個長程拓撲相區(qū)域中,偶弦關聯(lián)行為一致；更為特別的是相圖1中的相變點(J1/L,J2/L)=(0,2),和文獻[9]中的深度處于長程拓撲序中的點(Jy,Jz)=(8,4)等價,也就是說相變點(J1/L,J2/L)=(0,2)深度處于單調(diào)O長程序中,故x方向的奇弦關聯(lián)在整個長程拓撲區(qū)域(含相變點)都具有O長程拓撲序,不可用于弦關聯(lián)序參量的定義；2在y方向,在長程拓撲相區(qū)域II中,奇弦關聯(lián)表現(xiàn)為振蕩行為,即+?+?......+?+?；而在區(qū)域I中表現(xiàn)為單調(diào)負值,即????......????；在局域相區(qū)域IV中衰減為0；3在z方向,奇弦關聯(lián)一直存在,不可用作弦關聯(lián)序參量的定義.綜上,弦關聯(lián)序參量僅可采用y方向奇弦關聯(lián)來定義.結(jié)合示意相圖特性,可考慮如下兩種類型奇弦關聯(lián)序參量定義:

但需要注意弦關聯(lián)序參量是按照格點間距|i?j|來定義的,理論上來說該間距可做到無窮大,這是有限的時間和計算資源所不允許的,通常人們會設定一個誤差范圍(本文設定的誤差范圍是ε＜1e?8),當達到這個誤差范圍時就認為該弦關聯(lián)值就是弦關聯(lián)序參量的值.從相鄰相的區(qū)分意義上,Wang和Cho[9]成功地找到了一組弦序參量；而弦關聯(lián)的線性組合弦序參量：

適用于全局參數(shù)區(qū)間.圖5給出了序參量相圖,包含y方向的振蕩奇弦關聯(lián)序相(J1＜0)、y方向的單調(diào)奇弦關聯(lián)序相(＜；J1＜0.5)、和反鐵磁相(J1＞0.5).單調(diào)(振蕩)奇(偶)弦關聯(lián)序參量是Hida等[23]在研究輪換交替作用的海森伯模型時,為了描述偶弦關聯(lián)Haldane相和二聚相共存的情況而引入.而后Wang和Cho[9]為了刻畫區(qū)分四種不同的Haldane相而引入到QCM模型中.擴展的QCM模型中雖有輪換交替耦合,卻不存在二聚相,但輪換交替耦合確實會導致基態(tài)波函數(shù)存在“二聚化”偏向.故在引入單調(diào)(振蕩)奇(偶)弦關聯(lián)時是假設它們可以用于長程拓撲相區(qū)域刻畫.經(jīng)過數(shù)值證實,由“二聚化”偏向引入的單調(diào)(振蕩)奇弦關聯(lián)序參量可以很好地刻畫區(qū)分長程拓撲相區(qū)域.y方向振蕩奇弦關聯(lián)序參量和單調(diào)奇弦關聯(lián)序參量值非0表明在這兩個子區(qū)間發(fā)生了隱性的Z2×Z2對稱破缺.隨著控制參量J1增大到0.5后,它打破了原來的長程序,系統(tǒng)發(fā)生自發(fā)對稱破缺,進入反鐵磁序.磁化強度表現(xiàn)為符號相反、大小相等.

圖5 以J1為控制參量的基態(tài)序參量相圖Fig.5. The ground-state phase diagram of order parameters as a function of control parameter J1.

4.4 臨界指數(shù)

圖6 (a)βO；(b) β；圖標是數(shù)據(jù),實線為擬合曲線Fig.6. (a)β；(b) β.The icons are data.The solid line is fitting line.

臨界指數(shù)是研究系統(tǒng)臨界性質(zhì)的參數(shù).提取臨界指數(shù)能從更深的層次上揭示相變的性質(zhì).圖6展示了漸近臨界點J=0.5過程中,y方向的單調(diào)奇弦關聯(lián)序參量和局域磁化強度隨著|J1?J|的冪次律變化關系.它們的冪次律擬合方程分別為O=|J1?|2β和|?|=|J1?J|β.擬合臨界指數(shù)βO=0.1236 和β|?σ?|=0.1246都趨近于準確值β=1/8表明:該處發(fā)生相變的普適類為Ising類型.

5 結(jié) 論

本文應用矩陣乘積態(tài)表述的無限虛時間演化塊算法,研究了擴展的QCM模型的長程拓撲相和量子相變.為了深入研究該模型的長程拓撲相和量子相變,按照奇數(shù)和偶數(shù)鍵,本文引入了奇數(shù)弦關聯(lián)和偶數(shù)弦關聯(lián).弦關聯(lián)表現(xiàn)出三種截然不同的行為:衰減為零、單調(diào)飽和與振蕩飽和.基于弦關聯(lián)的以上特征導出的y方向的振蕩 (單調(diào))奇弦關聯(lián)序參量可描述該模型的長程拓撲相和量子相變.y方向的振蕩(單調(diào))奇弦關聯(lián)序參量的非零值表明擴展的QCM發(fā)生了隱性的Z2×Z2對稱破缺.在臨界點J=0.5附近,局域磁化強度和單調(diào)奇弦關聯(lián)序參量的臨界指數(shù)β=1/8表明相變的普適類是Ising類型.此外,保真度探測到的相變點、連續(xù)性與非連續(xù)性和序參量結(jié)果一致.以上方法對長程拓撲相和量子相變的研究具有指導意義.