楊繪

【摘要】高年級(jí)學(xué)生的抽象思維有所發(fā)展，但這種初步的抽象思維仍然離不開豐富感性材料的支撐，仍然需要直觀形象思維的支持。在教學(xué)中，借助幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，可以有效地幫助他們理解概念、探索解決問題的思路。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀 直觀形象思維 圖形表征

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。徐利治教授用這樣一段話來描述：“幾何直觀就是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知?！庇纱丝梢?，幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮重要的作用。

一、直觀演示，理解分?jǐn)?shù)意義

高年級(jí)學(xué)生的抽象思維有所發(fā)展，但仍具有很大成分的具體形象性。借助幾何直觀，化抽象為直觀，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解，進(jìn)一步提升學(xué)生思維的深度。在《分?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)中，有效利用直觀圖，為學(xué)生提供充分的感性材料，讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的形成過程，從而在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上上升到理性認(rèn)識(shí)。

1，感悟單位“1”

師：要想知道黑板的長是多少米，可以怎么辦？

師：把1米看作一個(gè)單位來度量，有這樣的4個(gè)1米，也就是4米。

出示：把4個(gè)圓片看作一個(gè)單位來度量，用1表示，12個(gè)圓片用哪個(gè)數(shù)來表示？把6個(gè)圓片看作一個(gè)單位來度量，用1表示，12個(gè)圓片又該用哪個(gè)數(shù)來表示呢？為什么？

師：同樣是12個(gè)圓片，為什么剛才表示3，現(xiàn)在又表示2呢？

師：作為度量標(biāo)準(zhǔn)的1發(fā)生了變化。這樣的1，我們稱它為單位“1”。

通過用米尺度量黑板，再分別用4個(gè)圓片、6個(gè)圓片看作“1”去度量12個(gè)圓片，形象化地理解不同的“1”去計(jì)數(shù)，會(huì)產(chǎn)生不同結(jié)果。這樣使學(xué)生感悟作為度量標(biāo)準(zhǔn)的“1”是適應(yīng)客觀需要而產(chǎn)生的，并促進(jìn)學(xué)生對(duì)單位“1”的理解。

2.建構(gòu)3/4的模型

師：把1個(gè)正方形、1米這樣的長度單位、8個(gè)圓片組成的整體分別看作單位“1”，下面的涂色部分又分別用怎樣的數(shù)來表示呢？

師：為什么涂色部分都用3/4來表示？

指出：像這樣一個(gè)物體，一個(gè)計(jì)量單位或是由許多物體組成的一個(gè)整體，都可以用自然數(shù)1來表示，通常我們把它叫做單位“1”。

師：為什么不同的圖都用分?jǐn)?shù)3/4來表示？

師：把單位“1”平均分成4份，表示這樣3份的數(shù)，是3/4。也就是說3/4這個(gè)分?jǐn)?shù)與單位“1”是誰沒有關(guān)系。

通過一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位以及一個(gè)整體作為單位“1”來度量，學(xué)生理解有幾個(gè)單位“1”就是幾，清晰地看到了用單位“1”去“量”的過程，在經(jīng)驗(yàn)積累的過程中逐步感悟：把單位“1”平均分是因?yàn)椴粔颉傲俊保骄殖蓭追菔怯杀容^量決定的。這里，學(xué)生除了感覺到“分”的過程，也能感覺到“量”的過程，還能隱約感覺到“比”的過程。這樣，學(xué)生對(duì)單位“1”才能理解得更深刻，

從上面的教學(xué)環(huán)節(jié)中不難看到，教師引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了3/4這一分?jǐn)?shù)的建構(gòu)過程，逐步厘清分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。借助形象的直觀圖，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了“量”“分”“比”的過程，在比較中逐步感悟分?jǐn)?shù)本質(zhì)，最終能自覺剝離掉物體個(gè)數(shù)、圖形形狀等非本質(zhì)屬性的影響，真正理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，從而形成對(duì)分?jǐn)?shù)清晰、深刻的認(rèn)識(shí)，提升對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，建構(gòu)分?jǐn)?shù)直觀模型。

3.抽象分?jǐn)?shù)意義

在線段上表示出分?jǐn)?shù)的圖形，將抽象的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為直觀圖形，可以更好地幫助學(xué)生從整體上理解分?jǐn)?shù)?！皼]有圖形就沒有思考”（笛卡爾），“幾何直觀是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)最有效的渠道”（阿提雅）。正是這些操作經(jīng)驗(yàn)的不斷累積，學(xué)生的腦海中會(huì)深深地刻下這些經(jīng)常感知的圖形，需要時(shí)成為可以隨時(shí)提取的清晰的數(shù)學(xué)表象，成為展開數(shù)學(xué)想象的重要材料。因此在教學(xué)中，應(yīng)借助于直觀圖形，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺，引導(dǎo)學(xué)生從不同的視角、方向、策略來思考問題，尋找解決問題的突破口。

二、借助數(shù)軸，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位

數(shù)軸能體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的高度抽象性，表明分?jǐn)?shù)與自然數(shù)一樣可以在數(shù)軸上表示出來。借助數(shù)軸，幫助學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)單位，學(xué)生在數(shù)軸上一小格一小格地?cái)?shù)分?jǐn)?shù)、讀分?jǐn)?shù)，就能很好地感悟數(shù)軸上的分?jǐn)?shù)就是由相同的分?jǐn)?shù)單位累積而成的。體驗(yàn)分?jǐn)?shù)單位的概念具有“數(shù)”和“形”兩方面的特征，對(duì)分?jǐn)?shù)單位的認(rèn)識(shí)更加深刻。

分?jǐn)?shù)單位是組成分?jǐn)?shù)的基本單位，等同于自然數(shù)的單位1。在教學(xué)中，借助數(shù)軸揭示了分?jǐn)?shù)單位累積成為分?jǐn)?shù)的形成過程，學(xué)生結(jié)合數(shù)軸明確了幾個(gè)1/4就是四分之幾，體會(huì)分?jǐn)?shù)單位與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。在數(shù)軸上數(shù)一數(shù)的過程中，進(jìn)一步體會(huì)到分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位的累加，把分?jǐn)?shù)看成是“分?jǐn)?shù)單位的累加”，延續(xù)了自然數(shù)中計(jì)數(shù)單位的認(rèn)知，將知識(shí)有效遷移到分?jǐn)?shù)中，從本質(zhì)上理解分?jǐn)?shù)單位即是組成分?jǐn)?shù)的基本單位，而不是機(jī)械記憶分?jǐn)?shù)單位是幾分之一這一外部特征。

三、圖形表征，鞏固分?jǐn)?shù)運(yùn)用

小學(xué)生的思維以直觀、形象思維為主要形式。他們對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念容易停留在記憶層面，不能真正理解概念的本質(zhì)，因而容易產(chǎn)生各種錯(cuò)誤。因此，面對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，我們可以采用圖形表征問題，將抽象的知識(shí)形象化、直觀化，以簡潔、清晰的圖形分析數(shù)量關(guān)系，尋找解題思路，學(xué)生較容易突破語言邏輯的限制，使得思維更加開闊、靈活。

學(xué)生之所以對(duì)2/3小時(shí)和2/3比較難理解，本質(zhì)原因是對(duì)單位“1”這一比較抽象、復(fù)雜的知識(shí)理解不夠到位。借助直觀圖，將復(fù)雜的問題變得形象、直觀，更好地幫助學(xué)生理解題意，充分激活學(xué)生的解題思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生思考問題的積極性。

斯蒂恩認(rèn)為：“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體地把握了問題?！蔽覈麛?shù)學(xué)家張廣厚也認(rèn)為：“抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的，同樣，在抽象中如果看不出直觀，一般說明還沒有把握問題的實(shí)質(zhì)?！彼栽趯?shí)際教學(xué)中，遵循小學(xué)生的思維特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的方法表征抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，借助圖形的直觀性理解題意，尋找解題策略。

幾何直觀是一種能力，是一種策略，因此作為能力的提升，不可能在一堂課、一道題中體現(xiàn)，而是一個(gè)長期的、動(dòng)態(tài)的過程。我們應(yīng)抓住平時(shí)的點(diǎn)滴機(jī)會(huì)，有意識(shí)地滲透，唯有如此，我們才能逐步提高學(xué)生的幾何直觀能力。