曹丹育

【內(nèi)容摘要】直觀想象的核心素養(yǎng)的考查主要反映在立體幾何中空間想象能力的考查，近幾年全國高考題中立體幾何客觀題對組合體的考查熱度不減，其中外接球問題是重中之重，如何求外接球的半徑、表面積或體積，關(guān)鍵在于尋找外接球的球心，非特殊幾何體通過尋找球的兩個不平行的截面的圓心就可以確定球心，這樣將空間問題化為平面問題，化抽象為直觀，便于分析和解決問題。

【關(guān)鍵詞】直觀想象 多面體 外接球 球心

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)更加關(guān)注核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，首都師范大學(xué)王尚志教授指出：“核心素養(yǎng)相對具體學(xué)科是抽象的，但它能以不變應(yīng)萬變，中國學(xué)生應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！睆慕鼛啄耆珖呖夹抡n標(biāo)卷對立幾的考查來看，對空間想象能力的要求提高了，特別是球的組合體問題的考查，著重考查學(xué)生直觀想象的學(xué)科素養(yǎng)。而人教版高中數(shù)學(xué)必修二只是簡單介紹球的概念和體積、表面積公式，對球的性質(zhì)及與其它幾何體結(jié)合的組合體問題只字未提，而球的組合體的考察顯然是熱點(diǎn)問題，該如何解決幾何體外接球的半徑、體積和表面積問題呢？筆者根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對立體幾何中的外接球問題進(jìn)行一些探索補(bǔ)充，希望對解決這類問題有所幫助。筆者認(rèn)為解決球的問題，關(guān)鍵量——半徑，也就是球心到球面的距離，那么尋找球心就是重中之重，如何解決球心的位置問題呢？

一、球心位置概述

1.球的大圓的直徑的中點(diǎn)；

2.過球的兩個不平行的小圓的圓心且垂直小圓面的兩直線交點(diǎn)。如圖（1），（2）。

顯然第一種方法確定球心不方便，因?yàn)轭}意往往只給出一個多面體，外接球不易畫，當(dāng)然更無法通過球的大圓來找圓心，所以筆者認(rèn)為第二種方法適用，只要尋找兩個不平行的截面的圓心就可以確定球心，這樣將空間幾何問題降維為平面幾何問題，便于想象和分析，再把條件集中到某個直角三角形，利用方程思想破解。下面以特殊幾何體和一般幾何體為例分別說明如何確定球心。

二、常見的特殊幾何體外接球

1.長方體外接球，其直徑就是長方體的對角線，（或說長方體側(cè)棱中的對棱形成的矩形所在的外接圓就是球的大圓）對角線的中點(diǎn)就是球心。（正方體是特殊的長方體）

2.正四面體的外接球，它的球心是它的高的四等分點(diǎn)中離面最近的第一個等分點(diǎn)，它也是內(nèi)切球的球心；高的四分之三為外接球半徑，四分之一為內(nèi)切球半徑。正四面體也可置于一個正方體中，則正四面體的外接球即為正方體的外接球。

3.邊數(shù)為偶數(shù)的正棱柱的外接球，它的正對兩側(cè)棱形成的矩形對角線就是直徑。

4.正棱錐的外接球，它的球心一定在它的高線所在的直線上。

5. 三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球，可用補(bǔ)形法，將其補(bǔ)成一個長方體，三條兩兩垂直的側(cè)棱即為長方體的長、寬、高，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球。

6.四個面均為直角三角形的三棱錐，也可用補(bǔ)形法，將其置于長方體中，則該三棱錐的外接球即為長方體的外接球。

例1.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a， 頂點(diǎn)都在一個球面上，則這球的表面積為 .

分析：球心在上、下底面中心的連線上，而且在連線的中點(diǎn)處，由R=216a，所以球的表面積為7πa23.

例2.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為a，則其外接球的表面積是 .

分析：可通過補(bǔ)形法，將三條兩兩垂直的側(cè)棱作為長方體的長、寬、高補(bǔ)成一個長方體，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，此題正好補(bǔ)為一個正方體，從而2R=3a2=3a，所以外接球的表面積為3a2π.

三、非特殊幾何體的外接球問題

尋找外接球的球心，求外接球的半徑的基本步驟：通過兩個互相不平行的兩表面多邊形的外接圓圓心→過外接圓圓心作垂直外接圓面的垂線→兩垂線的交點(diǎn)就是球心→再通過解三角形相關(guān)定理求得球的半徑，解決球的體積或表面積等問題。

例3.已知如圖所示的三棱錐D-ABC的四個頂點(diǎn)均在球O的球面上，△ABC 和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，則球O的表面積為（ ）

A.4π B.12π C.16π D.36π

說明：由于△DBC為等邊三角形，所以其外接圓的圓心必是△DBC的中心，設(shè)為P，而△ABC為直角三角形，其外接圓的圓心必是BC的中點(diǎn)，設(shè)為Q，則過P與Q分別作△DBC和△ABC所在面的垂線，交點(diǎn)正好在△DBC中BC邊上的高上，此交點(diǎn)就是球心。

解：∵AB=3，AC=3，BC=23

∴AB2+AC2=BC2

∴AC⊥AB

∴△ABC的外接圓的半徑為3，

∵△ABC和△DBC所在平面互相垂直，∴球心在BC邊的高上 .

設(shè)球心到平面ABC的距離為h，h2+3=R2=（32×23-h）2，

∴h=1，R=2. ∴球O的表面積為16π.

例4.已知邊長為23的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對角線BD折成二面角A-BD-C為120°的四面體ABCD，則四面體的外接球的表面積為（ ）

A. 25π B. 26π C. 27π D. 28π

分析：由已知菱形ABCD可知△DBC和△DBA均為等邊三角形，所以分別由△DBC和△DBA的中心即外接圓的圓心作這兩個三角形所在面的垂線，交點(diǎn)即為球心O，其中O′為△DBC的外接圓的圓心（三角形的中心），則∠AFC=120°，∠OFO′=60°， OO′⊥FC.

解：如圖所示，∠AFC=120°， AF=32×23=3，則∵O′B=2，O′F=1，

∴O′O=tang60°·1=3，

∴由勾股定理可得R2=（3）2+4=7

所以四面體的外接球的表面積為28π.

【方法點(diǎn)睛】這兩題主要是考查了球的組合體問題，要求表面積，就是要求半徑，那么關(guān)鍵是找兩個截面圓的圓心，再找球心，其中解答中涉及到球的基本性質(zhì)的應(yīng)用、球的表面積公式、三棱錐的線面位置關(guān)系、棱錐的體積公式等知識點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及空間想象能力，突出數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)中直觀想象的考查。

多面體外接球問題緊緊扣住如何確定球心位置為突破口，通過尋找兩個不平行截面圖形的外接圓圓心，然后分別過兩個圓心作垂直于截面的垂線，交點(diǎn)即為球?yàn)镺，進(jìn)而將抽象問題具體化，化空間圖形問題為平面圖形問題，再利用直角三角形達(dá)到解決目的。通過特殊與非特殊幾何體外接球問題的突破，復(fù)雜問題簡單化，相關(guān)問題迎刃而解。

【參考文獻(xiàn)】

[1]黃喜濱， 江澤. 基于核心素養(yǎng)的空間幾何體外接球之探究[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)， 2017（8）：15-18.

[2]陳炳泉. 一道省質(zhì)檢試題的探討[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)， 2017（5）：1-4.

（作者單位：福建省南平地區(qū)政和縣第一中學(xué)）