伊天成 丁悅?cè)?任杰 王藝敏 尤文龍4)?

1)(蘇州大學(xué)物理與光電·能源學(xué)院,蘇州 215006)

2)(常熟理工學(xué)院物理系,常熟 215500)

3)(陸軍工程大學(xué)通信工程學(xué)院,南京 210007)

4)(蘇州大學(xué),江蘇省薄膜材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,蘇州 215006)

(2018年2月13日收到;2018年4月3日收到修改稿)

研究了具有Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用的一維橫場(chǎng)XY自旋鏈的量子相變和量子相干性.采用約旦-維格納變換嚴(yán)格求解了哈密頓量,并描繪了體系的關(guān)聯(lián)函數(shù)和相圖,相圖包含反鐵磁相、順磁相和螺旋相.利用相對(duì)熵和Jensen-Shannon熵討論了XY模型的量子相干性.研究發(fā)現(xiàn),相對(duì)熵與Jensen-Shannon熵所表現(xiàn)的行為都可以很好地表征該模型的量子相變.非螺旋相中量子相干性不依賴DM相互作用,而在螺旋相DM相互作用對(duì)量子相干性有顯著影響.此外,指出了在帶有DM相互作用的這一類反射對(duì)稱破缺體系中關(guān)聯(lián)函數(shù)計(jì)算的常見(jiàn)問(wèn)題.

Here,0 6 γ 6 1 is the anisotropic parameter,h is the magnitude of the transverse magnetic field,D is the strength of Dzyaloshinskii-Moriya(DM)interaction along the z direction.The limiting cases such as γ=0 and 1 reduce to the isotropic XX model and the Ising model,respectively.We use the Jordan-Winger transform to map explicitly spin operators into spinless fermion operators,and then adopt the discrete Fourier transform and the Bogoliubov transform to solve the Hamiltonian Eq.(8)analytically.When the DM interactions appear,the excitation spectrum becomes asymmetric in the momentum space and is not always positive,and thus a gapless chiral phase is induced.Based on the exact solutions,three phases are identified by varying the parameters:antiferromagnetic phase,paramagnetic phase,and gapless chiral phase.The antiferromagnetic phase is characterized by the dominant x-component nearest correlation function,while the paramagnetic phase can be characterized by the z component of spin correlation function.The two-site correlation functions Gxyr and Gyxr (r is the distance between two sites)are nonvanishing in the gapless chiral phase,and they act as good order parameters to identify this phase.The critical lines correspond to h=1,γ=2D,andWhen γ =0,there is no antiferromagnetic phase.We also find that the correlation functions undergo a rapid change across the quantum critical points,which can be pinpointed by the first-order derivative.In addition,decreases oscillatingly with the increase of distance r.The correlation functionfor γ=0 oscillates more dramatically than for γ =1.The upper boundary of the envelope is approximated as ～ r?1/2,and the lower boundary is approximately～ r?3/2,so the long-range order is absent in the gapless chiral phase.Besides,we study various quantum coherence measures to quantify the quantum correlations of Eq.(8).One finds that the relative entropy CREand the Jensen-Shannon entropy CJSare able to capture the quantum phase transitions,and quantum critical points are readily discriminated by their first derivative.We conclude that both quantum coherence measures can well signify the second-order quantum phase transitions.Moreover,we also point out a few differences in deriving the correlation functions and the associated density matrix in systems with broken reflection symmetry.

1 引 言

量子相干和量子糾纏是量子力學(xué)最基本的兩個(gè)特性,其根源在于量子態(tài)的疊加原理,即單個(gè)量子態(tài)可由多個(gè)不同態(tài)以不同的方式相干疊加得到.量子相干和量子糾纏被認(rèn)為是量子物理和量子信息的核心,是實(shí)現(xiàn)各種量子任務(wù)（如量子遠(yuǎn)程通信和量子計(jì)算等）的量子資源,是量子信息科學(xué)的優(yōu)勢(shì)所在.這兩種現(xiàn)象盡管概念完全不同,卻有著緊密的聯(lián)系.相干性和糾纏可以通過(guò)運(yùn)算等效[1].目前,作為一種對(duì)量子疊加性的量化,量子相干性已經(jīng)成為處理量子信息的一種重要的手段[2].研究表明,量子糾纏可以被認(rèn)為是相干性的一種體現(xiàn),反之則不成立.例如,兩量子比特的直乘態(tài)沒(méi)有糾纏,只有相干. 物理學(xué)家對(duì)量子糾纏的研究已有幾十年,成果斐然[3].量子糾纏在量子科技中發(fā)揮著不可或缺的作用,比如可以實(shí)現(xiàn)密鑰共享[4]、量子密碼術(shù)[5]和量子克隆[6]等.與量子糾纏相比,人們對(duì)量子相干領(lǐng)域的研究還較少.而借鑒量子糾纏領(lǐng)域的研究成果可以大大加深對(duì)量子相干性的研究.近年來(lái),人們應(yīng)用量子信息的概念,如量子糾纏[7?11]、量子失諧[12,13]、保真率[14,15]來(lái)描述量子相變,拓展了對(duì)量子臨界行為的認(rèn)識(shí).人們發(fā)現(xiàn)量子糾纏在非臨界區(qū)滿足面積定理,而在臨界點(diǎn)表現(xiàn)出對(duì)數(shù)發(fā)散行為[16].為此,利用量子相干性來(lái)研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的量子相變,有助于理解凝聚態(tài)系統(tǒng)中更廣泛而深刻的行為.同時(shí),對(duì)量子相干性的深入研究不僅對(duì)量子信息的發(fā)展有著重大的意義,也可以促進(jìn)對(duì)量子力學(xué)基本問(wèn)題的理解.

本文研究具有Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用的自旋1/2的XY模型的量子相干性.XY模型是低維量子系統(tǒng)的一個(gè)重要模型,它在1961年就被Lieb等[17]嚴(yán)格求解.XY模型具有非常廣闊的變化范圍,它包含了Ising模型、各向同性XX模型以及各向異性XY模型,具有非常豐富的物理內(nèi)涵.許多復(fù)雜模型都可以借助一系列的方法映射到此模型上來(lái)解決問(wèn)題,它等價(jià)于二聚化的XX模型[18].不僅如此,眾多材料也能實(shí)現(xiàn)有效的XY模型.例如,Cs2CoCl4是沿著b軸的自旋1/2的準(zhǔn)一維XY自旋鏈[19];將鈷原子鏈蒸發(fā)在Cu2N/Cu(100)襯底上可以形成有效的XY模型[20].近年來(lái),人們對(duì)DM相互作用具有濃厚的興趣,對(duì)于具有DM相互作用的反鐵磁性的材料進(jìn)行了廣泛的研究.DM相互作用是存在于磁性材料中的一種非對(duì)稱的交換作用,源于自旋軌道耦合[21,22].在一級(jí)近似下,DM相互作用可以寫成Dij·(σi× σj),這里Dij稱為DM矢量.DM 相互作用可以使一些材料表現(xiàn)出新的性質(zhì),比如引起亞鐵磁絕緣體Cu2OSeO3的螺旋自旋基態(tài)和鐵電性質(zhì)的變化[23?25],誘發(fā)多鐵材料BiFeO3的擺線狀磁結(jié)構(gòu)[26].DM相互作用的存在使得電子自旋共振[27]和電場(chǎng)調(diào)制[28]等技術(shù)可以應(yīng)用在磁性化合物上.這些神奇的現(xiàn)象激發(fā)了理論研究者的廣泛興趣[29?36].

本文的結(jié)構(gòu)如下:第2部分介紹具有DM相互作用的一維XY模型,計(jì)算該模型的能譜和基態(tài)性質(zhì),并給出XY模型在不同情況下的相圖;第3部分討論XY模型的關(guān)聯(lián)函數(shù);第4部分利用相對(duì)熵和Jensen-Shannon熵討論XY模型的量子相干性;第5部分給出最終的結(jié)論.

2 模型和相圖

在此引入XY模型的哈密頓量:

其中γ表示描述各向異性程度的參數(shù),h表示磁場(chǎng)的大小,D表示沿著z軸的DM相互作用強(qiáng)度,表示位于格點(diǎn)i上自旋的泡利矩陣的α分量,N為總格點(diǎn)數(shù).本文選擇周期邊界條件,即σN+1=σ1.當(dāng)γ=0時(shí),模型(1)為各向同性的XX模型;當(dāng)γ=1時(shí),模型(1)簡(jiǎn)化成Ising模型.利用約旦-維格納變換做進(jìn)一步處理:

這里需要借助產(chǎn)生算符σ+和湮滅算符σ?,其定義為σ±≡(σx±iσy)/2.由此,上述哈密頓量(1)式可以被寫成關(guān)于無(wú)自旋費(fèi)米子的產(chǎn)生算符和湮滅算符的二次型:

由于哈密頓量(1)式具有平移不變性,可以通過(guò)傅里葉變換將方程(5)轉(zhuǎn)換到動(dòng)量表象.最后,利用波戈留波夫變換再進(jìn)行對(duì)角化處理,這樣可以得到基態(tài)能量的精確解.最終哈密頓量可以變換為對(duì)角化的形式:

其中

圖1顯示了h=0.5,γ=1時(shí)D取不同值時(shí)的激發(fā)譜?k,十分清楚地反映了能譜隨DM相互作用變化的趨勢(shì).當(dāng)D=0時(shí),能帶存在能隙? ≡ mink?k.這時(shí)基態(tài)|ψ0中所有動(dòng)量k上的電子占據(jù)數(shù)為0,即bk|ψ0=0.隨著D的增加,能隙?變得越來(lái)越小.當(dāng)D=0.5時(shí),?k在某一個(gè)非公度的動(dòng)量kc等于0,能隙關(guān)閉.當(dāng)D>0.5時(shí),部分能譜變成負(fù)數(shù),能隙消失,費(fèi)米面上有兩個(gè)交點(diǎn)kL和kR.對(duì)于一般情況,不難從(7)式得到

圖1 h=0.5,γ=1時(shí)的激發(fā)譜Fig.1.Excitation spectra for h=0.5,γ=1.

換句話說(shuō),對(duì)于kL6 k 6 kR,激發(fā)譜?k是負(fù)的,基態(tài)中所有負(fù)能態(tài)被占據(jù),即[33].

眾所周知,當(dāng)DM相互作用不存在的時(shí)候,h=1對(duì)應(yīng)反鐵磁相-順磁相的Ising相變,此時(shí)能隙在動(dòng)量kc=0上閉合.γ=0且h 6 1則是一條各向異性相變線.以上相變都屬于二級(jí)量子相變.根據(jù)能隙關(guān)系,在圖2中給出了γ=1,γ=0.5,γ=0時(shí)對(duì)應(yīng)的相圖.從圖2中可以看出,在一般情況下XY模型存在三個(gè)相.區(qū)域I和區(qū)域II是有能隙相,能隙在h=1關(guān)閉.區(qū)域III為無(wú)能隙相,其與區(qū)域I和區(qū)域II的相變線所對(duì)應(yīng)的解析式分別為γ=2D和不失一般性,下面主要關(guān)注γ=0和γ=1的情況,因?yàn)楹笳叽? 6 γ 6 1的一般情況.

圖2 不同γ所對(duì)應(yīng)的相圖 (a)γ=1;(b)γ=0.5;(c)γ=0;區(qū)域I,II,III分別代表反鐵磁相、順磁相和螺旋相Fig.2.Phase diagram with respect to γ:(a) γ =1;(b) γ =0.5;(c)γ =0.Region I,II and III correspond to antiferromagnetic phase,paramagnetic phase and chiral phase,respectively.

3 關(guān)聯(lián)函數(shù)

為了表征不同相,選取兩格點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)函數(shù)作為序參量來(lái)描述系統(tǒng)基態(tài)的性質(zhì),定義關(guān)聯(lián)函數(shù)≡其中α,β=x,y,z.由于該系統(tǒng)具有平移不變性,因此關(guān)聯(lián)函數(shù)的大小僅與i,j兩格點(diǎn)之間的相對(duì)距離有關(guān),而與兩個(gè)格點(diǎn)所在的具體位置無(wú)關(guān),所以可以將簡(jiǎn)記為其中r=i?j.對(duì)于一般的展開形式可以表示為法夫式(Pfaffian)[37,38].換句話說(shuō),可以寫成2n×2n(n≡|j?i|)維反對(duì)稱矩陣的行列式,更進(jìn)一步的細(xì)節(jié)性的討論見(jiàn)附錄A.

首先考慮各個(gè)分量的最近鄰關(guān)聯(lián).不失一般性,在圖3中展示了γ=1的兩條參數(shù)路徑:D=0和D=1.在圖3(a)中,可以看出x分量的最近鄰關(guān)聯(lián)隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度h的增加從?1漸漸趨近于0,而y和z分量的最近鄰關(guān)聯(lián)隨h的增加從零開始呈增長(zhǎng)之勢(shì),這表明區(qū)域I為反鐵磁相.三種最近鄰關(guān)聯(lián)在量子相變點(diǎn)處都發(fā)生了突然的變化.如圖3(a)插圖所示,的一階導(dǎo)數(shù)在h=1有一個(gè)明顯的尖峰,意味著此處發(fā)生了二級(jí)量子相變.經(jīng)過(guò)相變點(diǎn)后,和都逐漸趨近于0,而則漸漸地趨近于1,說(shuō)明區(qū)域II為順磁相.如圖3(b)所示,由于DM相互作用的出現(xiàn),臨界磁場(chǎng)hc的位置發(fā)生了明顯的變化,從D=0時(shí)的hc=1移動(dòng)到D=1時(shí)的hc=2.類似地,的一階導(dǎo)數(shù)在hc=2也呈現(xiàn)了一個(gè)尖峰(見(jiàn)圖3(b)插圖),這一結(jié)果與圖2中的相變線一致.值得注意的是,當(dāng)h

除了最近鄰的兩點(diǎn)關(guān)聯(lián),接下來(lái)考慮長(zhǎng)程的兩點(diǎn)關(guān)聯(lián).Barouch和McCoy[38]研究了橫場(chǎng)XY模型的磁化強(qiáng)度和關(guān)聯(lián)函數(shù).Its等[39]考慮橫場(chǎng)XX模型的非零溫關(guān)聯(lián).研究表明關(guān)聯(lián)函數(shù)的漸進(jìn)行為(r→∞)可以寫成

圖3 最近鄰關(guān)聯(lián)函數(shù)隨著h的變化 (a)γ=1,D=0;(b)γ=1,D=1;插圖為的一階導(dǎo)數(shù)Fig.3.The nearest correlation functionwith respect to h for:(a)γ=1,D=0;(b)γ=1,D=1.Insets show the first-derivative of

圖4 (a)γ=1時(shí)隨著h和D變化的情況;(b)γ=1時(shí)隨著h和D變化的情況Fig.4.(a)as a function of h and D for γ =1;(b)as a function of h and D for γ =1.

圖5 關(guān)聯(lián)函數(shù)的絕對(duì)值隨著距離r的變化(a)D=0,γ=0;(b)D=0,γ=1;(c)D=1,γ=0;(d)D=1,γ=1Fig.5.The absolute value of the correlation functionwith respect to r:(a)D=0,γ=0;(b)D=0,γ=1;(c)D=1,γ=0;(d)D=1,γ=1.

4 量子相干性

在凝聚態(tài)理論中,量子相變需要構(gòu)建合適的序參量來(lái)描述,如上文提及的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù),但是往往序參量是事先不知道的.量子相變發(fā)生在零溫時(shí)體系的量子關(guān)聯(lián)隨著參數(shù)的調(diào)節(jié)發(fā)生了突然的變化,對(duì)系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)進(jìn)行量化和表征已經(jīng)成為研究熱點(diǎn)之一.隨著量子信息的發(fā)展,一些量子信息的概念被移植到凝聚態(tài)領(lǐng)域,如量子糾纏、量子失諧、保真率也被用來(lái)描述量子相變[41?43].自然而然,量子相干性是一種典型的量子關(guān)聯(lián)的刻度.

其中

值得一提的是,很多先前的研究[44,45]在考慮(13)式和(14)式時(shí)默認(rèn)了= 0和=0,這與圖4的結(jié)論是不符合的.這里要強(qiáng)調(diào)=0和=0只在純實(shí)數(shù)哈密頓量的條件下才成立,對(duì)于哈密頓量中含有DM相互作用或者XZY-YZX類三體相互作用是不成立的[31,46,47],甚至一些文獻(xiàn)[48]忽略了此時(shí)計(jì)算要利用原始公式(A10)(見(jiàn)附錄A),而不是(A13)式.

相對(duì)熵是Baumgratz等[49]依據(jù)資源理論引入的相干性的量化指標(biāo),其計(jì)算公式為

其中S(ρ)= ?Tr(ρlog2ρ).S(ρ)代表密度矩陣ρ的馮·諾依曼熵,S(ρdiag)則代表密度矩陣清除非對(duì)角項(xiàng)之后得到的新密度矩陣的馮·諾依曼熵.研究表明,XY模型的量子相變臨界點(diǎn)可以用量子相干率(coherence susceptibility)的奇異性來(lái)描述[50],其定義為相對(duì)熵的一階導(dǎo)數(shù)

圖6顯示了在不同γ的情況下不同近鄰程度的相對(duì)熵CRE以及相干率χRE隨著磁場(chǎng)h變化的情況.當(dāng)γ=0的時(shí)候,不同距離的兩量子比特的相對(duì)熵具有相似的變化趨勢(shì)(見(jiàn)圖6(a)).隨著h的增加,它們都呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì).距離r越大,相對(duì)熵越小.不同的是,最近鄰的相對(duì)熵衰減相對(duì)比較明顯,次近鄰以及更遠(yuǎn)近鄰的相對(duì)熵起初保持一定的魯棒性.當(dāng)h靠近1的時(shí)候,所有距離的兩量子比特相對(duì)熵都急劇衰減為0.在順磁相中相對(duì)熵一直保持為0.圖6(c)中,當(dāng)γ=1時(shí)兩量子比特的相對(duì)熵隨著h的增長(zhǎng)而減小,由于長(zhǎng)程序的存在,不同距離r差別不大.同樣在h=1處CRE有一個(gè)急劇的下降.與γ=0的情況不同,進(jìn)入順磁相后χRE仍然存在,且絕對(duì)值隨著h的增加而減小.從圖6(b)和圖6(d)中可以看出,在h=1處,量子相干率χRE出現(xiàn)了一個(gè)奇點(diǎn),表明在此處體系的相干性有一個(gè)劇烈的變化,即發(fā)生了量子相變.

圖6 D=0時(shí)相對(duì)熵CRE和量子相干率χRE隨h的變化 (a)γ=0時(shí)的CRE;(b)γ=0時(shí)的χRE;(c)γ=1時(shí)的CRE;(d)γ=1時(shí)的χREFig.6.The relative entropy CREand the quantum coherence susceptibility χREfor D=0:(a)CREfor γ =0;(b) χREfor γ =0;(c)CREfor γ =1;(d) χREfor γ =1.

圖7 D=0時(shí)Jensen-Shannon熵CJS和量子相干率χJS隨h的變化 (a)γ=0時(shí)的CJS;(b)γ=0時(shí)的χJS;(c)γ=1時(shí)的CJS;(d)γ=1時(shí)的χJSFig.7.Jensen-Shannon entropy CJSand the quantum coherence susceptibility χJSfor D=0:(a)CJSfor γ =0;(b) χJSfor γ =0;(c)CJSfor γ =1;(d) χJSfor γ =1.

圖8 γ=0時(shí)不同D的情況下相對(duì)熵CRE和量子相干率χRE隨著h的變化 (a)最近鄰情況下的CRE;(b)最近鄰情況下的χRE;(c)D=1時(shí)不同近鄰情況下的CRE;(d)D=1時(shí)不同近鄰情況下的χREFig.8.The relative entropy CREand the quantum coherence susceptibility χREwith respect to D for γ =0:(a)CREfor the nearest-neighbor qubits;(b)χREfor the nearest-neighbor qubits;(c)CREfor Different distances r between two qubits with D=1;(d)χREfor Different distances r between two qubits with D=1.

除利用相對(duì)熵以外,還可利用Jensen-Shannon熵討論XY模型的量子相干性[51].Jensen-Shannon熵的定義與相對(duì)熵類似:

同樣,其相干率亦定義為

圖7顯示了在不同γ的情況下Jensen-Shannon熵CJS以及所對(duì)應(yīng)的相干率χJS隨著磁場(chǎng)h變化的情況.Jensen-Shannon熵所表現(xiàn)的行為與相對(duì)熵定性上十分類似,都可以體現(xiàn)出在h=1處,系統(tǒng)發(fā)生了量子相變,所以接下來(lái)主要通過(guò)相對(duì)熵來(lái)研究量子相干性.

圖8展示了γ=0時(shí)兩量子比特的相對(duì)熵在不同DM相互作用下的情況,同時(shí)給出了各自對(duì)應(yīng)的量子相干率的變化規(guī)律.結(jié)果表明有限的D只能改變臨界磁場(chǎng)hc的大小,而不改變臨界行為.圖8(a)中最近鄰兩量子比特的相對(duì)熵CRE隨著h的增加而單調(diào)減少.從圖8(c)可以看出D=1時(shí),不同近鄰程度的兩量子比特的相對(duì)熵CRE有著十分類似的變化趨勢(shì),都是先隨著磁場(chǎng)的增加緩慢下降,然后在相變點(diǎn)的位置急速下降.在遠(yuǎn)離相變點(diǎn)的位置,最近鄰情況下的相對(duì)熵隨磁場(chǎng)的變化相對(duì)比較明顯,而次近鄰和次次近鄰則相對(duì)比較緩慢.當(dāng)磁場(chǎng)h驅(qū)使系統(tǒng)進(jìn)入順磁相,CRE都消失為0.圖9展示了γ=1時(shí)與圖8相對(duì)應(yīng)的情況,同樣可以看出,兩量子比特的相對(duì)熵CRE隨著h的增加而減少.令人驚訝的是,當(dāng)D=0時(shí),CRE與h的依賴關(guān)系和D=0.4時(shí)重合.確切地說(shuō),非螺旋相中CRE不依賴D.而在螺旋相中,D對(duì)CRE有顯著影響,見(jiàn)圖8(a).

圖9 γ=1時(shí)不同D的情況下相對(duì)熵CRE和量子相干率χRE隨著h的變化 (a)最近鄰情況下的CRE;(b)最近鄰情況下的χRE;(c)D=1時(shí)不同近鄰情況下的CRE;(d)D=1時(shí)不同近鄰情況下的χREFig.9.The relative entropy CREand the quantum coherence susceptibility χREwith respect to D for γ =1:(a)CREfor the nearest-neighbor qubits;(b)χREfor the nearest-neighbor qubits;(c)CREfor Different distances r between two qubits with D=1;(d)χREfor Different distances r between two qubits with D=1.

5 結(jié) 論

本文研究了含有DM相互作用的一維XY模型.嚴(yán)格求解出了此模型的基態(tài)和關(guān)聯(lián)函數(shù),給出了它的相圖,發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)函數(shù)和量子相干性可以很好地標(biāo)志出量子相變臨界點(diǎn)的位置.量子相干性不僅僅存在于最近鄰格點(diǎn)之間,也存在距離更遠(yuǎn)的兩格點(diǎn)之間.發(fā)現(xiàn)DM相互作用會(huì)移動(dòng)量子相變臨界點(diǎn)的位置,甚至誘發(fā)無(wú)能隙螺旋相.指出了一些計(jì)算細(xì)節(jié),這些細(xì)節(jié)在很多文獻(xiàn)里沒(méi)有得到適當(dāng)?shù)奶幚?本文對(duì)此做了進(jìn)一步的補(bǔ)充和詮釋.

附錄A 自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)

這里引入兩個(gè)新的算符,

它們滿足如下代數(shù)關(guān)系:

類似地,y分量和z分量的關(guān)聯(lián)可以表示為：

根據(jù)維克定理,可以對(duì)多算符連乘的平均值進(jìn)行分解,變成二次形算符平均值的連乘,不難發(fā)現(xiàn),對(duì)于展開形式可以表示為法夫式(Pfaffian)[38],即=pf(),其中α,β=x,y.換句話說(shuō),其可以寫成2n×2n(n≡|j?i|)維反對(duì)稱矩陣的行列式,即

而對(duì)于z分量,

可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于任意k,當(dāng)其電子能譜?k總是正的時(shí)候,準(zhǔn)粒子bk表象下基態(tài)沒(méi)有元激發(fā),即=0.此時(shí),換句話說(shuō),不同格點(diǎn)i和j上的同種算符期待值為零,即于是,關(guān)聯(lián)函數(shù)可以簡(jiǎn)化成n×n維Toeplitz矩陣的行列式表示: