聶敏 潘越? 楊光2) 孫愛晶 禹賽雅 張美玲 裴昌幸

1)(西安郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院,西安 710121)

2)(西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院,西安 710072)

3)(西安電子科技大學(xué),綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710071)

(2018年1月11日收到;2018年5月5日收到修改稿)

涌浪運(yùn)動(dòng)是非均勻水流中的一種非線性運(yùn)動(dòng),是常見的海洋運(yùn)動(dòng)形式之一.在進(jìn)行水下量子通信時(shí),會(huì)對(duì)光量子信號(hào)的傳輸造成極大的影響.然而,有關(guān)涌浪運(yùn)動(dòng)造成量子通信信道參數(shù)變化的研究,迄今尚未展開.為了研究涌浪運(yùn)動(dòng)對(duì)水下量子通信性能的影響,首先對(duì)涌浪運(yùn)動(dòng)的傳播建立了數(shù)學(xué)模型并分析了其頻譜特性.針對(duì)退極化信道,提出了涌浪運(yùn)動(dòng)與水下量子通信信道糾纏和信道容量的定量關(guān)系,并對(duì)量子密鑰分發(fā)過程中誤碼率的影響進(jìn)行了分析.仿真結(jié)果表明,當(dāng)海面風(fēng)速在0—20.5 m/s變化時(shí),隨著傳播周期逐漸增大,信道糾纏度由0.0012逐漸增加到0.8426,信道容量由0.8736減小到0.1024,密鑰分發(fā)過程中,量子誤碼率由0.1651增加到0.4812.由此可見,涌浪運(yùn)動(dòng)對(duì)于水下量子通信性能有著明顯的影響.因此,在進(jìn)行水下量子通信時(shí),應(yīng)根據(jù)涌浪運(yùn)動(dòng)的不同程度,自適應(yīng)調(diào)整系統(tǒng)參數(shù).

1 引 言

量子通信作為迄今惟一被證明是無條件安全的通信方式,量子通信技術(shù)在金融、軍事和政務(wù)等領(lǐng)域的應(yīng)用前景得到了廣泛的認(rèn)可.2005年,潘建偉團(tuán)隊(duì)[1]實(shí)現(xiàn)了13 km級(jí)自由空間的量子糾纏分發(fā)和量子密鑰分發(fā),首次證實(shí)了光子糾纏態(tài)在穿越大氣層后,其量子性能依然能夠發(fā)揮作用,并驗(yàn)證了星地之間量子通信的可能性.2010年,由清華大學(xué)和中國科技大學(xué)組成的科研團(tuán)隊(duì)[2],在北京與河北之間成功實(shí)現(xiàn)了16 km的量子隱形傳態(tài)實(shí)驗(yàn).2012年,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)合肥微尺度物質(zhì)科學(xué)國家實(shí)驗(yàn)室、中國科學(xué)院上海技術(shù)物理研究所光電技術(shù)研究所等單位組成的聯(lián)合研究團(tuán)隊(duì)又成功實(shí)現(xiàn)了100 km級(jí)自由空間量子隱形傳態(tài)和雙向量子糾纏分發(fā)[3]、星地量子通信的全方位地基驗(yàn)證[4]等重要實(shí)驗(yàn).同年,德國Max-Planck研究所與奧地利量子光學(xué)與量子信息研究所(IQOQI)[5]在LaPalMa島與Tenerife島之間,實(shí)現(xiàn)了自由空間光鏈路超過143 km的量子隱形傳態(tài)通信實(shí)驗(yàn),為星地之間實(shí)現(xiàn)量子通信奠定了堅(jiān)實(shí)的科學(xué)基礎(chǔ).

量子信號(hào)在自由空間傳輸時(shí),必然會(huì)受到環(huán)境因素影響.文獻(xiàn)[6]研究了中尺度沙塵暴對(duì)衛(wèi)星量子通信的影響,為沙塵條件下量子衛(wèi)星通信的研究奠定了基礎(chǔ).文獻(xiàn)[7]介紹了在降雨背景下誘騙態(tài)協(xié)議最優(yōu)平均光子數(shù)的變色龍自適應(yīng)策略,依據(jù)該算法,可以對(duì)每脈沖平均光子數(shù)進(jìn)行調(diào)整,使系統(tǒng)的安全密鑰生成率得到提升,以此來提高通信質(zhì)量.文獻(xiàn)[8]研究了中緯度地區(qū)電離層偶發(fā)E層對(duì)量子衛(wèi)星通信性能的影響.這些研究都是在不同環(huán)境下,自然因素對(duì)量子通信所造成的影響,對(duì)于后續(xù)研究有著重要的參考價(jià)值.

波浪的傳播經(jīng)常受到水流的影響,例如產(chǎn)生Doppler頻移效應(yīng),順流時(shí)波高減小,波長增大;逆流時(shí)波高增大,波長不變.文獻(xiàn)[9,10]基于Boussinesq型方程研究了非均勻水流中波浪的傳播.涌浪運(yùn)動(dòng)是一種常見的非均勻水流運(yùn)動(dòng),涌浪具有較規(guī)則的外形,排列比較整齊,波峰線較長,波面較平滑,比較接近于正弦波的形狀.早在20世紀(jì)50年代,國外學(xué)者就提出了幾種預(yù)報(bào)、分析涌浪的理論.Sverdrup和Munk[11,12]從能量的角度去計(jì)算涌浪傳播中的波高與周期變化以及傳播時(shí)間.之后也有一部分學(xué)者基于實(shí)測資料的分析,給出了一些經(jīng)驗(yàn)性的解釋.Bretschneider[13]依據(jù)觀測資料繪制出了一系列的涌浪特性圖例,來解釋涌浪在傳播過程中的一些特性變化.

2017年8月,上海交通大學(xué)金賢敏團(tuán)隊(duì)成功進(jìn)行了首個(gè)海水量子通信實(shí)驗(yàn),在國際上首次通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了水下量子通信的可行性.在實(shí)驗(yàn)中,該團(tuán)隊(duì)選擇光子的極化作為信息編碼的載體,并通過模擬證明,在非常大的損耗和散射下,極化編碼的光子只會(huì)丟失,而不會(huì)發(fā)生量子比特翻轉(zhuǎn),而沒有丟失的光子可被用于建立安全密鑰.目前,國內(nèi)外還沒有展開關(guān)于在海水的自然現(xiàn)象下對(duì)于量子通信性能影響的研究,因此,本文的研究為水下量子通信系統(tǒng)的性能研究奠定了一定的基礎(chǔ).

本文根據(jù)涌浪運(yùn)動(dòng)的特性,針對(duì)其對(duì)于光量子吸收和散射等消光效應(yīng)的影響,分析了在進(jìn)行水下量子通信時(shí),對(duì)量子糾纏度、量子信道容量、量子密鑰分發(fā)和量子誤碼率的影響,分析了涌浪在運(yùn)動(dòng)過程中波高及周期對(duì)糾纏保真度、信道容量、密鑰分發(fā)率和誤碼率之間的定量關(guān)系,通過仿真驗(yàn)證,為光量子信號(hào)在涌浪運(yùn)動(dòng)的條件下進(jìn)行水下量子通信提供參照依據(jù).

2 非均勻水流中涌浪運(yùn)動(dòng)傳播的數(shù)學(xué)模型及其頻譜特性

Wang等[14]從勢流理論出發(fā),將速度勢函數(shù)表示為任意水深層處垂向坐標(biāo)的冪級(jí)數(shù),將冪級(jí)數(shù)代入Laplace方程得到速度勢函數(shù)的級(jí)數(shù)解,再將速度勢函數(shù)表達(dá)式代入水底邊界條件,并進(jìn)行截?cái)嗪鸵胛⒎炙阕?利用自由面上的水平和垂向波動(dòng)速度來表示自由面邊界條件,推導(dǎo)了包含給定水流作用的新型Boussinesq型方程.截?cái)嗟轿咫A導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的一維理論模式,即

式中ηt為自由平面隨時(shí)間變化的位移;為自由表面上速度勢函數(shù)的水平梯度,為自由面上水平速度分量,為垂直速度分量;直角坐標(biāo)(x,y,z)的原點(diǎn)在靜水面上;z軸豎直向上為正;h為水深;η為自由面位移;μc為背景水流速度;g為重力加速度;和分別為任意水深z=處的水平速度分量和垂直速度分量;λ=h+=τh,其中 τ= ?0.5,b1= ?0.204113, b3=0.00653242.

涌浪運(yùn)動(dòng)是一種非均勻水流下的非線性運(yùn)動(dòng),其變化是極其復(fù)雜的.由于涌浪的復(fù)雜性和隨機(jī)性,觀測方案、記錄方式以及分析方法的選取和設(shè)計(jì),都必須緊密結(jié)合譜的概念進(jìn)行,利用譜進(jìn)行海浪數(shù)值計(jì)算,是一種有效方法.可以通過其波高、周期和波長等參數(shù),來反映涌浪運(yùn)動(dòng)的特性.

各種特征波高可用譜的相對(duì)于原點(diǎn)的0階矩m0表示,波高的概率分布函數(shù)為[15]

式中

H0為特征波高,H1為均方根波高,為平均波高,取及α=1/8,σ為均方根方差,得2

由此得

本文采用的是Pierson和Moscowitz[16]于1964年對(duì)于北大西洋的觀測資料進(jìn)行460次譜分析后,從中挑出充分成長的5個(gè)譜,依據(jù)風(fēng)速10.3,12.9,15.5,18.0,20.5 m/s(特指海面上19.5 m高度處的風(fēng)速),結(jié)果如圖1所示.圖1中S(ω)為無因次譜極值;f,ω分別為風(fēng)浪的頻率和角速度.由于海面上的風(fēng)具有擾動(dòng)性,以風(fēng)要素對(duì)海浪進(jìn)行無因次變化時(shí),隨著頻率的增大,譜極值變化較明顯,波能起伏較大.

圖1 不同風(fēng)速下充分成長有因次風(fēng)浪頻譜Fig.1.Frequency spectra of fully development Different wind and wave under Different wind speeds.

將不同形式的無因次譜進(jìn)行擬合后,得到有因次的頻譜為

式中無因次常數(shù)α=8.10×10?3,β=0.74;U為風(fēng)速;ω=2π/T;ξ2為實(shí)測波面的方差.

應(yīng)用以上公式計(jì)算波高時(shí),可取m0等于ξ2,依據(jù)(10)式中的Pierson-Moscowitz譜[17]可得

海浪傳播的周期T可由已知的解析形式的譜進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算公式為[18]

式中B表示外部因素,如風(fēng)要素或者波要素作為參量,對(duì)譜造成影響的一個(gè)系統(tǒng).

對(duì)于(10)式中的Pierson-Moscowitz譜,B=βg4/U4時(shí),由(12)式得

涌浪的波長計(jì)算公式為[18]

合并(13)式及(14)式得

在涌浪運(yùn)動(dòng)發(fā)生時(shí),受風(fēng)速變化的影響,隨著風(fēng)速逐漸增大,涌浪的波高和波長的變化趨勢如圖2和圖3所示.

由圖2和圖3可見,隨著風(fēng)速的逐漸增強(qiáng),涌浪的波長和波高逐漸增大,并且呈指數(shù)形式上升.

圖2 不同風(fēng)速下涌浪運(yùn)動(dòng)波高的變化Fig.2.Variation of wave height in wave motion under Different wind speeds.

圖3 不同風(fēng)速下涌浪運(yùn)動(dòng)波長的變化Fig.3.Variation of wavelength in wave motion under Different wind speeds.

3 涌浪運(yùn)動(dòng)對(duì)水下量子信道糾纏度的影響

在涌浪運(yùn)動(dòng)的作用下,涌浪的波高以及周期的變化,會(huì)導(dǎo)致量子態(tài)相干性的破壞,這種現(xiàn)象稱為量子消相干.消相干導(dǎo)致量子態(tài)所攜帶的信息丟失,量子糾纏度下降,從而影響量子通信.

根據(jù)文獻(xiàn)[19],糾纏度可表示為

假設(shè)涌浪運(yùn)動(dòng)為系統(tǒng)A,量子信道為系統(tǒng)B,系統(tǒng)A的約化密度矩陣為

在進(jìn)行水下量子通信時(shí),兩個(gè)系統(tǒng)相互作用形成的初始狀態(tài)可表示為

由(18)式和(19)式可知,量子信道糾纏度和涌浪運(yùn)動(dòng)的各項(xiàng)頻譜特性有關(guān),根據(jù)(11)式、(13)式和(14)式,定義在涌浪運(yùn)動(dòng)的條件下量子信道的糾纏度為

根據(jù)(20)式,量子信道的糾纏度與涌浪運(yùn)動(dòng)的波高、周期、波長有關(guān).在海面風(fēng)速為0—25 m/s時(shí),涌浪的波長在0—200 cm變化,且海面風(fēng)速為10.3,12.9,15.5,20.5 m/s時(shí),對(duì)糾纏度E,涌浪傳播的周期T及波高H的關(guān)系進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖4所示.

由圖4(a)—(d)可知,當(dāng)風(fēng)速在0—25 m/s變化時(shí),隨著傳播周期的增大以及逆向水流的影響,量子信道的糾纏度增大,由0.0012逐漸增加到0.8426.另外,隨著波動(dòng)能量的增加,波高逐漸增大,海水對(duì)信號(hào)的衰減作用明顯增強(qiáng).

在不同風(fēng)速下發(fā)生涌浪運(yùn)動(dòng)時(shí),對(duì)糾纏度E,涌浪傳播的周期T及波長L的關(guān)系進(jìn)行列表分析,通過仿真,結(jié)果如表1和表2所列.由表1可知,周期在5.3—10.6 s時(shí),糾纏度由0.2094上升到0.6775.由表2可知,波長在34.1—134.9 cm時(shí),糾纏度由0.7093下降到0.2377.

表1 不同風(fēng)速下糾纏度與周期的關(guān)系Table1.Relationship between the entanglement degree and the period under Different wind speeds.

表2 不同風(fēng)速下糾纏度與波長的關(guān)系Table2.Relationship between the entanglement degree and wavelength under Different wind speeds.

由表1可知,周期的變化對(duì)糾纏度的影響較為明顯,隨著傳播周期的增大,涌浪受逆向水流的影響,量子信道的糾纏度增大.由表2可知,隨著波長的增加,波能傳遞的速率加快,波動(dòng)能量增加,量子信道的糾纏度下降.

圖4 不同風(fēng)速下糾纏度與周期和波高的關(guān)系 (a)10.3 m/s;(b)12.9 m/s;(c)15.5 m/s;(d)20.5 m/sFig.4.Relationship of the entanglement degree with the period and with the wave height at Different wind speeds:(a)10.3 m/s;(b)12.9 m/s;(c)15.5 m/s;(d)20.5 m/s.

4 涌浪運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)中量子信道容量的影響

涌浪運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)量子態(tài)相干性造成破壞,量子信道噪聲會(huì)引起信道容量的變化.下面以退極化信道為例,建立涌浪物理特性與退極化信道容量的關(guān)系.

將涌浪運(yùn)動(dòng)態(tài)表示為

式中m為量子位的退極化概率.

退極化信道可表示為[21]

式中ρi為量子比特,m為量子位的退極化的概率;I/2為完全混合態(tài),ε(ρi)為量子系統(tǒng)經(jīng)過退極化信道后的狀態(tài).

對(duì)應(yīng)的諾依曼熵為

輸出的諾依曼熵為

由此,信道容量為

因此信道容量為

在涌浪運(yùn)動(dòng)的條件下,根據(jù)涌浪波高和周期聯(lián)合分布的概率密度函數(shù)及海浪頻譜的無因次常數(shù)與平均波長的關(guān)系[22?23],涌浪運(yùn)動(dòng)條件下量子位的退極化概率為

對(duì)量子信道容量、涌浪的波高及傳播周期之間的的關(guān)系進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖5所示.

圖5 信道容量與波高和周期的關(guān)系Fig.5.Relationship between channel capacity and wave height and cycle.

由圖5可知,涌浪運(yùn)動(dòng)在風(fēng)速變化的影響下,涌浪傳播周期增大,受逆向水流的影響,量子信道容量逐漸減小.隨著波動(dòng)能量的增加,波長逐漸增大,波能傳遞的速率加快,造成信道容量逐漸降低.

對(duì)量子信道容量、涌浪的波長及傳播周期之間的的關(guān)系進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖6所示.

圖6 信道容量與波長和周期之間的關(guān)系Fig.6.Relationship of the channel capacity with the wavelength and with the cycle.

由圖6可知,當(dāng)風(fēng)速在0—25 m/s變化時(shí),在涌浪運(yùn)動(dòng)的繞射作用下,隨著波長的增加,波能傳遞的速率加快,波動(dòng)能量增強(qiáng),量子信道容量下降,在波長較大的情況下,周期的變化使得信道容量下降的趨勢更加明顯.隨著傳播周期的增大,涌浪受逆向水流的影響,量子信道容量減小,由0.8736減小到0.1024.

5 涌浪運(yùn)動(dòng)對(duì)量子密鑰分發(fā)過程中誤碼率的影響

基于BB84協(xié)議下的量子密鑰分發(fā)系統(tǒng),量子誤碼率NQBER為接收到的誤碼比特率Nerror與總比特率Rsift之比,是對(duì)系統(tǒng)評(píng)估的有效參數(shù)[24],即

式中χ為光電探測量子效率;ηa= ηB/2+ηD,ηB為背景噪聲引起的光子計(jì)數(shù),ηD為光電探測器的暗電流計(jì)數(shù);δ為退極化效應(yīng)因子;FS為篩選因子;Rr為發(fā)射脈沖重復(fù)率;Fc為測量因子;κ為激光脈沖平均光子數(shù);Ta為系統(tǒng)傳輸率;P為單光子俘獲率;信道傳輸因子Tc為

式中K/K0為傳輸振幅比,K為量子態(tài)傳播后的振幅,K0為初始振幅;為高斯光束遠(yuǎn)場發(fā)射角;Aatm為鏈路衰減系數(shù).

表3 信道誤碼率的各項(xiàng)參數(shù)取值Table3.Parameter values of channel error rate.

由圖7可知,當(dāng)波長和波高同時(shí)在0—2 cm增加時(shí),誤碼率呈指數(shù)形式增加,由0.1651增加到0.4812.由此可知,在進(jìn)行水下量子通信時(shí),量子態(tài)在傳輸過程中,受涌浪運(yùn)動(dòng)作用的影響,量子密鑰分發(fā)過程受到干擾,影響系統(tǒng)的通信性能.

圖7 誤碼率與波長和波高的關(guān)系Fig.7. Relationship of the bit error rate with the wavelength and with the wave height.

6 結(jié) 論

本文研究了非均勻水流中涌浪運(yùn)動(dòng)對(duì)水下量子通信性能的影響.根據(jù)涌浪運(yùn)動(dòng)傳播的特性,建立了量子信道的糾纏度、信道容量以及密鑰分發(fā)中誤碼率與涌浪運(yùn)動(dòng)特性之間的函數(shù)關(guān)系,分析了其頻譜特性,這對(duì)水下量子通信研究有一定重要意義.仿真結(jié)果表明,隨著涌浪運(yùn)動(dòng)波長和波高的增大,量子信道糾纏度和信道容量近似呈指數(shù)減小.涌浪傳播周期和波長越大,量子密鑰分發(fā)過程中誤碼率越高.因此,在進(jìn)行水下量子通信時(shí),涌浪運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)通信系統(tǒng)造成一定的影響,可根據(jù)氣象條件,自適應(yīng)調(diào)衡系統(tǒng)參數(shù),降低涌浪對(duì)量子通信的影響.