吳莉潔，宋漢文

（同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092）

從20世紀60年代起，國內(nèi)外學者就開始對周期結構的振動特性進行了理論和實驗研究。對于周期梁或者聲子晶體梁的研究，Mead[1]以及Heckl[2]理論研究了周期支撐梁中壓縮波，扭轉波和彎曲波的耦合振動特性。Mangaraju[3]和Sonti研究了在周期支撐梁中阻尼的影響。DI?AZDEANDA[4]則從理論和實驗方面研究了幾何周期性桿的振動帶隙。Sigmund和Jensen[5]研究了材料周期性結構。國內(nèi)，郁殿龍等[6]基于聲子晶體梁對一維桿狀周期結構的縱向振動，軸結構的扭轉振動，梁結構的彎曲振動和彎扭耦合振動進行了研究。文岐華[7]等對多振子周期梁彎曲振動中的局域共振帶隙進行了研究。上海交通大學華宏星、黃修長對周期結構的實際隔振器的應用中做了一系列研究[8–9]。對于一維周期結構的研究主要是基于彈性波在周期結構內(nèi)的傳播，通過波動方程結合傳遞矩陣法，得到周期結構的彈性波帶隙。對于復雜結構的帶隙求解問題，通常采用結合有限元和傳遞矩陣法發(fā)展而來的波有限元法[10–11]。數(shù)值矩陣由于矩陣奇異性等原因，在求解帶隙時，會出現(xiàn)數(shù)值病態(tài)問題[12–13]。

一般帶支撐的周期結構的帶隙問題求解是將支撐條件作為元胞截面邊界處的剪切力的連續(xù)條件。從傳遞矩陣得到元胞的傳播特性及帶隙特征。

本文將支撐結構和主結構作為元胞內(nèi)部的兩個子結構，通過頻響函數(shù)子結構綜合法得到用各子結構的模態(tài)參數(shù)表示的綜合頻響函數(shù)。再利用頻響函數(shù)和傳遞矩陣的關系，得到以頻響函數(shù)表示的傳遞矩陣，并通過傳遞矩陣的特征值問題進行周期支撐結構的帶隙分析。在構建結構的頻響函數(shù)時，我們通過曲線擬合及模態(tài)截斷，保留主要的模態(tài)而忽略次要模態(tài)。

1 基于子結構綜合法的傳遞矩陣法

將周期支撐結構分為主體結構和支撐結構，分別用頻響函數(shù)來表示這兩個子結構，并通過子結構綜合法得到綜合的頻響函數(shù)?；诰C合的頻響函數(shù)獲得元胞的傳遞矩陣，并求得帶隙特征。

1.1 子結構綜合法

周期支撐結構的元胞可以分為兩個子結構，即主體子結構和支撐子結構，分別用a、b表示，如圖1所示，并考慮兩個子結構通過某些節(jié)點直接固接。

圖1 兩個子結構的示意圖

a、b子結構在未進行連接時，其內(nèi)部測點記為i，m代表兩個子結構進行固結的位置，這里m可能包含多個連接位置。a、b兩個子結構均可用頻響函數(shù)進行表示，如式(1)、式(2)所示

當a、b子結構通過m點固接后，把整體結構記作a+b。a+b結構包含a、b內(nèi)部自由度i，以及a、b的連接點m。將新的a+b結構的內(nèi)點記為n，分別屬于子結構a和子結構b。將a+b結構中相連接的測點記為j。綜上，a+b總結構的頻響函數(shù)可以表示為式

a+b總結構的頻響函數(shù)可以用子結構的頻響函數(shù)表示，如式(4)所示

左邊矩陣表示整體結構的各個頻響函數(shù)，右邊矩陣表示子結構的頻響函數(shù)。

1.2 基于頻響函數(shù)的傳遞矩陣法

對于周期結構整體元胞，元胞左右的位移和力的傳遞有如下關系。

其中，L、R表示元胞首末兩點的位置。對于第k個元胞的左右兩個的場傳遞量，同樣有

由于結構具有周期性，則對于元胞，根據(jù)Floquet原理有如下關系式

這里λ是傳播常數(shù)。

根據(jù)元胞邊界的連續(xù)性條件，并綜合式(6)和式(7)，可得

整理式(8)，可得

通過求解傳遞矩陣的特征值問題，即可以得到結構阻帶。

將式(5)代入式(6)，可以將傳遞矩陣表達為頻響函數(shù)的形式，即

將式(10)代入式(9)，得到

將1、n表示為元胞輸入輸出位置，則有

根據(jù)式(3)和式(4)，元胞整體結構中的原點和跨點頻響函數(shù)又可以表示為如下形式

周期支撐結構中主體結構為a，所以元胞首末兩點的頻響函數(shù)以及跨點頻響函數(shù)，又可以記為整體結構中a結構中的首末兩點的頻響函數(shù)以及跨點頻響函數(shù)，即

由此可得

同樣上述公式可以推廣至具有多個子結構的情況。將式(15)代入式(11)中，將表示為子結構的頻響函數(shù)的函數(shù)，記為

對于一維周期結構，當|λ|=1時，對應結構通帶，當時|λ|＞1，對應結構阻帶。即λ=±1時，為結構帶隙分界點，此時

通過求解上述方程的零點問題可以得到帶隙的位置。帶隙只和主體結構的首末點的頻響函數(shù)以及支撐結構在連接點處的頻響函數(shù)相關。

2 基于傳遞矩陣法的帶隙分析

2.1 帶隙計算

對于無限周期情況下，利用Floquet原理，可以得到帶隙的寬度和位置的表達式。根據(jù)第二節(jié)的討論，可以通過求解傳遞矩陣的特征值方程，來描述帶隙特性。通過曲線擬合，可以辨識結構的模態(tài)參數(shù)。通過辨識得到的模態(tài)參數(shù)可以重構結構的頻響函數(shù)，一般表達式可以表示為式(18)和式(19)

求解式(20)的零點問題即可得到帶隙的范圍。當結構復雜時，構成頻響函數(shù)的階次會很多，通過模態(tài)截斷可以保留主要模態(tài)而忽略影響較小的次要模態(tài)，研究主要模態(tài)對帶隙的影響。通過元胞的頻響函數(shù)表示傳遞矩陣可以計算得到無限周期結構的帶隙特性。有限周期結構的帶隙大于無限周期結構，隨著周期數(shù)增加，帶隙趨近于無限周期結構理論帶隙。帶隙的分界點可以表示為元胞模態(tài)參數(shù)的形式。而當主結構一定時，帶隙的分界點僅與子結構的模態(tài)參數(shù)相關。通過子結構法可以快速地預測子結構參數(shù)對系統(tǒng)的帶隙特性的影響。

2.2 衰減率

對于傳播常數(shù)，λ=eα+iβ，其中α為無限周期結構的衰減常數(shù)，β為無限周期結構相位常數(shù)。而實際工程的結構總是有限的，在某些情況下，工程中的周期結構的重復周期數(shù)也比較少，因而不能簡單地使用衰減常數(shù)α來代替有限周期結構的衰減率。本節(jié)建立了響應衰減率與衰減常數(shù)α的關系。

對于n個元胞組成的周期結構系統(tǒng)的傳遞矩陣，可以建立傳遞矩陣

其中：

n個元胞組成的傳遞矩陣則有

代入具體表達式可得

同樣通過變換，可以將式(21)改寫為下述形式

其中[Hn]表示n個元胞組成的周期結構的頻響函數(shù)。

考慮在單輸入單輸出的情況，即考慮結構中振動從一端傳遞到另一端的傳遞情況。則響應可寫為

從式(25)中可以得到施加在一端的外力F和另一端的結構位移Xn的關系，如式

上式為元胞重復n個周期數(shù)時，周期結構一端受外力作用，另一端的位移，同時對于n-1周期數(shù)，則有

表示元胞重復n-1個周期數(shù)時，一端受外力作用，另一端的位移。

用振動的響應傳遞率來表示當周期結構的周期數(shù)增加一時，結構衰減率的增加。由式(26)和式(27)可得，響應傳遞率的表達式為

所以需要知道Hn21，注意到Hn21=Hn12且根據(jù)前面的分析可知

由于傳遞矩陣是辛矩陣[14]，則有

代入式(28)得到帶隙內(nèi)位移傳遞率的衰減率。

對于相同結構，不同周期數(shù)會影響帶隙深度（減振效果）。傳遞函數(shù)中的衰減率隨著周期數(shù)的增加，衰減率趨于無限周期中的衰減常數(shù)。衰減率受周期數(shù)和α的綜合影響。由于在第二節(jié)中證明，傳播常數(shù)可以用結構的模態(tài)參數(shù)表示，所以帶隙的深度也可以用模態(tài)參數(shù)表示，故而能通過模態(tài)參數(shù)控制帶隙深度。

3 仿真算例及分析

典型的周期支撐結構有鋼軌及扣壓件/枕木/膠墊系統(tǒng)，多跨橋梁等，由主系統(tǒng)和支撐子系統(tǒng)構成。這里，將以一個簡單的周期支撐結構為例，研究周期支撐結構的帶隙特性以及子結構模態(tài)參數(shù)對帶隙的影響。

3.1 一類周期支撐結構帶隙分析

如圖2，周期結構元胞為兩個子結構固接形成。其中的主體結構或支撐結構是通過模態(tài)截斷將一個復雜系統(tǒng)重構的彈簧質量系統(tǒng)。

通過模態(tài)重構得到最右側兩個子結構的頻響函數(shù)。通過第一節(jié)中子結構綜合法的推導得到綜合頻響函數(shù)，如圖3所示。

其中sub1為圖2中右下角支撐子結構，而sub2為圖2中右上角主系統(tǒng)。

圖2 簡化的周期支撐系統(tǒng)

圖3 各子結構頻響和總結構頻響

根據(jù)第1節(jié)中的推導，利用Floquet理論可以直接得到以上述結構為元胞的周期結構中波的傳播常數(shù)。在第2節(jié)中，已經(jīng)建立了響應傳遞率函數(shù)與傳播常數(shù)關系。通過計算隨著周期數(shù)增加，不同結構的響應傳遞率，可以得到不同周期數(shù)的有限結構的具體帶隙寬度以及帶隙內(nèi)的減振/隔振效果。

圖4 無限周期結構傳播常數(shù)

從圖4中，可以明顯看到結構在140 Hz前具有兩個帶隙。從0 Hz到9 Hz以及21 Hz到25 Hz。

同時通過文獻[15]的方法進行了驗證對于彈簧質量系統(tǒng)，其波動方程可以寫作下列形式

根據(jù)Floquet原理，則有Aj-1=AN,j=1，Aj+1=A1,j=N。

通過求解公式使其有非平凡解，可以得到結構能帶圖如圖5所示。

圖5 無限周期結構能帶圖

對比圖4和圖5可以看到兩者得到的帶隙范圍是相同的。

同時通過計算具有不同元胞數(shù)目的周期結構在24 Hz時的響應傳遞率以及無限周期結構24 Hz時的傳播常數(shù)來驗證2.2節(jié)中的證明。從圖4可知，24 Hz處可求得結構的衰減常數(shù)以及相位常數(shù)，并根據(jù)λ=eα+iβ，可知24 Hz時的傳播常數(shù)λ為1.24。同時通過計算不同周期數(shù)下有限周期結構的原點和跨點的頻響函數(shù)可以得到元胞結構左右兩端的響應傳遞率。比較有限周期結構的響應傳遞率在24 Hz處的值以及無限周期結構的衰減率，結果如圖6所示。

從圖6中可以看到隨著周期數(shù)的增加，有限周期結構響應傳遞率趨近傳播常數(shù)。而在周期數(shù)比較少時，結構實際響應傳遞率與無限結構的傳播常數(shù)差異較大，這也是無限周期結構與有限周期結構的差異所在。

3.2 子結構模態(tài)參數(shù)對帶隙的影響

從第1節(jié)的推導中可知，整體元胞的帶隙只和元胞主體結構的原點/跨點頻響函數(shù)，以及支撐結構的連接點處的原點頻響函數(shù)相關。當主體結構不變時，通過調(diào)整子結構的模態(tài)參數(shù)也可以快速改變其帶隙特性。圖7顯示了子結構的1階頻率變化對結構帶隙分布的影響。

圖6 24 Hz下有限周期結構響應傳遞率和傳播常數(shù)的對比

圖7 子結構的1階頻率對帶隙影響

圖中黑點為通帶和阻帶的分界點。在前50 Hz一共有3個阻帶，這與圖4的傳播常數(shù)圖相一致。隨著支撐子結構1階固有頻率的增加，第一、第二帶隙的范圍擴大，而通帶范圍減小。利用子結構的可設計性，通過增大子結構第1階固有頻率的值，可以增加低頻段內(nèi)結構的阻帶范圍。

4 結語

通過基于頻響函數(shù)的子結構綜合法、曲線擬合和模態(tài)參數(shù)辨識，計算得到了基于模態(tài)參數(shù)的傳遞矩陣，進而通過傳遞矩陣法分析周期結構的帶隙動力學特性。推導了阻帶的傳播常數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關系。并發(fā)現(xiàn)，無限周期結構阻帶內(nèi)的衰減率以及有限周期結構中位移傳遞率存在一定的聯(lián)系。隨著有限周期結構周期數(shù)的增加，其阻帶內(nèi)傳遞率的衰減率將趨近于無限周期結構的衰減常數(shù)。研究還發(fā)現(xiàn)周期支撐的結構，其在低頻段內(nèi)具有帶隙特性。這給設計結構隔振減振提供了一條新的思路。通過調(diào)整子結構的模態(tài)參數(shù)，可以快速改變結構的帶隙范圍及衰減率。