■河南省信陽高級(jí)中學(xué) 陳榮軍

高校要選拔具有創(chuàng)新潛質(zhì)的人才,高考數(shù)學(xué)必須重視對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的考查。考生的創(chuàng)新意識(shí)表現(xiàn)為:對(duì)新穎的信息、情境的設(shè)問,能選擇有效的方法和手段分析、處理信息,綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法,進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究,提出解決問題的思路,并創(chuàng)造性地解決問題。近幾年來,在全國及各省市的各套高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了一些創(chuàng)新型試題,這些試題主要類型有直覺思維型、學(xué)習(xí)遷移型、實(shí)際應(yīng)用型等。本文擬對(duì)高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的類型作一些分析。

一、直覺思維型

直覺思維是指個(gè)體以已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),無須邏輯推理,對(duì)突然出現(xiàn)的新問題和新現(xiàn)象,能迅速理解并作出判斷的思維方式。直覺思維可以幫助同學(xué)們洞察數(shù)學(xué)本質(zhì)、猜想數(shù)學(xué)結(jié)論、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律等。直覺思維是快速解答一些高考數(shù)學(xué)試題的利器。鑒于直覺思維的重要作用,在高考數(shù)學(xué)試題的命制中,很自然地要考查同學(xué)們的直覺思維。直覺思維型的試題主要有整體觀察型、直覺判斷型、類比聯(lián)想型、歸納猜想型、極限洞察型等。

例1 四位好朋友在一次聚會(huì)上,他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯,如圖1所示。

圖1

盛滿酒后他們約定:先各自飲杯中酒的一半。設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為h1,h2,h3,h4,則它們的大小關(guān)系是( )。

A.h2＞h1＞h4B.h1＞h2＞h3

C.h3＞h2＞h4D.h2＞h4＞h1

點(diǎn)評(píng):本題背景鮮活,頗有生活氣息。命題者大膽地將四種旋轉(zhuǎn)體匯集在一起,與日常生活中的酒杯形狀聯(lián)系起來,巧妙設(shè)問,主要考查幾何體的體積與高度的關(guān)系,考查同學(xué)們的空間想象能力及直覺思維能力。通過整體觀察,不需具體計(jì)算,進(jìn)行直覺思維,對(duì)問題作出迅速、準(zhǔn)確的直覺判斷。因?yàn)楦骶票诎霃较嗟?即上底面積相等。內(nèi)空高度相等,且飲去上部一半,故下部越細(xì),剩余酒高度越高,所以有h2＞h1＞h4。故選A。

圖2

圖3

跟蹤練習(xí)1 小明在如圖2所示的跑道上勻速跑步,他從點(diǎn)A出發(fā),沿箭頭方向經(jīng)過點(diǎn)B跑到點(diǎn)C,共用時(shí)3 0s,他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小明跑步的過程,設(shè)小明跑步的時(shí)間為t(s),他與教練間的距離為y(m),表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖像大致如圖3所示,則這個(gè)固定位置可能是圖2中的( )。

A.點(diǎn) M B.點(diǎn) N

C.點(diǎn)P D.點(diǎn)Q

解析：分別假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn)M、N、P、Q,然后結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行判斷,利用排除法即可得出答案。選項(xiàng)A,假設(shè)在M處,則A至B段y為常數(shù),與函數(shù)圖像不符,故A錯(cuò)誤。選項(xiàng)B,假設(shè)在N處,則A與C處y的值相同,與函數(shù)圖像不符,故B錯(cuò)誤。選項(xiàng)C,假設(shè)在P處,則3 0s時(shí)y的值最小,與函數(shù)圖像不符,故C錯(cuò)誤。經(jīng)判斷點(diǎn)Q符合函數(shù)圖像。故選D。

二、學(xué)習(xí)遷移型

解答學(xué)習(xí)遷移型試題 ,需要同學(xué)們具有自主學(xué)習(xí)和遷移的能力。學(xué)習(xí)能力是同學(xué)們閱讀并理解數(shù)學(xué)新知識(shí)的能力,這里的新知識(shí)可以是新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的規(guī)則等。學(xué)習(xí)能力包括會(huì)搜集、提煉、加工信息,對(duì)閱讀的內(nèi)容進(jìn)行概括和理解,看清問題的本質(zhì),然后運(yùn)用新的知識(shí)通過分析、演算、歸納、猜想、類比或論證等方法解決一些新的數(shù)學(xué)問題。

例2 設(shè)P是一個(gè)數(shù)集,且至少含有兩個(gè)數(shù),若對(duì)任意a、b∈R,都有a+b、a-b、數(shù)b≠0),則稱P是一個(gè)數(shù)域。例如有理數(shù)集Q是數(shù)域;數(shù)集F={a+b2|a,b∈Q}也是數(shù)域。有下列命題:

點(diǎn)評(píng):本題設(shè)計(jì)獨(dú)特、情境新穎,具有很強(qiáng)的抽象性和發(fā)散性。從試題的背景來看,此題以近世代數(shù)中“群、環(huán)、域”的知識(shí)為背景,試題展示給同學(xué)們的是一個(gè)全新的問題,體現(xiàn)了自主學(xué)習(xí)和主動(dòng)探究精神。從試題的立意來看,本題是一道能有效考查同學(xué)們的閱讀理解能力、抽象與具體轉(zhuǎn)化能力、構(gòu)造法和反例思想方法的創(chuàng)新型試題。從試題的解答來看,直接以“數(shù)域”的定義為背景的試題在各種復(fù)習(xí)資料和模擬試題中從未見過,解決這個(gè)問題沒有現(xiàn)成的套路和招式,需要同學(xué)們閱讀理解“數(shù)域”的定義,綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法,分別檢查所給答案是否同時(shí)滿足“數(shù)域”定義的四個(gè)條件(滿足需證明,不滿足需舉反例),才能解決問題。這類以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的問題,能有效考查同學(xué)們進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛質(zhì),已成為高考試題的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn),值得注意。

跟蹤練習(xí)2 對(duì)定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若存在常數(shù)k＞0,使對(duì)任意的x∈D,都有f(x+k)＞f(x)成立,則稱f(x)為區(qū)間D上的“k階增函數(shù)”。已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0,f(x)=|xa2|-a2。若f(x)為R上的“4階增函數(shù)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

解析：當(dāng)x≥0,f(x)=|x-a2|-a2時(shí),令f(x)=0,則y=f(x)有最大的零點(diǎn)是2a2,由y=f(x)是奇函數(shù),所以y=f(x)有最小的零點(diǎn)是-2a2。把橫坐標(biāo)向左平移4個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x+4)的圖像,且y=f(x+4)有最大的零點(diǎn)為2a2-4。因?yàn)閥=f(x)為R上的 “4階增函數(shù)”,則對(duì)任意的x∈R,都有f(x+4)＞f(x)恒成立,即函數(shù)y=f(x+4)的圖像在函數(shù)y=f(x)的圖像上方,由圖4可知,2a2-4＜-2a2,即a2＜1,故a的取值范圍是(-1,1)。

圖4

三、實(shí)際應(yīng)用型

“堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)應(yīng)用,考查應(yīng)用意識(shí)”是多年以來一貫堅(jiān)持的命題方針。應(yīng)用題是對(duì)同學(xué)們“綜合實(shí)力”的考查,是考查能力與素質(zhì)的良好題型,近幾年應(yīng)用題的編擬更加重視語言簡潔、準(zhǔn)確,背景清新、近人,模型具體、簡明,方法熟悉、簡便,所涉及的都是數(shù)學(xué)基本內(nèi)容、思想和方法,摒棄煩瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算,突出對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法和實(shí)踐能力的考查,彰顯數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的重要作用。

例3 圖5是某汽車維修公司的維修點(diǎn)環(huán)形分布圖。公司在年初分配給A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)某種配件各5 0件。在使用前發(fā)現(xiàn)需將A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為4 0、4 5、5 4、6 1件,但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行。那么要完成上述調(diào)整,最少的調(diào)動(dòng)件次(n件配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為n)為( )。

A.1 5 B.1 6 C.1 7 D.1 8

解析：D處的零件要從A、C或B處移來調(diào)整,且次數(shù)最少。方案一:從A處調(diào)1 0個(gè)零件到D處,從B處調(diào)5個(gè)零件到C處,從C處調(diào)1個(gè)零件到D處,共調(diào)動(dòng)1 6件次。方案二:從B處調(diào)1個(gè)零件到A處,從A處調(diào)1 1個(gè)零件到D處,從B處調(diào)4個(gè)零件到C處,共調(diào)動(dòng)1 6件次。故選B。

圖5

點(diǎn)評(píng):本題是一個(gè)優(yōu)化安排的問題,需要同學(xué)們綜合運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),通過各種調(diào)整的操作試驗(yàn)與嘗試才能解決問題。此題提高了對(duì)分析問題和解決問題的能力要求,大大增加了思維量,很好地考查了同學(xué)們的實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

圖6

跟蹤練習(xí)3 如圖6,質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),其初始位置為P0,-),角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸的距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖像大致為圖7中的( )。

圖7

解法一：(排除法)當(dāng)t=0時(shí),P點(diǎn)到x軸的距離為2,排除A、D,由角速度為1知,落在x軸上,即P點(diǎn)到x軸的距離為0。故選C。