何舒平，吳珊珊

(安徽大學 電氣工程與自動化學院，安徽 合肥 230601)

在系統(tǒng)分析和設計中，由于測量誤差、干擾信號等因素的影響，建立的系統(tǒng)模型不可避免存在不確定性和時滯性，導致系統(tǒng)模型大都是近似描述.針對不確定系統(tǒng)，文獻[1-3]研究了魯棒控制方法[4-5]用于不確定因素導致的不穩(wěn)定系統(tǒng).針對一類線性時滯系統(tǒng)，文獻[6]采用Lyapunov穩(wěn)定理論[7]以及矩陣分析方法，通過對范數有界不確定參數矩陣的限制，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分性判據.需要說明的是，現有文獻研究的魯棒特性更多的是基于Lyapunov穩(wěn)定理論，描述的是系統(tǒng)在無窮時間區(qū)域內的穩(wěn)態(tài)性能.實際上，系統(tǒng)在有限短時間內的軌跡和暫態(tài)性能也非常重要.針對這種情況，Dorato等[8]提出了有限時間(或短時間)穩(wěn)定[9-11]概念.與Lyapunov穩(wěn)定概念不同的是，有限時間穩(wěn)定關注的是系統(tǒng)在給定的短時間內的狀態(tài)軌跡和暫態(tài)性能.

近10年來，有限時間穩(wěn)定問題得到了學術界的廣泛關注，并在時滯系統(tǒng)、隨機系統(tǒng)等領域取得了很多的成果，得到的相關概念有：有限時間有界、有限時間鎮(zhèn)定、有限時間控制和有限時間濾波[12-14]等.Kalman濾波[15]和Luenberger觀測是濾波常用的估計方法，但這兩種方法針對的是確定性系統(tǒng)，要求模型精確已知，且外部擾動必須為白噪聲或譜密度已知的噪聲.但在多數工業(yè)應用中，精確的系統(tǒng)模型通常難以獲得，這種情況下，可使用魯棒濾波.作為魯棒濾波的其中一種，魯棒L2-L∞濾波一般適用于噪聲輸入為能量有界的情形.筆者結合有限時間穩(wěn)定和魯棒L2-L∞濾波，研究一類時滯不確定系統(tǒng)的有限時間非脆弱L2-L∞濾波器設計問題.通過構造合適的Lyapunov函數，給出系統(tǒng)有限時間非脆弱L2-L∞濾波器存在的充分條件，通過仿真示例證明該文設計的可行性.

1 系統(tǒng)描述

考慮如下一類含時滯和不確定參數的線性動態(tài)系統(tǒng)

(1)

(2)

其中：M1，M2，M3，N1為已知的常數矩陣；Γ(t)是一個元素為Lebesgue可測的不確定矩陣函數，且滿足ΓΤ(t)Γ(t)≤I.

對于時滯不確定系統(tǒng)(1)，考慮如下的非脆弱濾波器

(3)

其中：xf(t)∈Rn為系統(tǒng)的濾波器估計狀態(tài)；zf(t)∈Rl為系統(tǒng)的濾波器輸出；xf0為濾波器初始估計狀態(tài)；Af，Bf，Cf，Df，Ef為待求的濾波器參數；ΔAf，ΔBf為濾波器受擾參數，且滿足

(4)

系統(tǒng)的估計狀態(tài)誤差和被控輸出誤差分別定義為

e(t)=x(t)-xf(t)，r(t)=z(t)-zf(t)，

則可得到如下的濾波器誤差動態(tài)系統(tǒng)

(5)

其中

定義1對于給定的時間區(qū)間[0,T]，其中T>0，如果不等式x0ΤRx0≤c1?xΤ(t)Rx(t)≤c2,t∈[0,T]成立，則濾波器誤差動態(tài)系統(tǒng)(5)是關于(c1,c2,T,R,d)有限時間有界的(其中c10).

定義2存在濾波器參數Af，ΔAf，Bf，ΔBf，Cf，Df，Ef及正數γ，若濾波器誤差動態(tài)系統(tǒng)滿足如下要求：

(2) 在零初始狀態(tài)下，濾波器誤差動態(tài)系統(tǒng)(5)滿足如下的范數界為γ的有限時間L2-L∞擾動抑制性能

(6)

則濾波器(5)是線性系統(tǒng)(1)的有限時間非脆弱濾波器.對給定的濾波器誤差動態(tài)系統(tǒng)(5)和性能指標(6)，分別考慮滿足定義1，2的有限時間狀態(tài)估計濾波器的設計問題.此外，需要引用如下引理：

引理1設AΤ=A，M和N為常數矩陣，x(t)是有界的，且滿足XΤ(t)x(t)≤I，如果有不等式

A+Mx(t)N+NΤXΤ(t)MΤ<0，

(7)

則存在常數ε>0，滿足如下不等式

A+εMMΤ+ε-1NΤN<0.

(8)

2 主要結論

定理1對于給定的T>0，α>0，c1>0，d>0，R>0，如果存在正數c2>0，以及正定對稱矩陣P∈Rn×n，Q∈Rn×n，滿足

(9)

(10)

其中：

則濾波器誤差動態(tài)系統(tǒng)(5)是關于(c1,c2,T,R,d)有限時間有界的.

證明構造Lyapunov方程

(11)

并引入如下函數

(12)

對不等式(12)，兩邊乘以e-αt，再積分可得

(13)

令

計算可得

(14)

顯然，對于?

可由不等式(10)保證.證畢.

定理2對于給定的常數T>0，α>0，c1>0，d>0，如果存在正定對稱矩陣P∈Rn×n，Q∈Rn×n，使得式(9)，(10)及下式成立

(15)

則濾波器誤差動態(tài)系統(tǒng)(5)是關于(c1,c2,T,R,d)有限時間有界的(其中c10)，并且滿足條件(6)給出的輸入輸出性能指標.

證明定義與定理1相同的李雅普諾夫函數，在零初始條件φ(t)=0，t∈[-τ,0]，可將式(13)改寫為

(16)

由式(15)，運用Schur補引理可得

(17)

則有

(18)

定理3對于給定常數T>0，α>0，c1>0，d>0，如果存在正定對稱矩陣P∈Rn×n，Q∈Rn×n，X∈Rn×n,Y∈Rn×q，Cf∈Rl×n，Df∈Rm×n，正數c2，γ，σ1，σ2，使得如下矩陣不等式成立

(19)

(20)

(21)

R

(22)

0

(23)

其中

φ11=P1A+AΤP1-αP1+Q1+a-1N1ΤN1+c-1N2ΤN2,

φ12=AΤP1-XΤ-CΤYΤ-c-1N2ΤN2,φ22=X+XΤ-αP1+Q1+c-1N2ΤN2,

Df=Df,

證明為了方便起見，取P=diag{P1，P1}，Q=diag{Q1，Q1}，R=diag{R1，R1}，將

代入式(9)，可得

Λ+ΔΛ<0，

(24)

其中

Π12=AΤP1-XΤ-CΤYΤ,Π22=X+XΤ-αP1+Q,Π23=P1Ai-P1Bf,

Π25=P1B-P1CfD,Ψ11=P1ΔA+ΔATP1,Ψ12=ΔAΤP1-ΔAfΤP1-ΔCΤYΤ,

Ψ22=P1ΔAf+ΔAfΤP1,Ψ23=P1ΔAi-P1ΔBf.

進一步可得

(25)

證畢.

注考慮到不等式(19)～(23)受限于X，Y，Z，P1，Q1，c1，c2，d，T，τ，σ1，σ2，γ2，可通過設置γ2作為優(yōu)化變量，得到如下優(yōu)化問題

(26)

3 數值仿真

仿真涉及的時滯不確定線性系統(tǒng)的系數矩陣為

初始條件為c1=0.2，T=5，τ=0.1，d=1，α=0.01，x1(0)=xf1(0)=0.4，x2(0)=xf2(0)=0.1，且選擇Γ(t)=0.1sin(t)，仿真可得系統(tǒng)(1)式的狀態(tài)響應x1(t)和xf1(t)、狀態(tài)響應x2(t)和xf2(t)、狀態(tài)估計誤差e1(t)和e2(t)、響應函數xΤ(t)Rx(t)，分別如圖1～4所示.從圖1～4可以看出，時滯不確定線性系統(tǒng)在L2-L∞濾波器的作用下漸進穩(wěn)定，因此該文設計具有可行性.

圖1 狀態(tài)響應x1(t)和xf1(t)

圖2 狀態(tài)響應x2(t)和xf2(t)

圖3 狀態(tài)估計誤差e1(t)和e2(t)

圖4 響應函數xΤ(t)Rx(t)

4 結束語

筆者設計了一類含有時滯和不確定參數線性系統(tǒng)的有限時間非脆弱L2-L∞濾波器.選取合適的Lyapunov函數，并采用線性矩陣不等式技術，給出并證明了時滯不確定系統(tǒng)的有限時間非脆弱L2-L∞濾波器存在的充分條件，且將濾波問題轉為優(yōu)化問題.設計的有限時間非脆弱濾波器的誤差動態(tài)系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定，且滿足L2-L∞的性能指標.仿真結果表明該文設計具有可行性.